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16.已知一次函数$y = kx + b$的图象经过点$A( -3, -2)$及点$B(1,6)$.
(1)求此函数的表达式并画出其图象；
(2)求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
(1)求此函数的表达式并画出其图象；
(2)求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
答案
16. 解:(1)由已知得$\begin{cases} -3k + b = -2, \\k + b = 6, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 2, \\b = 4. \end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y = 2x + 4$. 画出其图象如图所示
.(2)如图所示,设一次函数$y = 2x + 4$的图象与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$D$,则有点$C$的坐标为$(-2,0)$,点$D$的坐标为$(0,4)$.$\therefore S_{△ COD} = \dfrac{1}{2} × |-2| × |4| = 4$.
解析
【分析】
(1) 一次函数的通用形式为$y=kx+b$，其中k、b为未知系数，已知函数图象经过两个点，可将两点坐标分别代入函数式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，确定函数表达式；画一次函数图象时，只需找到图象上任意两个点（通常选取与x轴、y轴的交点，计算更简便），两点连线即可得到对应的函数图象。
(2) 函数图象与坐标轴围成的三角形以坐标原点为直角顶点，两条直角边的长度分别是函数图象与x轴、y轴交点到原点的距离，因此先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，得到两条直角边的长度后，代入直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 将点$A(-3,-2)$和点$B(1,6)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases} -3k + b = -2 \\k + b = 6 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$4k=8$，解得$k=2$；
将$k=2$代入$k+b=6$，得$2+b=6$，解得$b=4$。
因此该一次函数的表达式为$y=2x+4$。
画图象：令$x=0$，得$y=4$，即图象与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即图象与x轴交点为$(-2,0)$，在坐标系中描出这两个点，连接两点即可得到该函数的图象。
(2) 设该一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，由上述计算可知$C(-2,0)$，$D(0,4)$，则$OC=|-2|=2$，$OD=|4|=4$，△COD为直角三角形，因此面积为：
$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×2×4=4$
【答案】
(1) 一次函数的解析式为$y = 2x + 4$，画出其图象如图所示。
(2) 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为4。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常规题型，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了数形结合计算几何图形面积的能力，解题的核心是熟练掌握待定系数法，准确找到函数与坐标轴的交点坐标。
【难度系数】
0.8
(1) 一次函数的通用形式为$y=kx+b$，其中k、b为未知系数，已知函数图象经过两个点，可将两点坐标分别代入函数式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，确定函数表达式；画一次函数图象时，只需找到图象上任意两个点（通常选取与x轴、y轴的交点，计算更简便），两点连线即可得到对应的函数图象。
(2) 函数图象与坐标轴围成的三角形以坐标原点为直角顶点，两条直角边的长度分别是函数图象与x轴、y轴交点到原点的距离，因此先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，得到两条直角边的长度后，代入直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 将点$A(-3,-2)$和点$B(1,6)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases} -3k + b = -2 \\k + b = 6 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$4k=8$，解得$k=2$；
将$k=2$代入$k+b=6$，得$2+b=6$，解得$b=4$。
因此该一次函数的表达式为$y=2x+4$。
画图象：令$x=0$，得$y=4$，即图象与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即图象与x轴交点为$(-2,0)$，在坐标系中描出这两个点，连接两点即可得到该函数的图象。
(2) 设该一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，由上述计算可知$C(-2,0)$，$D(0,4)$，则$OC=|-2|=2$，$OD=|4|=4$，△COD为直角三角形，因此面积为：
$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×2×4=4$
【答案】
(1) 一次函数的解析式为$y = 2x + 4$，画出其图象如图所示
。(2) 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为4。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常规题型，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了数形结合计算几何图形面积的能力，解题的核心是熟练掌握待定系数法，准确找到函数与坐标轴的交点坐标。
【难度系数】
0.8
17. 如图所示,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.
(1)试证明$AM = DM$；
(2)若$DF = 2$,求菱形ABCD的周长.
(1)试证明$AM = DM$；
(2)若$DF = 2$,求菱形ABCD的周长.
答案
17. (1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB = AD$,$AC$平分$∠ BAD$. 又$\because AC ⊥ EM$,$\therefore AM = AE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AD$,$\therefore AM = DM$.
(2)解:$\because AB // CD$,$\therefore ∠ EAM = ∠ FDM$,$∠ AEM = ∠ DFM$.$\because AM = MD$,$\therefore △ AME ≌ △ DMF$.$\therefore DF = AE = 2$.$\therefore AB = 2AE = 4$.$\therefore$ 菱形$ABCD$的周长为16.
(2)解:$\because AB // CD$,$\therefore ∠ EAM = ∠ FDM$,$∠ AEM = ∠ DFM$.$\because AM = MD$,$\therefore △ AME ≌ △ DMF$.$\therefore DF = AE = 2$.$\therefore AB = 2AE = 4$.$\therefore$ 菱形$ABCD$的周长为16.
解析
【分析】
(1)要证明$AM=DM$，首先利用菱形的性质得到$AB=AD$、$AC$平分$∠BAD$，结合$EF⊥AC$可推出$△ AEM$为等腰三角形，得到$AM=AE$，再结合E是AB中点，即可推出$AM$为$AD$的一半，完成证明；
(2)求菱形周长需先求边长，根据菱形对边$AB// CD$可得两组内错角相等，结合(1)的结论$AM=DM$，可证明$△ AME≌△ DMF$，得到$AE=DF=2$，进而求出边长$AB$，最后计算周长即可。
【解析】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB = AD$，$AC$平分$∠ BAD$，
又$\because AC ⊥ EM$，
$\therefore △ AEM$为等腰三角形，即$AM = AE$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE = \dfrac{1}{2}AB$，
$\therefore AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AD$，
$\therefore AM = DM$。
(2)解：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ EAM = ∠ FDM$，$∠ AEM = ∠ DFM$，
又$\because AM = MD$，$∠AME=∠DMF$（对顶角相等），
$\therefore △ AME ≌ △ DMF$（AAS），
$\therefore DF = AE = 2$，
$\therefore AB = 2AE = 4$，
$\therefore$菱形$ABCD$的周长为$4×4=16$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$16$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础常考题，结合菱形、等腰三角形、全等三角形的知识考查边的关系推导，解题核心是熟练运用菱形的基本性质，整体逻辑链条清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AM=DM$，首先利用菱形的性质得到$AB=AD$、$AC$平分$∠BAD$，结合$EF⊥AC$可推出$△ AEM$为等腰三角形，得到$AM=AE$，再结合E是AB中点，即可推出$AM$为$AD$的一半，完成证明；
(2)求菱形周长需先求边长，根据菱形对边$AB// CD$可得两组内错角相等，结合(1)的结论$AM=DM$，可证明$△ AME≌△ DMF$，得到$AE=DF=2$，进而求出边长$AB$，最后计算周长即可。
【解析】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB = AD$，$AC$平分$∠ BAD$，
又$\because AC ⊥ EM$，
$\therefore △ AEM$为等腰三角形，即$AM = AE$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE = \dfrac{1}{2}AB$，
$\therefore AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AD$，
$\therefore AM = DM$。
(2)解：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ EAM = ∠ FDM$，$∠ AEM = ∠ DFM$，
又$\because AM = MD$，$∠AME=∠DMF$（对顶角相等），
$\therefore △ AME ≌ △ DMF$（AAS），
$\therefore DF = AE = 2$，
$\therefore AB = 2AE = 4$，
$\therefore$菱形$ABCD$的周长为$4×4=16$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$16$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础常考题，结合菱形、等腰三角形、全等三角形的知识考查边的关系推导，解题核心是熟练运用菱形的基本性质，整体逻辑链条清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
