6 如图，$AB// EF$，$∠ ABC=∠ DEF$，试判断$BC$和$DE$的位置关系，并说明理由。

6. $BC// DE$，理由如下：
方法一：如图，延长 BC 交 FE 的延长线于点 G。
因为 $AB// EF$，
所以 $∠ABC=∠G$。
因为 $∠ABC=∠DEF$，
所以 $∠G=∠DEF$，
所以 $BC// DE$。

方法二：如图，连接 BE。
因为 $AB// EF$，
所以 $∠ABE=∠BEF$。
因为 $∠ABC=∠DEF$，
所以 $∠CBE=∠DEB$，
所以 $BC// DE$。

7 如图，$AB// EF$，$∠ C=90°$，试判断$∠ B$，$∠ CDE$，$∠ E$之间的数量关系，并说明理由。

7. $∠B+∠CDE-∠E=90°$，理由如下：
如图，连接 BD，过点 D 作 $DM// AB$。
因为 $AB// EF$，
所以 $AB// DM// EF$，
所以 $∠ABC+∠CBD+∠BDC+∠CDM=180°$，$∠E=∠MDE$。
因为 $∠C=90°$，
所以 $∠CBD+∠BDC=90°$，
所以 $∠ABC+∠CDM=90°$，
所以 $∠ABC+∠CDE-∠E=90°$。

8 新素养 推理探究 综合与探究
【问题情境】 如图1,D是∠ABC的边AB上一点,过点D作直线EF//BC,BM是∠ABC的平分线,以点D为端点作线段DN,连接MN.
【问题初探】（1）在图1中,若DN是∠ADF的平分线,试探究:∠M与∠N的数量关系;
【问题再探】（2）如图2,若DN是∠BDE的平分线,则∠M与∠N又有怎样的数量关系?请做出判断,并说明理由;
【拓展探究】（3）如图3,若DN是∠ADE的平分线,∠N=15°,请求出∠M的大小.

8. (1) $∠M+∠N=180°$，理由如下：
因为 $EF// BC$，所以 $∠ADF=∠ABC$。
因为 BM 是$∠ABC$的平分线，DN 是$∠ADF$的平分线，
所以 $∠ABM=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ADN=\frac{1}{2}∠ADF$，
所以 $∠ABM=∠ADN$，所以 $DN// BM$，
所以 $∠M+∠N=180°$。
(2) $∠M=∠N$，理由如下：
因为 $EF// BC$，所以 $∠ABC=∠BDE$。
因为 BM 是$∠ABC$的平分线，DN 是$∠BDE$的平分线，
所以 $∠ABM=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠BDN=\frac{1}{2}∠BDE$，
所以 $∠ABM=∠BDN$，所以 $BM// DN$，
所以 $∠M=∠N$。
(3) 如图，延长 ND，BM 交于点 G，
因为 $EF// BC$，所以 $∠BDF+∠ABC=180°$。
因为 DN 是$∠ADE$的平分线，
所以 $∠ADN=\frac{1}{2}∠ADE$。
因为 $∠ADN=∠BDG$，$∠ADE=∠BDF$，
所以 $∠BDG=\frac{1}{2}∠BDF$。
因为 BM 是$∠ABC$的平分线，
所以 $∠ABM=\frac{1}{2}∠ABC$，
所以 $∠BDG+∠ABM=\frac{1}{2}∠BDF+\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}(∠BDF+∠ABC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
所以 $∠G=180°-(∠BDG+∠ABM)=90°$。
因为 $∠N=15°$，
所以 $∠BMN=∠N+∠G=105°$，
所以 $∠BMN$ 的度数为 $105°$。