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1. 下列说法正确的是 （
A.27 的立方根是 3，记作 $\sqrt{27}=3$
B.$-\dfrac{1}{2}$是$-\dfrac{1}{6}$的立方根
C.64 的立方根是$\pm4$
D.$-1$的立方根是$-1$
D
）A.27 的立方根是 3，记作 $\sqrt{27}=3$
B.$-\dfrac{1}{2}$是$-\dfrac{1}{6}$的立方根
C.64 的立方根是$\pm4$
D.$-1$的立方根是$-1$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查立方根的定义与性质，解题思路为：首先明确立方根的核心概念，若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；同时牢记立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，任意实数的立方根唯一。接下来对照概念和性质逐一验证四个选项的表述是否正确即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：27的立方根是3，但立方根的正确记法为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{27}$表示的是27的算术平方根，表述错误；
B选项：计算可得$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}≠-\frac{1}{6}$，因此$-\frac{1}{2}$是$-\frac{1}{8}$的立方根，不是$-\frac{1}{6}$的立方根，表述错误；
C选项：根据立方根的性质，正数的立方根只有1个正数，64的立方根仅为4，$\pm4$是16的平方根，表述错误；
D选项：因为$(-1)^3=-1$，所以$-1$的立方根是$-1$，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题属于立方根的基础概念考查题，易错点是混淆立方根和平方根的表示方法、性质差异，解题时要注意立方根的唯一性和符号与被开方数一致的特点。
【难度系数】
0.8
这道题考查立方根的定义与性质，解题思路为：首先明确立方根的核心概念，若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；同时牢记立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，任意实数的立方根唯一。接下来对照概念和性质逐一验证四个选项的表述是否正确即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：27的立方根是3，但立方根的正确记法为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{27}$表示的是27的算术平方根，表述错误；
B选项：计算可得$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}≠-\frac{1}{6}$，因此$-\frac{1}{2}$是$-\frac{1}{8}$的立方根，不是$-\frac{1}{6}$的立方根，表述错误；
C选项：根据立方根的性质，正数的立方根只有1个正数，64的立方根仅为4，$\pm4$是16的平方根，表述错误；
D选项：因为$(-1)^3=-1$，所以$-1$的立方根是$-1$，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题属于立方根的基础概念考查题，易错点是混淆立方根和平方根的表示方法、性质差异，解题时要注意立方根的唯一性和符号与被开方数一致的特点。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法:①立方根是它本身的数只有3个;②$\frac{1}{27}$的立方根是$\frac{1}{3}$与$-\frac{1}{3}$;③$-81$无立方根;④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数;⑤一个数的立方根不是正数就是负数;⑥如果一个数的算术平方根与立方根相同,那么这个数是0.其中正确的是 (
A.①②⑤
B.③⑥
C.①④
D.②④
C
)A.①②⑤
B.③⑥
C.①④
D.②④
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查立方根、算术平方根的相关概念与性质，解题时需逐个判断给出的6个说法是否正确，结合立方根的唯一性、正负性等性质，以及特殊值验证的方法，筛选出所有正确的说法，对应匹配选项即可。
【解析】
我们对每个说法逐一验证：
①立方根等于本身的数为-1、0、1，共3个，该说法正确；
②任意实数的立方根都是唯一的，正数的立方根为正数，因此$\frac{1}{27}$的立方根只有$\frac{1}{3}$，该说法错误；
③负数有立方根，$-81$的立方根为$-\sqrt[3]{81}$，该说法错误；
④对任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，该说法正确；
⑤0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该说法错误；
⑥1的算术平方根是1，立方根也是1，因此算术平方根与立方根相同的数是0和1，该说法错误。
综上，正确的说法是①④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，易错点是混淆立方根和平方根的性质，或者遗漏0、1等特殊数的相关特征，解题时借助特殊值验证可以快速判断说法的正误。
【难度系数】
0.7
本题考查立方根、算术平方根的相关概念与性质，解题时需逐个判断给出的6个说法是否正确，结合立方根的唯一性、正负性等性质，以及特殊值验证的方法，筛选出所有正确的说法，对应匹配选项即可。
【解析】
我们对每个说法逐一验证：
①立方根等于本身的数为-1、0、1，共3个，该说法正确；
②任意实数的立方根都是唯一的，正数的立方根为正数，因此$\frac{1}{27}$的立方根只有$\frac{1}{3}$，该说法错误；
③负数有立方根，$-81$的立方根为$-\sqrt[3]{81}$，该说法错误；
④对任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，该说法正确；
⑤0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该说法错误；
⑥1的算术平方根是1，立方根也是1，因此算术平方根与立方根相同的数是0和1，该说法错误。
综上，正确的说法是①④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，易错点是混淆立方根和平方根的性质，或者遗漏0、1等特殊数的相关特征，解题时借助特殊值验证可以快速判断说法的正误。
【难度系数】
0.7
3. [2026 菏泽期中] 已知$x,y$满足$\sqrt{x-3}+(y+2)^2=0$，则$y^x$的立方根是（
A.$\sqrt[3]{6}$
B.$-8$
C.$-2$
D.$\pm2$
C
）A.$\sqrt[3]{6}$
B.$-8$
C.$-2$
D.$\pm2$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、完全平方数都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值都为0。第一步我们可以根据这个性质列方程求出x、y的值；第二步代入计算$y^x$的结果；第三步根据立方根的定义求出该结果的立方根，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3}≥0$，$(y+2)^2≥0$，且$\sqrt{x-3}+(y+2)^2=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\sqrt{x-3}=0$，$(y+2)^2=0$
即$x-3=0$，$y+2=0$
解得$x=3$，$y=-2$
将$x=3$，$y=-2$代入$y^x$得：$y^x=(-2)^3=-8$
∵$(-2)^3=-8$
∴$-8$的立方根是$-2$，即$y^x$的立方根为$-2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；乘方运算；立方根的定义
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，同时注意区分立方根和平方根的特点：负数有唯一的负的立方根，没有平方根，避免混淆概念选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、完全平方数都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值都为0。第一步我们可以根据这个性质列方程求出x、y的值；第二步代入计算$y^x$的结果；第三步根据立方根的定义求出该结果的立方根，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3}≥0$，$(y+2)^2≥0$，且$\sqrt{x-3}+(y+2)^2=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\sqrt{x-3}=0$，$(y+2)^2=0$
即$x-3=0$，$y+2=0$
解得$x=3$，$y=-2$
将$x=3$，$y=-2$代入$y^x$得：$y^x=(-2)^3=-8$
∵$(-2)^3=-8$
∴$-8$的立方根是$-2$，即$y^x$的立方根为$-2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；乘方运算；立方根的定义
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，同时注意区分立方根和平方根的特点：负数有唯一的负的立方根，没有平方根，避免混淆概念选错答案。
【难度系数】
0.8
4.若$a^2=16$，$\sqrt[3]{-b}=-2$，则$a+b$的值是
12或4
。答案
4.12或4 【点拨】因为 $a^2 = 16$，$\sqrt[3]{-b} = -2$，所以 $a = \pm 4,b=8$，所以 $a+b=4+8=12$ 或 $a+b=-4+8=4$。
解析
【分析】
解题时先分别根据已知条件求出a和b的值，再计算a+b的结果。首先根据平方根的性质，平方等于16的数有两个互为相反数的解，可求出a的取值；再根据立方根的性质，对三次根式等式两边同时立方，可求出b的唯一取值，最后分两种情况代入计算a+b即可，注意不要漏掉a的负取值。
【解析】
解：$\because a^2=16$，
$\therefore a$是16的平方根，即 $a=\pm4$；
$\because \sqrt[3]{-b}=-2$，
将等式两边同时立方，得 $-b=(-2)^3=-8$，
解得 $b=8$；
当$a=4$时，$a+b=4+8=12$；
当$a=-4$时，$a+b=-4+8=4$；
综上，$a+b$的值为12或4。
【答案】
12或4
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根与立方根的性质应用，易错点是求解a的值时容易遗漏-4这个解，需注意正数的平方根有两个且互为相反数，而任意实数的立方根只有一个，解题时要考虑全面避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先分别根据已知条件求出a和b的值，再计算a+b的结果。首先根据平方根的性质，平方等于16的数有两个互为相反数的解，可求出a的取值；再根据立方根的性质，对三次根式等式两边同时立方，可求出b的唯一取值，最后分两种情况代入计算a+b即可，注意不要漏掉a的负取值。
【解析】
解：$\because a^2=16$，
$\therefore a$是16的平方根，即 $a=\pm4$；
$\because \sqrt[3]{-b}=-2$，
将等式两边同时立方，得 $-b=(-2)^3=-8$，
解得 $b=8$；
当$a=4$时，$a+b=4+8=12$；
当$a=-4$时，$a+b=-4+8=4$；
综上，$a+b$的值为12或4。
【答案】
12或4
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根与立方根的性质应用，易错点是求解a的值时容易遗漏-4这个解，需注意正数的平方根有两个且互为相反数，而任意实数的立方根只有一个，解题时要考虑全面避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt[3]{-2+\dfrac{3}{64}}$；
(2) $\sqrt[3]{-27}-\sqrt[3]{(-8)^2}$。
(1) $\sqrt[3]{-2+\dfrac{3}{64}}$；
(2) $\sqrt[3]{-27}-\sqrt[3]{(-8)^2}$。
答案
(1) $\sqrt[3]{-2+\dfrac{3}{64}}=\sqrt[3]{-\dfrac{125}{64}}=-\dfrac{5}{4}$。
(2) $\sqrt[3]{-27}-\sqrt[3]{(-8)^2}=-3-4=-7$。
(2) $\sqrt[3]{-27}-\sqrt[3]{(-8)^2}=-3-4=-7$。
解析
【分析】
对于立方根的计算问题，解题核心是先化简被开方数，再根据立方根的定义（如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根）及性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0）求解。
(1) 先计算根号内的加法，将整数转化为与分数同分母的形式，合并后得到一个分数，再找哪个数的立方等于这个分数即可得到结果；
(2) 分别计算两个立方根的值：第一个直接根据负数立方根的性质求解，第二个先计算被开方数里的乘方，再求立方根，最后做减法运算即可。
【解析】
(1) 先化简被开方数：
$-2+\frac{3}{64}=-\frac{128}{64}+\frac{3}{64}=-\frac{125}{64}$
因为$(-\frac{5}{4})^3=-\frac{125}{64}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$。
(2) 分别计算两个立方根：
$\sqrt[3]{-27}$：因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
再算$\sqrt[3]{(-8)^2}$：先计算被开方数$(-8)^2=64$，又因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$；
最后相减得：$-3-4=-7$。
【答案】
(1) $-\dfrac{5}{4}$；(2) $-7$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，实数混合运算
【点评】
本题是立方根运算的基础题型，解题时需注意先化简被开方数再开立方，运算过程中要特别注意符号的处理，避免因符号判断错误或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
对于立方根的计算问题，解题核心是先化简被开方数，再根据立方根的定义（如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根）及性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0）求解。
(1) 先计算根号内的加法，将整数转化为与分数同分母的形式，合并后得到一个分数，再找哪个数的立方等于这个分数即可得到结果；
(2) 分别计算两个立方根的值：第一个直接根据负数立方根的性质求解，第二个先计算被开方数里的乘方，再求立方根，最后做减法运算即可。
【解析】
(1) 先化简被开方数：
$-2+\frac{3}{64}=-\frac{128}{64}+\frac{3}{64}=-\frac{125}{64}$
因为$(-\frac{5}{4})^3=-\frac{125}{64}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$。
(2) 分别计算两个立方根：
$\sqrt[3]{-27}$：因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
再算$\sqrt[3]{(-8)^2}$：先计算被开方数$(-8)^2=64$，又因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$；
最后相减得：$-3-4=-7$。
【答案】
(1) $-\dfrac{5}{4}$；(2) $-7$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，实数混合运算
【点评】
本题是立方根运算的基础题型，解题时需注意先化简被开方数再开立方，运算过程中要特别注意符号的处理，避免因符号判断错误或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
6. 求下列各式中的$x$:
(1)$8x^3 + 125 = 0$;
(2)$3(x-1)^3 + 81 = 0$.
(1)$8x^3 + 125 = 0$;
(2)$3(x-1)^3 + 81 = 0$.
答案
(1)因为 $8x^3 + 125 = 0$，所以 $8x^3 = -125$。
所以 $x^3 = -\dfrac{125}{8}$。所以 $x = -\dfrac{5}{2}$。
(2)因为 $3(x-1)^3 + 81 = 0$，所以 $(x-1)^3 = -27$。
所以 $x-1 = -3$。所以 $x = -2$。
所以 $x^3 = -\dfrac{125}{8}$。所以 $x = -\dfrac{5}{2}$。
(2)因为 $3(x-1)^3 + 81 = 0$，所以 $(x-1)^3 = -27$。
所以 $x-1 = -3$。所以 $x = -2$。
解析
【分析】
这两道题都是可通过开立方求解的一元三次方程，解题思路为：先通过移项、系数化为1，将含未知数的立方项单独放在等式一侧，再对等式两边同时开立方求出未知数的值；第(2)题需先将$(x-1)$看作一个整体进行运算，再求解$x$。
【解析】
(1) 对$8x^3 + 125 = 0$移项，得$8x^3 = -125$，
系数化为1，得$x^3 = -\dfrac{125}{8}$，
对等式两边开立方，得$x = \sqrt[3]{-\dfrac{125}{8}} = -\dfrac{5}{2}$。
(2) 对$3(x-1)^3 + 81 = 0$移项，得$3(x-1)^3 = -81$，
系数化为1，得$(x-1)^3 = -27$，
对等式两边开立方，得$x-1 = \sqrt[3]{-27} = -3$，
移项解得$x = -2$。
【答案】
(1)$x=-\dfrac{5}{2}$；(2)$x=-2$
【知识点】
立方根运算；开方法解方程；整体思想
【点评】
本题侧重考察立方根的性质应用，解题核心是先把含未知数的三次项整理为“某式的三次方等于常数”的形式再开方，第二题运用整体思想可简化运算，属于立方根章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
这两道题都是可通过开立方求解的一元三次方程，解题思路为：先通过移项、系数化为1，将含未知数的立方项单独放在等式一侧，再对等式两边同时开立方求出未知数的值；第(2)题需先将$(x-1)$看作一个整体进行运算，再求解$x$。
【解析】
(1) 对$8x^3 + 125 = 0$移项，得$8x^3 = -125$，
系数化为1，得$x^3 = -\dfrac{125}{8}$，
对等式两边开立方，得$x = \sqrt[3]{-\dfrac{125}{8}} = -\dfrac{5}{2}$。
(2) 对$3(x-1)^3 + 81 = 0$移项，得$3(x-1)^3 = -81$，
系数化为1，得$(x-1)^3 = -27$，
对等式两边开立方，得$x-1 = \sqrt[3]{-27} = -3$，
移项解得$x = -2$。
【答案】
(1)$x=-\dfrac{5}{2}$；(2)$x=-2$
【知识点】
立方根运算；开方法解方程；整体思想
【点评】
本题侧重考察立方根的性质应用，解题核心是先把含未知数的三次项整理为“某式的三次方等于常数”的形式再开方，第二题运用整体思想可简化运算，属于立方根章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
7. 下列计算正确的是（
A.$\sqrt[3]{(-2)^3}=2$
B.$-\sqrt[3]{(-0.4)^3}=0.4$
C.$(\sqrt[3]{-21})^3=21$
D.$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}=-2\frac{1}{2}$
B
）A.$\sqrt[3]{(-2)^3}=2$
B.$-\sqrt[3]{(-0.4)^3}=0.4$
C.$(\sqrt[3]{-21})^3=21$
D.$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}=-2\frac{1}{2}$
答案
7.B
解析
【分析】
这道题考查立方根的运算，解题核心是牢记立方根的两个基本性质：1. 对任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$；2. 对任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3=a$，且立方根的符号与被开方数的符号一致。解题时只需利用上述性质逐个验证选项的计算是否正确即可。
【解析】
根据立方根的性质逐一判断选项：
A选项：$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，选项结果为2，计算错误；
B选项：先算$\sqrt[3]{(-0.4)^3}=-0.4$，因此$-\sqrt[3]{(-0.4)^3}=-(-0.4)=0.4$，计算正确；
C选项：$(\sqrt[3]{-21})^3=-21$，选项结果为21，计算错误；
D选项：先将带分数化为假分数：$8\frac{1}{8}=\frac{65}{8}$，而$(2\frac{1}{2})^3=(\frac{5}{2})^3=\frac{125}{8}=15\frac{5}{8}≠8\frac{1}{8}$，因此$\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}≠2\frac{1}{2}$，即$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}≠-2\frac{1}{2}$，计算错误。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质，开立方运算
【点评】
本题重点考查立方根的基本运算规则，解题时要注意立方根的符号和被开方数保持一致，不要和平方根的符号规则混淆；计算带分数的立方根时，要先将带分数转化为假分数再运算，避免出现概念错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查立方根的运算，解题核心是牢记立方根的两个基本性质：1. 对任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$；2. 对任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3=a$，且立方根的符号与被开方数的符号一致。解题时只需利用上述性质逐个验证选项的计算是否正确即可。
【解析】
根据立方根的性质逐一判断选项：
A选项：$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，选项结果为2，计算错误；
B选项：先算$\sqrt[3]{(-0.4)^3}=-0.4$，因此$-\sqrt[3]{(-0.4)^3}=-(-0.4)=0.4$，计算正确；
C选项：$(\sqrt[3]{-21})^3=-21$，选项结果为21，计算错误；
D选项：先将带分数化为假分数：$8\frac{1}{8}=\frac{65}{8}$，而$(2\frac{1}{2})^3=(\frac{5}{2})^3=\frac{125}{8}=15\frac{5}{8}≠8\frac{1}{8}$，因此$\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}≠2\frac{1}{2}$，即$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}≠-2\frac{1}{2}$，计算错误。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质，开立方运算
【点评】
本题重点考查立方根的基本运算规则，解题时要注意立方根的符号和被开方数保持一致，不要和平方根的符号规则混淆；计算带分数的立方根时，要先将带分数转化为假分数再运算，避免出现概念错误。
【难度系数】
0.7
8.若$\sqrt[3]{(x-9)^3}=9-x$,则$x$的平方根为
±3
.答案
8. ±3 【点拨】因为 $\sqrt[3]{(x-9)^3} = x-9 = 9-x$，所以 $x=9$。因为 9 的平方根为 $\pm 3$，所以 $x$ 的平方根为 $\pm 3$。
解析
【分析】
解题首先回忆立方根的基本性质：对于任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$，利用该性质先化简等式左侧的式子，得到关于$x$的一元一次方程，解出$x$的值后，再根据平方根的定义计算$x$的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$\sqrt[3]{(x-9)^3}=x-9$
结合题意$\sqrt[3]{(x-9)^3}=9-x$，因此列方程：
$x-9=9-x$
移项得：$x+x=9+9$
合并同类项得：$2x=18$
系数化为1得：$x=9$
根据平方根的定义，正数9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
立方根的性质；平方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查立方根的化简性质和平方根的求解，易错点有两个：一是混淆立方根与算术平方根的性质，误给化简结果加绝对值；二是求平方根时漏写负根，需注意正数的平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.75
解题首先回忆立方根的基本性质：对于任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$，利用该性质先化简等式左侧的式子，得到关于$x$的一元一次方程，解出$x$的值后，再根据平方根的定义计算$x$的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$\sqrt[3]{(x-9)^3}=x-9$
结合题意$\sqrt[3]{(x-9)^3}=9-x$，因此列方程：
$x-9=9-x$
移项得：$x+x=9+9$
合并同类项得：$2x=18$
系数化为1得：$x=9$
根据平方根的定义，正数9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
立方根的性质；平方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查立方根的化简性质和平方根的求解，易错点有两个：一是混淆立方根与算术平方根的性质，误给化简结果加绝对值；二是求平方根时漏写负根，需注意正数的平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.75
9. 有一个数值转换器，流程如图所示，当输入$x$的值为64时，输出$y$的值是（
A.$2$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{2}$
C
）A.$2$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{2}$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先要读懂数值转换器的运算规则：输入x后，第一步先计算x的算术平方根，若结果是无理数则直接输出；若结果是有理数，就对这个结果计算立方根，若立方根的结果是无理数就输出，若立方根的结果仍是有理数，就将该结果作为新的输入值，回到第一步重复运算，直到得到无理数即为输出值。我们只需将x=64代入，按照规则逐步运算、判断即可。
【解析】
解：当输入x=64时：
1. 第一步取算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，进入取立方根的步骤；
2. 对8取立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，需返回第一步，将2作为新的输入值；
3. 对2取算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件。
因此输出y的值为$\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的运算、立方根的运算、无理数的识别
【点评】
本题结合流程图考查实数的基础运算，解题核心是理清流程图的循环逻辑，严格按照给定规则逐步计算、判断，避免遗漏循环步骤即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂数值转换器的运算规则：输入x后，第一步先计算x的算术平方根，若结果是无理数则直接输出；若结果是有理数，就对这个结果计算立方根，若立方根的结果是无理数就输出，若立方根的结果仍是有理数，就将该结果作为新的输入值，回到第一步重复运算，直到得到无理数即为输出值。我们只需将x=64代入，按照规则逐步运算、判断即可。
【解析】
解：当输入x=64时：
1. 第一步取算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，进入取立方根的步骤；
2. 对8取立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，需返回第一步，将2作为新的输入值；
3. 对2取算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件。
因此输出y的值为$\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的运算、立方根的运算、无理数的识别
【点评】
本题结合流程图考查实数的基础运算，解题核心是理清流程图的循环逻辑，严格按照给定规则逐步计算、判断，避免遗漏循环步骤即可正确求解。
【难度系数】
0.7
10. 已知$3a-7$的立方根是2，$3a+b-1$的算术平方根是4，则$a+2b$的平方根是
±3
。答案
10. ±3 【点拨】因为 $3a-7$ 的立方根是 2，所以 $3a-7=2^3$，所以 $a=5$。因为 $3a+b-1$ 的算术平方根是 4，所以 $3a+b-1=4^2$，所以 $b=2$，所以 $a+2b=5+2× 2=9$。因为 9 的平方根为 $\pm 3$，所以 $a+2b$ 的平方根为 $\pm 3$。
解析
【分析】
解题时先利用立方根的定义：若一个数的立方根为x，则这个数等于x的立方，据此列出关于a的方程求出a的值；再利用算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根为y，则这个数等于y的平方，将求出的a代入后列出关于b的方程求出b的值；最后计算a+2b的结果，再根据平方根的定义求出它的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：
∵$3a-7$的立方根是2
根据立方根的定义可得：$3a-7=2^3$
即$3a-7=8$，解得$a=5$
又
∵$3a+b-1$的算术平方根是4
根据算术平方根的定义可得：$3a+b-1=4^2$
将$a=5$代入上式：$3×5 + b -1=16$
即$14 + b=16$，解得$b=2$
∴$a+2b=5 + 2×2=9$
∵9的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$
∴$a+2b$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是准确区分立方根、算术平方根、平方根的概念，根据概念建立等量关系求解未知数，需注意平方根有两个互为相反数的结果，避免只写正的结果漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用立方根的定义：若一个数的立方根为x，则这个数等于x的立方，据此列出关于a的方程求出a的值；再利用算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根为y，则这个数等于y的平方，将求出的a代入后列出关于b的方程求出b的值；最后计算a+2b的结果，再根据平方根的定义求出它的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：
∵$3a-7$的立方根是2
根据立方根的定义可得：$3a-7=2^3$
即$3a-7=8$，解得$a=5$
又
∵$3a+b-1$的算术平方根是4
根据算术平方根的定义可得：$3a+b-1=4^2$
将$a=5$代入上式：$3×5 + b -1=16$
即$14 + b=16$，解得$b=2$
∴$a+2b=5 + 2×2=9$
∵9的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$
∴$a+2b$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是准确区分立方根、算术平方根、平方根的概念，根据概念建立等量关系求解未知数，需注意平方根有两个互为相反数的结果，避免只写正的结果漏解。
【难度系数】
0.8
11. 跨学科题 在做物理实验时，小明用一根细线将一个实心铁球拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁球排出的水的体积为$64π \ \mathrm{cm}^3$. 小明又将铁球从水中提起，量得烧杯中的水位下降了$\frac{16}{9}\ \mathrm{cm}$. 请问烧杯内部的底面半径和铁球的半径各是多少？（球的体积公式为$V=\frac{4}{3}π r^3$，$r$为球的半径）
答案
设烧杯内部的底面半径为 $R \ \mathrm{cm}$，铁球的半径为 $r \ \mathrm{cm}$，根据题意得 $π R^2 × \dfrac{16}{9}=64π$，$\dfrac{4}{3}π r^3=64π$，解得 $R=6$，$r=\sqrt[3]{48}$。故烧杯内部的底面半径是 6 cm，铁球的半径是 $\sqrt[3]{48} \ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时需先明确两个核心等量关系：①铁球完全浸入盛满水的烧杯中，排开水的体积与铁球自身的体积相等，可结合题目给出的球的体积公式列方程求解铁球半径；②烧杯中水位下降部分是圆柱形，这部分圆柱的体积等于排开水的体积，根据圆柱体积=底面积×水位下降高度，可列方程求解烧杯的底面半径。解方程时可先消去两边的π简化运算，最后结合半径为正数的实际意义取正根即可。
【解析】
设烧杯内部的底面半径为$R \ \mathrm{cm}$，铁球的半径为$r \ \mathrm{cm}$。
1. 求烧杯底面半径：
水位下降部分的圆柱体积等于排开水的体积，代入圆柱体积公式列方程：
$π R^2 × \dfrac{16}{9}=64π$
两边同时除以$π$得：$\dfrac{16}{9}R^2=64$，整理得$R^2=64×\dfrac{9}{16}=36$。
因为半径为正数，所以$R=\sqrt{36}=6$。
2. 求铁球半径：
排开水的体积等于铁球的体积，代入球的体积公式列方程：
$\dfrac{4}{3}π r^3=64π$
两边同时除以$π$得：$\dfrac{4}{3}r^3=64$，整理得$r^3=64×\dfrac{3}{4}=48$。
所以$r=\sqrt[3]{48}$。
【答案】
烧杯内部的底面半径是$6 \ \mathrm{cm}$，铁球的半径是$\sqrt[3]{48} \ \mathrm{cm}$。
【知识点】
立方根的应用，圆柱体积计算，等体积转化
【点评】
本题是跨物理、数学的综合应用题，结合排水法实验考查立体图形体积计算和立方根的运算，解题核心是抓住排水过程中的体积相等关系，代入公式列方程求解即可，运算时先消去公共项$π$可有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确两个核心等量关系：①铁球完全浸入盛满水的烧杯中，排开水的体积与铁球自身的体积相等，可结合题目给出的球的体积公式列方程求解铁球半径；②烧杯中水位下降部分是圆柱形，这部分圆柱的体积等于排开水的体积，根据圆柱体积=底面积×水位下降高度，可列方程求解烧杯的底面半径。解方程时可先消去两边的π简化运算，最后结合半径为正数的实际意义取正根即可。
【解析】
设烧杯内部的底面半径为$R \ \mathrm{cm}$，铁球的半径为$r \ \mathrm{cm}$。
1. 求烧杯底面半径：
水位下降部分的圆柱体积等于排开水的体积，代入圆柱体积公式列方程：
$π R^2 × \dfrac{16}{9}=64π$
两边同时除以$π$得：$\dfrac{16}{9}R^2=64$，整理得$R^2=64×\dfrac{9}{16}=36$。
因为半径为正数，所以$R=\sqrt{36}=6$。
2. 求铁球半径：
排开水的体积等于铁球的体积，代入球的体积公式列方程：
$\dfrac{4}{3}π r^3=64π$
两边同时除以$π$得：$\dfrac{4}{3}r^3=64$，整理得$r^3=64×\dfrac{3}{4}=48$。
所以$r=\sqrt[3]{48}$。
【答案】
烧杯内部的底面半径是$6 \ \mathrm{cm}$，铁球的半径是$\sqrt[3]{48} \ \mathrm{cm}$。
【知识点】
立方根的应用，圆柱体积计算，等体积转化
【点评】
本题是跨物理、数学的综合应用题，结合排水法实验考查立体图形体积计算和立方根的运算，解题核心是抓住排水过程中的体积相等关系，代入公式列方程求解即可，运算时先消去公共项$π$可有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
12. 已知$\sqrt[3]{2.37} \approx 1.333$，$\sqrt[3]{23.7} \approx 2.872$，那么$\sqrt[3]{-2370} \approx$（
A.$-28.72$
B.$-13.33$
C.$-0.2872$
D.$-0.1333$
B
）A.$-28.72$
B.$-13.33$
C.$-0.2872$
D.$-0.1333$
答案
12.B
解析
【分析】
解题时先利用立方根的符号性质，将负数的立方根转化为正数立方根的相反数，再根据立方根的小数点移动规律求解：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，对应的立方根的小数点就同方向移动1位。观察待求式的被开方数2370，和已知的$\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$对比，2370是2.37的小数点向右移动3位得到的，由此可推出$\sqrt[3]{2370}$的值，最终得到结果。
【解析】
根据立方根的性质：负数的立方根是负数，可得$\sqrt[3]{-2370}=-\sqrt[3]{2370}$。
因为$2370=2.37×1000$，根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt[3]{2370}=\sqrt[3]{2.37×10^3}=\sqrt[3]{2.37}×\sqrt[3]{10^3}$
已知$\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$，且$\sqrt[3]{10^3}=10$，代入得：
$\sqrt[3]{2370}\approx1.333×10=13.33$
因此$\sqrt[3]{-2370}\approx-13.33$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质，立方根小数点移动规律
【点评】
本题核心是考查立方根相关规律的应用，解题的关键是准确找到待求被开方数和已知被开方数的倍数关系，注意立方根的小数点移动规律和平方根的不同，不要混淆二者的移动位数对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先利用立方根的符号性质，将负数的立方根转化为正数立方根的相反数，再根据立方根的小数点移动规律求解：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，对应的立方根的小数点就同方向移动1位。观察待求式的被开方数2370，和已知的$\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$对比，2370是2.37的小数点向右移动3位得到的，由此可推出$\sqrt[3]{2370}$的值，最终得到结果。
【解析】
根据立方根的性质：负数的立方根是负数，可得$\sqrt[3]{-2370}=-\sqrt[3]{2370}$。
因为$2370=2.37×1000$，根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt[3]{2370}=\sqrt[3]{2.37×10^3}=\sqrt[3]{2.37}×\sqrt[3]{10^3}$
已知$\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$，且$\sqrt[3]{10^3}=10$，代入得：
$\sqrt[3]{2370}\approx1.333×10=13.33$
因此$\sqrt[3]{-2370}\approx-13.33$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质，立方根小数点移动规律
【点评】
本题核心是考查立方根相关规律的应用，解题的关键是准确找到待求被开方数和已知被开方数的倍数关系，注意立方根的小数点移动规律和平方根的不同，不要混淆二者的移动位数对应关系。
【难度系数】
0.7
