登录
13. 若$\sqrt[3]{x-3} - \sqrt[3]{2x+1}=0$，则$x^2 + x - 3$的算术平方根为（
A.3
B.2
C.3和－3
D.2和－2
A
）A.3
B.2
C.3和－3
D.2和－2
答案
13.A 【点拨】因为 $\sqrt[3]{x-3}-\sqrt[3]{2x+1}=0$，所以 $\sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$，所以 $x-3=2x+1$，所以 $x=-4$，所以 $x^2 + x - 3=16-4-3=9$，所以 $x^2 + x - 3$ 的算术平方根为 $\sqrt{9}=3$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式是两个立方根的差为0，第一步先移项得到两个立方根相等；根据立方根的性质：若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等，因此可以列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值；再将x代入代数式$x^2+x-3$求出代数式的值；最后根据算术平方根的定义（算术平方根为非负数）计算结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{x-3} - \sqrt[3]{2x+1}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$，
根据立方根的性质，若两个数的立方根相等，则这两个数相等，可得：
$x-3=2x+1$，
移项合并同类项：$x-2x=1+3$，即$-x=4$，解得$x=-4$。
将$x=-4$代入$x^2 + x - 3$得：
$(-4)^2 + (-4) - 3 = 16 - 4 - 3 = 9$。
根据算术平方根的定义，9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$，因此答案选A。
【答案】A
【知识点】立方根的性质，解一元一次方程，算术平方根的定义
【点评】本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握立方根的性质列出方程求出x的值，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误将算术平方根的结果取正负值，需要注意算术平方根的结果一定是非负的。
【难度系数】0.7
解题时首先观察已知等式是两个立方根的差为0，第一步先移项得到两个立方根相等；根据立方根的性质：若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等，因此可以列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值；再将x代入代数式$x^2+x-3$求出代数式的值；最后根据算术平方根的定义（算术平方根为非负数）计算结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{x-3} - \sqrt[3]{2x+1}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$，
根据立方根的性质，若两个数的立方根相等，则这两个数相等，可得：
$x-3=2x+1$，
移项合并同类项：$x-2x=1+3$，即$-x=4$，解得$x=-4$。
将$x=-4$代入$x^2 + x - 3$得：
$(-4)^2 + (-4) - 3 = 16 - 4 - 3 = 9$。
根据算术平方根的定义，9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$，因此答案选A。
【答案】A
【知识点】立方根的性质，解一元一次方程，算术平方根的定义
【点评】本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握立方根的性质列出方程求出x的值，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误将算术平方根的结果取正负值，需要注意算术平方根的结果一定是非负的。
【难度系数】0.7
14.已知$m$是$\sqrt[3]{13}$的整数部分，$n$是$\sqrt{13}$的小数部分，则$m-n=$
5-√13
答案
14. $5-\sqrt{13}$
解析
【分析】
要求$m-n$的值，需先分别求出$m$和$n$的值。首先求$m$：$m$是$\sqrt[3]{13}$的整数部分，我们可以通过找与13相邻的两个完全立方数，确定$\sqrt[3]{13}$的取值范围，进而得到它的整数部分$m$；再求$n$：$n$是$\sqrt{13}$的小数部分，同理找与13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$的取值范围，小数部分等于无理数减去它的整数部分，最后将$m$、$n$代入$m-n$计算即可。
【解析】
1. 求$m$的值：
因为$2^3=8$，$3^3=27$，且$8＜13＜27$，所以$\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{13}＜\sqrt[3]{27}$，即$2＜\sqrt[3]{13}＜3$。
因此$\sqrt[3]{13}$的整数部分$m=2$。
2. 求$n$的值：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
因此$\sqrt{13}$的整数部分是3，小数部分$n=\sqrt{13}-3$。
3. 计算$m-n$：
将$m=2$，$n=\sqrt{13}-3$代入得：
$m-n=2-(\sqrt{13}-3)=2-\sqrt{13}+3=5-\sqrt{13}$。
【答案】
$5-\sqrt{13}$
【知识点】
无理数的估算，代数式求值
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是通过相邻的完全平方数、完全立方数确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分，是基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$m-n$的值，需先分别求出$m$和$n$的值。首先求$m$：$m$是$\sqrt[3]{13}$的整数部分，我们可以通过找与13相邻的两个完全立方数，确定$\sqrt[3]{13}$的取值范围，进而得到它的整数部分$m$；再求$n$：$n$是$\sqrt{13}$的小数部分，同理找与13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$的取值范围，小数部分等于无理数减去它的整数部分，最后将$m$、$n$代入$m-n$计算即可。
【解析】
1. 求$m$的值：
因为$2^3=8$，$3^3=27$，且$8＜13＜27$，所以$\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{13}＜\sqrt[3]{27}$，即$2＜\sqrt[3]{13}＜3$。
因此$\sqrt[3]{13}$的整数部分$m=2$。
2. 求$n$的值：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
因此$\sqrt{13}$的整数部分是3，小数部分$n=\sqrt{13}-3$。
3. 计算$m-n$：
将$m=2$，$n=\sqrt{13}-3$代入得：
$m-n=2-(\sqrt{13}-3)=2-\sqrt{13}+3=5-\sqrt{13}$。
【答案】
$5-\sqrt{13}$
【知识点】
无理数的估算，代数式求值
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是通过相邻的完全平方数、完全立方数确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分，是基础常考题型。
【难度系数】
0.7
15. 立方根等于本身的数的个数为$a$，平方根等于本身的数的个数为$b$，算术平方根等于本身的数的个数为$c$，倒数等于本身的数的个数为$d$，则$a+b+c+d=$
8
。答案
15. 8 【点拨】立方根等于本身的数的个数为 3，故 $a=3$；平方根等于本身的数的个数为 1，故 $b=1$；算术平方根等于本身的数的个数为 2，故 $c=2$；倒数等于本身的数的个数为 2，故 $d=2$。把这些数值代入，得 $a+b+c+d=8$。
解析
【分析】
解题时先分别根据立方根、平方根、算术平方根、倒数的定义，逐一找出符合对应条件的数，统计出每个条件对应的数的个数，得到a、b、c、d的取值，最后将四个数值相加即可得到结果。
【解析】
第一步：求$a$的值
立方根等于本身的数有0、1、-1，共3个，因此$a=3$；
第二步：求$b$的值
平方根等于本身的数只有0（正数的平方根有两个，一正一负，不等于本身），共1个，因此$b=1$；
第三步：求$c$的值
算术平方根等于本身的数有0、1，共2个，因此$c=2$；
第四步：求$d$的值
倒数等于本身的数有1、-1（0没有倒数），共2个，因此$d=2$；
第五步：计算总和
将$a、b、c、d$代入得：$a+b+c+d=3+1+2+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
立方根的性质，平方根与算术平方根，倒数的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，需要准确掌握不同概念的性质，区分容易混淆的特殊数，避免因概念记忆错误导致计数偏差。
【难度系数】
0.8
解题时先分别根据立方根、平方根、算术平方根、倒数的定义，逐一找出符合对应条件的数，统计出每个条件对应的数的个数，得到a、b、c、d的取值，最后将四个数值相加即可得到结果。
【解析】
第一步：求$a$的值
立方根等于本身的数有0、1、-1，共3个，因此$a=3$；
第二步：求$b$的值
平方根等于本身的数只有0（正数的平方根有两个，一正一负，不等于本身），共1个，因此$b=1$；
第三步：求$c$的值
算术平方根等于本身的数有0、1，共2个，因此$c=2$；
第四步：求$d$的值
倒数等于本身的数有1、-1（0没有倒数），共2个，因此$d=2$；
第五步：计算总和
将$a、b、c、d$代入得：$a+b+c+d=3+1+2+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
立方根的性质，平方根与算术平方根，倒数的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，需要准确掌握不同概念的性质，区分容易混淆的特殊数，避免因概念记忆错误导致计数偏差。
【难度系数】
0.8
16. M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若$M-N$恰是某正整数的立方，则这样的两位数M共有
6
个.答案
16. 6 【点拨】设两位数 $M=10a+b$，则 $N=10b+a$，设 $M-N$ 是正整数 $c$ 的立方，所以 $M-N=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=c^3$。因为 $a,b$ 为正整数，且 $1≤ a≤ 9,1≤ b≤ 9$，所以 $c^3≤72$。因为 $c$ 是正整数，$4^3=64,5^3=125$，所以 $c≤4$。又因为 $c$ 是正整数，$c^3$ 是 9 的整数倍，所以 $c=3$，即 $a-b=3$，所以满足条件的两位数 $M$ 有 41，52,63,74,85,96，共 6 个。故答案为 6。
解析
【分析】
遇到个位与十位数字互换的两位数问题，首先用含十位、个位数字的代数式表示两个两位数；再根据“M-N是某正整数的立方”列出等式，化简后结合十位、个位数字的取值范围（1≤a≤9，1≤b≤9，a＞b）确定正整数c的取值范围；再结合M-N是9的倍数的特征，确定c的唯一取值，进而得到a与b的数量关系，最后枚举所有符合条件的数即可得到结果。
【解析】
设两位数M的十位数字为a，个位数字为b（a、b均为正整数，且$1≤a≤9$，$1≤b≤9$，$a＞b$），则$M=10a+b$，互换后得到的$N=10b+a$。
由题意得M-N是正整数c的立方，即：
$M-N=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=c^3$
∵a最大为9，b最小为1，
∴$9(a-b)≤9×(9-1)=72$，即$c^3≤72$
∵c为正整数，$4^3=64$，$5^3=125＞72$，
∴c可取1、2、3、4
又
∵$c^3=9(a-b)$，即$c^3$是9的整数倍，在$1^3=1$、$2^3=8$、$3^3=27$、$4^3=64$中，只有27是9的倍数，
∴$c=3$
∴$9(a-b)=27$，解得$a-b=3$
结合a、b的取值范围，符合条件的(a,b)组合为：(4,1)、(5,2)、(6,3)、(7,4)、(8,5)、(9,6)，对应的M分别为41、52、63、74、85、96，共6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 两位数的代数式表示 2. 立方的性质 3. 整数解求解
【点评】
本题将数的表示与立方的性质结合考查，解题核心是先通过代数式化简得到两数差的特征，再结合未知数的取值范围缩小参数的可能值，最后枚举得到所有符合条件的结果，解题时需注意不要忽略数字的取值范围避免多解。
【难度系数】
0.6
遇到个位与十位数字互换的两位数问题，首先用含十位、个位数字的代数式表示两个两位数；再根据“M-N是某正整数的立方”列出等式，化简后结合十位、个位数字的取值范围（1≤a≤9，1≤b≤9，a＞b）确定正整数c的取值范围；再结合M-N是9的倍数的特征，确定c的唯一取值，进而得到a与b的数量关系，最后枚举所有符合条件的数即可得到结果。
【解析】
设两位数M的十位数字为a，个位数字为b（a、b均为正整数，且$1≤a≤9$，$1≤b≤9$，$a＞b$），则$M=10a+b$，互换后得到的$N=10b+a$。
由题意得M-N是正整数c的立方，即：
$M-N=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=c^3$
∵a最大为9，b最小为1，
∴$9(a-b)≤9×(9-1)=72$，即$c^3≤72$
∵c为正整数，$4^3=64$，$5^3=125＞72$，
∴c可取1、2、3、4
又
∵$c^3=9(a-b)$，即$c^3$是9的整数倍，在$1^3=1$、$2^3=8$、$3^3=27$、$4^3=64$中，只有27是9的倍数，
∴$c=3$
∴$9(a-b)=27$，解得$a-b=3$
结合a、b的取值范围，符合条件的(a,b)组合为：(4,1)、(5,2)、(6,3)、(7,4)、(8,5)、(9,6)，对应的M分别为41、52、63、74、85、96，共6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 两位数的代数式表示 2. 立方的性质 3. 整数解求解
【点评】
本题将数的表示与立方的性质结合考查，解题核心是先通过代数式化简得到两数差的特征，再结合未知数的取值范围缩小参数的可能值，最后枚举得到所有符合条件的结果，解题时需注意不要忽略数字的取值范围避免多解。
【难度系数】
0.6
17. 新题型规律探究题【发现】
①$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-8}=2+(-2)=0$；
②$\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{-1}=1+(-1)=0$；
③$\sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{-1000}=10+(-10)=0$；
④$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}+(-\frac{1}{4})=0$；
……
(1)根据上述等式反映的规律,请再写出一个等式:
等式①②③④所反映的规律,可归纳为一结论:
对于任意两个实数$a,b$,若
【应用】根据上述结论,解决下列问题:
(2)若$\sqrt[3]{3-2x}$与$\sqrt[3]{x+6}$互为相反数,则$\sqrt{4x}=$
(3)若$\sqrt[3]{4a^2-10}$与$\sqrt[3]{6-3b}$互为相反数,且$10a^2-6b=16$,求$a$的值。
①$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-8}=2+(-2)=0$；
②$\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{-1}=1+(-1)=0$；
③$\sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{-1000}=10+(-10)=0$；
④$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}+(-\frac{1}{4})=0$；
……
(1)根据上述等式反映的规律,请再写出一个等式:
$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-27}=3+(-3)=0$(答案不唯一)
。等式①②③④所反映的规律,可归纳为一结论:
对于任意两个实数$a,b$,若
$a,b$互为相反数
,则$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=0$；反之,也成立。【应用】根据上述结论,解决下列问题:
(2)若$\sqrt[3]{3-2x}$与$\sqrt[3]{x+6}$互为相反数,则$\sqrt{4x}=$
6
。(3)若$\sqrt[3]{4a^2-10}$与$\sqrt[3]{6-3b}$互为相反数,且$10a^2-6b=16$,求$a$的值。
答案
(1) $\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-27}=3+(-3)=0$(答案不唯一)；$a,b$互为相反数
(2)6 【点拨】因为 $\sqrt[3]{3-2x}$ 与 $\sqrt[3]{x+6}$ 互为相反数，所以 $\sqrt[3]{3-2x}+\sqrt[3]{x+6}=0$，所以 $3-2x+x+6=0$，所以 $x=9$，所以 $\sqrt{4x}=\sqrt{36}=6$。
(3)因为 $\sqrt[3]{4a^2-10}$ 与 $\sqrt[3]{6-3b}$ 互为相反数，
所以 $4a^2-10+6-3b=0$，所以 $b=\dfrac{4a^2-4}{3}$。
因为 $10a^2-6b=16$，所以 $10a^2-8a^2+8=16$，
所以 $2a^2=8$，所以 $a=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
(2)6 【点拨】因为 $\sqrt[3]{3-2x}$ 与 $\sqrt[3]{x+6}$ 互为相反数，所以 $\sqrt[3]{3-2x}+\sqrt[3]{x+6}=0$，所以 $3-2x+x+6=0$，所以 $x=9$，所以 $\sqrt{4x}=\sqrt{36}=6$。
(3)因为 $\sqrt[3]{4a^2-10}$ 与 $\sqrt[3]{6-3b}$ 互为相反数，
所以 $4a^2-10+6-3b=0$，所以 $b=\dfrac{4a^2-4}{3}$。
因为 $10a^2-6b=16$，所以 $10a^2-8a^2+8=16$，
所以 $2a^2=8$，所以 $a=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
解析
【分析】
1. 解决(1)问时，先观察给出的4个等式，可发现每组的两个被开方数互为相反数，它们的立方根之和为0，据此可仿写同类等式，归纳出通用结论；
2. 解决(2)问时，利用上述结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数（和为0），列出关于x的一元一次方程，求解后代入$\sqrt{4x}$计算即可；
3. 解决(3)问时，同样先根据立方根互为相反数的结论，得到含a、b的等式，整理出b用a表示的式子，再代入已知的$10a^2-6b=16$，求解关于a的方程即可，注意正数的平方根有两个。
【解析】
(1) 按照规律可写出等式：$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-27}=3+(-3)=0$（答案不唯一，只要两个被开方数互为相反数即可）；
观察所有等式可知，当两个实数a、b互为相反数时，$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=0$，反之也成立。
(2) 已知$\sqrt[3]{3-2x}$与$\sqrt[3]{x+6}$互为相反数，根据上述结论可得：
$3-2x + x + 6 = 0$
合并同类项得：$-x + 9 = 0$，解得$x=9$
将$x=9$代入$\sqrt{4x}$得：$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$
(3) 因为$\sqrt[3]{4a^2-10}$与$\sqrt[3]{6-3b}$互为相反数，根据结论可得：
$4a^2 - 10 + 6 - 3b = 0$
整理得：$4a^2 - 3b = 4$，变形得$b=\frac{4a^2 - 4}{3}$
将$b=\frac{4a^2 - 4}{3}$代入$10a^2 - 6b = 16$得：
$10a^2 - 6×\frac{4a^2 - 4}{3} = 16$
化简得：$10a^2 - 2(4a^2 - 4) = 16$
展开得：$10a^2 - 8a^2 + 8 = 16$
合并同类项得：$2a^2 = 8$，即$a^2=4$
开平方得：$a=\pm2$
【答案】
(1) $\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-27}=3+(-3)=0$（答案不唯一）；a,b互为相反数
(2) 6
(3) $a=\pm2$
【知识点】
立方根的性质；相反数的性质；解方程
【点评】
本题属于规律探究类题型，先通过示例总结出互为相反数的两个数的立方根的运算规律，再应用规律解决计算问题，既考查了观察归纳能力，又考查了对立方根、相反数性质的应用能力，解题时注意求平方根时不要漏解。
【难度系数】
0.7
1. 解决(1)问时，先观察给出的4个等式，可发现每组的两个被开方数互为相反数，它们的立方根之和为0，据此可仿写同类等式，归纳出通用结论；
2. 解决(2)问时，利用上述结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数（和为0），列出关于x的一元一次方程，求解后代入$\sqrt{4x}$计算即可；
3. 解决(3)问时，同样先根据立方根互为相反数的结论，得到含a、b的等式，整理出b用a表示的式子，再代入已知的$10a^2-6b=16$，求解关于a的方程即可，注意正数的平方根有两个。
【解析】
(1) 按照规律可写出等式：$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-27}=3+(-3)=0$（答案不唯一，只要两个被开方数互为相反数即可）；
观察所有等式可知，当两个实数a、b互为相反数时，$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=0$，反之也成立。
(2) 已知$\sqrt[3]{3-2x}$与$\sqrt[3]{x+6}$互为相反数，根据上述结论可得：
$3-2x + x + 6 = 0$
合并同类项得：$-x + 9 = 0$，解得$x=9$
将$x=9$代入$\sqrt{4x}$得：$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$
(3) 因为$\sqrt[3]{4a^2-10}$与$\sqrt[3]{6-3b}$互为相反数，根据结论可得：
$4a^2 - 10 + 6 - 3b = 0$
整理得：$4a^2 - 3b = 4$，变形得$b=\frac{4a^2 - 4}{3}$
将$b=\frac{4a^2 - 4}{3}$代入$10a^2 - 6b = 16$得：
$10a^2 - 6×\frac{4a^2 - 4}{3} = 16$
化简得：$10a^2 - 2(4a^2 - 4) = 16$
展开得：$10a^2 - 8a^2 + 8 = 16$
合并同类项得：$2a^2 = 8$，即$a^2=4$
开平方得：$a=\pm2$
【答案】
(1) $\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-27}=3+(-3)=0$（答案不唯一）；a,b互为相反数
(2) 6
(3) $a=\pm2$
【知识点】
立方根的性质；相反数的性质；解方程
【点评】
本题属于规律探究类题型，先通过示例总结出互为相反数的两个数的立方根的运算规律，再应用规律解决计算问题，既考查了观察归纳能力，又考查了对立方根、相反数性质的应用能力，解题时注意求平方根时不要漏解。
【难度系数】
0.7
18. 我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题:求59 319的立方根.他脱口而出:39.他是怎样快速准确算出来的呢?
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算,如:因为$0^3=0$,所以$\sqrt[3]{0}=0$;因为$(-2)^3=-8$,所以$\sqrt[3]{-8}=-2$,因此,我们需要熟悉一些数及其立方.请补全表格:
(2)【思路探究】尝试求出19 683的立方根是哪个整数:
①确定立方根的位数:由$10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,确定$\sqrt[3]{19\ 683}$是
②确定个位的数字:根据(1)中各整数的立方的个位数字,确定$\sqrt[3]{19\ 683}$的个位上的数字是
③确定十位的数字:由$20^3=8\ 000,30^3=27\ 000$,且$8\ 000＜19\ 683＜27\ 000$,确定$\sqrt[3]{19\ 683}$的十位上的数字是
④确定立方根的值:由①~③可得$\sqrt[3]{19\ 683}$的值为
(3)【尝试应用】某商场拟建一个容积为373 248的正方体玻璃柜放置东莞迎恩门城楼模型,请问这个正方体玻璃柜的棱长是多少?直接写出答案.
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算,如:因为$0^3=0$,所以$\sqrt[3]{0}=0$;因为$(-2)^3=-8$,所以$\sqrt[3]{-8}=-2$,因此,我们需要熟悉一些数及其立方.请补全表格:
(2)【思路探究】尝试求出19 683的立方根是哪个整数:
①确定立方根的位数:由$10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,确定$\sqrt[3]{19\ 683}$是
两
位数;②确定个位的数字:根据(1)中各整数的立方的个位数字,确定$\sqrt[3]{19\ 683}$的个位上的数字是
7
;③确定十位的数字:由$20^3=8\ 000,30^3=27\ 000$,且$8\ 000＜19\ 683＜27\ 000$,确定$\sqrt[3]{19\ 683}$的十位上的数字是
2
;④确定立方根的值:由①~③可得$\sqrt[3]{19\ 683}$的值为
27
.(3)【尝试应用】某商场拟建一个容积为373 248的正方体玻璃柜放置东莞迎恩门城楼模型,请问这个正方体玻璃柜的棱长是多少?直接写出答案.
答案
(1)64;125;343;512
(2)①两 ②7 ③2 ④27
(3)这个正方体玻璃柜的棱长是 72。
(2)①两 ②7 ③2 ④27
(3)这个正方体玻璃柜的棱长是 72。
解析
【分析】
本题基于立方与开立方互为逆运算的核心知识点设计，解题思路分三步：首先通过乘方运算补全常用数的立方表，为后续找规律做准备；其次求较大数的立方根时，先通过10³、100³的数值范围确定立方根的位数，再根据1~10的立方的个位数字规律确定立方根的个位，最后通过整十数的立方范围确定立方根的十位，组合后即可得到结果；实际应用部分也沿用该思路，正方体容积即棱长的立方，求棱长等价于求容积的立方根。
【解析】
(1) 计算对应整数的立方：
$4^3=4×4×4=64$，$5^3=5×5×5=125$，$7^3=7×7×7=343$，$8^3=8×8×8=512$，因此表格空缺处依次填64、125、343、512。
(2) 求$\sqrt[3]{19683}$：
① 因为$10^3=1000＜19683＜1000000=100^3$，所以$\sqrt[3]{19683}$是两位数；
② 观察1~10的立方的个位数字，只有$7^3=343$的个位是3，因此$\sqrt[3]{19683}$的个位数字是7；
③ 因为$20^3=8000＜19683＜27000=30^3$，所以$\sqrt[3]{19683}$的十位数字是2；
④ 结合以上结论，可得$\sqrt[3]{19683}=27$。
(3) 求容积为373248的正方体棱长，即求$\sqrt[3]{373248}$：
首先$10^3=1000＜373248＜1000000=100^3$，得棱长是两位数；
观察立方的个位规律，只有$2^3=8$的个位是8，因此棱长的个位是2；
又$70^3=343000＜373248＜512000=80^3$，因此棱长的十位是7，组合得棱长为72。
【答案】
(1)64；125；343；512
(2)①两 ②7 ③2 ④27
(3)这个正方体玻璃柜的棱长是72。
【知识点】
立方与开立方互逆，立方根估算，乘方运算
【点评】
本题通过分步推导的方法降低了大数开立方的难度，既考察了基础乘方运算能力，也锻炼了数感和规律总结能力，还能将数学方法运用到实际生活的几何问题中，实用性较强。
【难度系数】
0.7
本题基于立方与开立方互为逆运算的核心知识点设计，解题思路分三步：首先通过乘方运算补全常用数的立方表，为后续找规律做准备；其次求较大数的立方根时，先通过10³、100³的数值范围确定立方根的位数，再根据1~10的立方的个位数字规律确定立方根的个位，最后通过整十数的立方范围确定立方根的十位，组合后即可得到结果；实际应用部分也沿用该思路，正方体容积即棱长的立方，求棱长等价于求容积的立方根。
【解析】
(1) 计算对应整数的立方：
$4^3=4×4×4=64$，$5^3=5×5×5=125$，$7^3=7×7×7=343$，$8^3=8×8×8=512$，因此表格空缺处依次填64、125、343、512。
(2) 求$\sqrt[3]{19683}$：
① 因为$10^3=1000＜19683＜1000000=100^3$，所以$\sqrt[3]{19683}$是两位数；
② 观察1~10的立方的个位数字，只有$7^3=343$的个位是3，因此$\sqrt[3]{19683}$的个位数字是7；
③ 因为$20^3=8000＜19683＜27000=30^3$，所以$\sqrt[3]{19683}$的十位数字是2；
④ 结合以上结论，可得$\sqrt[3]{19683}=27$。
(3) 求容积为373248的正方体棱长，即求$\sqrt[3]{373248}$：
首先$10^3=1000＜373248＜1000000=100^3$，得棱长是两位数；
观察立方的个位规律，只有$2^3=8$的个位是8，因此棱长的个位是2；
又$70^3=343000＜373248＜512000=80^3$，因此棱长的十位是7，组合得棱长为72。
【答案】
(1)64；125；343；512
(2)①两 ②7 ③2 ④27
(3)这个正方体玻璃柜的棱长是72。
【知识点】
立方与开立方互逆，立方根估算，乘方运算
【点评】
本题通过分步推导的方法降低了大数开立方的难度，既考察了基础乘方运算能力，也锻炼了数感和规律总结能力，还能将数学方法运用到实际生活的几何问题中，实用性较强。
【难度系数】
0.7
