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1. 下列说法:①数轴上的点与实数成一一对应关系；②两个无理数的和还是无理数；③无限小数都是无理数；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身,则这个数是0.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断这几个说法的正误，我们可以逐个结合实数相关的概念、性质来分析，对错误的说法可以通过举反例的方式快速排除，最后统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
①数轴上的点与实数成一一对应关系：这是实数的基本性质，每个实数都可以用数轴上唯一的点表示，数轴上的每个点都对应唯一的实数，该说法正确；
②两个无理数的和还是无理数：举反例，如$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$都是无理数，二者的和为0，是有理数，该说法错误；
③无限小数都是无理数：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数（如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$是有理数），只有无限不循环小数才是无理数，该说法错误；
④任何实数不是有理数就是无理数：实数按定义就分为有理数和无理数两类，该说法正确；
⑤若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0：首先，相反数是它本身的数只有0，验证可知0的绝对值是0，算术平方根也是0，符合要求，该说法正确。
综上，正确的说法是①④⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
实数的分类，数轴与实数的对应关系，无理数的概念
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念，易错点在于对无理数的定义、两个无理数运算结果的判断，解题时可通过举反例的方式快速验证错误说法，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要判断这几个说法的正误，我们可以逐个结合实数相关的概念、性质来分析，对错误的说法可以通过举反例的方式快速排除，最后统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
①数轴上的点与实数成一一对应关系：这是实数的基本性质，每个实数都可以用数轴上唯一的点表示，数轴上的每个点都对应唯一的实数，该说法正确；
②两个无理数的和还是无理数：举反例，如$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$都是无理数，二者的和为0，是有理数，该说法错误；
③无限小数都是无理数：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数（如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$是有理数），只有无限不循环小数才是无理数，该说法错误；
④任何实数不是有理数就是无理数：实数按定义就分为有理数和无理数两类，该说法正确；
⑤若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0：首先，相反数是它本身的数只有0，验证可知0的绝对值是0，算术平方根也是0，符合要求，该说法正确。
综上，正确的说法是①④⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
实数的分类，数轴与实数的对应关系，无理数的概念
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念，易错点在于对无理数的定义、两个无理数运算结果的判断，解题时可通过举反例的方式快速验证错误说法，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
2. 定义:不超过实数$x$的最大整数称为$x$的整数部分,记作$[x]$.例如$[\sqrt{3}]=1, [-\sqrt{5}]=-3$.按此规定,$[1-\sqrt{10}]=$
-3
.答案
2. $-3$ 【点拨】因为 $9＜10＜16$,所以 $3＜\sqrt{10}＜4$. 所以$-4＜-\sqrt{10}＜-3$. 所以$-3＜1-\sqrt{10}＜-2$. 所以$[1-\sqrt{10}]=-3$.
解析
【分析】
解题时首先要明确目标是求$1-\sqrt{10}$的整数部分，需先估算出$\sqrt{10}$的取值范围，再利用不等式的性质逐步推导出$1-\sqrt{10}$的取值范围，最后结合题干给出的$[x]$的定义，找出不超过$1-\sqrt{10}$的最大整数即可。
【解析】
因为$9＜10＜16$，对三边同时开算术平方根可得$3＜\sqrt{10}＜4$；
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-\sqrt{10}＜-3$；
不等式三边同时加$1$，得$-3＜1-\sqrt{10}＜-2$；
根据$[x]$是不超过实数$x$的最大整数的定义，可知不超过$1-\sqrt{10}$的最大整数为$-3$，即$[1-\sqrt{10}]=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
无理数的估算，不等式的性质，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查无理数估算的应用，解题的核心是先准确估算出无理数的取值范围，再通过不等式变形得到目标代数式的范围，最后结合定义求解即可，属于基础类新定义题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确目标是求$1-\sqrt{10}$的整数部分，需先估算出$\sqrt{10}$的取值范围，再利用不等式的性质逐步推导出$1-\sqrt{10}$的取值范围，最后结合题干给出的$[x]$的定义，找出不超过$1-\sqrt{10}$的最大整数即可。
【解析】
因为$9＜10＜16$，对三边同时开算术平方根可得$3＜\sqrt{10}＜4$；
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-\sqrt{10}＜-3$；
不等式三边同时加$1$，得$-3＜1-\sqrt{10}＜-2$；
根据$[x]$是不超过实数$x$的最大整数的定义，可知不超过$1-\sqrt{10}$的最大整数为$-3$，即$[1-\sqrt{10}]=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
无理数的估算，不等式的性质，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查无理数估算的应用，解题的核心是先准确估算出无理数的取值范围，再通过不等式变形得到目标代数式的范围，最后结合定义求解即可，属于基础类新定义题型。
【难度系数】
0.7
3. 将下列各数填在相应的集合里.
$\sqrt[3]{512}, π, 3.1415926, -0.456, 3.030030003···$（相邻两个3之间依次多1个0）$, 0, \frac{5}{11}, \sqrt[3]{9}, \sqrt{(-7)^2}, \sqrt{0.1}.$
有理数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}$；
无理数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}$；
正实数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}$；
整数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}.$
$\sqrt[3]{512}, π, 3.1415926, -0.456, 3.030030003···$（相邻两个3之间依次多1个0）$, 0, \frac{5}{11}, \sqrt[3]{9}, \sqrt{(-7)^2}, \sqrt{0.1}.$
有理数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}$；
无理数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}$；
正实数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}$；
整数集合：$\{ \underline{\hspace{10cm}} ··· \}.$
答案
3. 【解】有理数集合：$\{\sqrt[3]{512},3.1415926,-0.456,0,\frac{5}{11},\sqrt{(-7)^2},\dots\}$.
无理数集合：$\{π,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\sqrt[3]{9},\sqrt{0.1},\dots\}$.
正实数集合：$\{\sqrt[3]{512},π,3.1415926,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\frac{5}{11},\sqrt[3]{9},\sqrt{(-7)^2},\sqrt{0.1},\dots\}$.
整数集合：$\{\sqrt[3]{512},0,\sqrt{(-7)^2},\dots\}$.
无理数集合：$\{π,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\sqrt[3]{9},\sqrt{0.1},\dots\}$.
正实数集合：$\{\sqrt[3]{512},π,3.1415926,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\frac{5}{11},\sqrt[3]{9},\sqrt{(-7)^2},\sqrt{0.1},\dots\}$.
整数集合：$\{\sqrt[3]{512},0,\sqrt{(-7)^2},\dots\}$.
解析
【分析】
解题前首先要明确各类数的定义，第一步先对题目中可化简的根式进行计算，再根据定义逐个判断每个数所属的集合：①有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数三类；③正实数指所有大于0的实数；④整数包括正整数、0、负整数。
【解析】
第一步：先化简题中可化简的数：
$\sqrt[3]{512}=\sqrt[3]{8^3}=8$，$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$。
第二步：根据定义逐一分类：
1. 有理数集合：有理数包含整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数，因此可得有理数为$\sqrt[3]{512},3.1415926,-0.456,0,\frac{5}{11},\sqrt{(-7)^2}$。
2. 无理数集合：无限不循环小数为无理数，$π$是典型的无限不循环小数，$3.030030003···$（相邻两个3之间依次多1个0）是有规律但不循环的无限小数，$\sqrt[3]{9}$、$\sqrt{0.1}$都是开方开不尽的数，四个数均为无理数。
3. 正实数集合：筛选所有大于0的数，排除负数和0即可，对应数为$\sqrt[3]{512},π,3.1415926,3.030030003···$（相邻两个3之间依次多1个0）$,\frac{5}{11},\sqrt[3]{9},\sqrt{(-7)^2},\sqrt{0.1}$。
4. 整数集合：筛选化简后为整数的数，对应为$\sqrt[3]{512},0,\sqrt{(-7)^2}$。
【答案】
有理数集合：$\{\sqrt[3]{512},3.1415926,-0.456,0,\frac{5}{11},\sqrt{(-7)^2},\dots\}$；
无理数集合：$\{π,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\sqrt[3]{9},\sqrt{0.1},\dots\}$；
正实数集合：$\{\sqrt[3]{512},π,3.1415926,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\frac{5}{11},\sqrt[3]{9},\sqrt{(-7)^2},\sqrt{0.1},\dots\}$；
整数集合：$\{\sqrt[3]{512},0,\sqrt{(-7)^2},\dots\}$。
【知识点】
实数的分类，无理数的判别，根式化简
【点评】
本题考查实数的相关概念，解题关键是先对带根号的数进行化简再分类，不要直接将带根号的数默认为无理数，同时注意区分“有规律”和“循环”，有规律的无限不循环小数仍属于无理数。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确各类数的定义，第一步先对题目中可化简的根式进行计算，再根据定义逐个判断每个数所属的集合：①有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数三类；③正实数指所有大于0的实数；④整数包括正整数、0、负整数。
【解析】
第一步：先化简题中可化简的数：
$\sqrt[3]{512}=\sqrt[3]{8^3}=8$，$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$。
第二步：根据定义逐一分类：
1. 有理数集合：有理数包含整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数，因此可得有理数为$\sqrt[3]{512},3.1415926,-0.456,0,\frac{5}{11},\sqrt{(-7)^2}$。
2. 无理数集合：无限不循环小数为无理数，$π$是典型的无限不循环小数，$3.030030003···$（相邻两个3之间依次多1个0）是有规律但不循环的无限小数，$\sqrt[3]{9}$、$\sqrt{0.1}$都是开方开不尽的数，四个数均为无理数。
3. 正实数集合：筛选所有大于0的数，排除负数和0即可，对应数为$\sqrt[3]{512},π,3.1415926,3.030030003···$（相邻两个3之间依次多1个0）$,\frac{5}{11},\sqrt[3]{9},\sqrt{(-7)^2},\sqrt{0.1}$。
4. 整数集合：筛选化简后为整数的数，对应为$\sqrt[3]{512},0,\sqrt{(-7)^2}$。
【答案】
有理数集合：$\{\sqrt[3]{512},3.1415926,-0.456,0,\frac{5}{11},\sqrt{(-7)^2},\dots\}$；
无理数集合：$\{π,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\sqrt[3]{9},\sqrt{0.1},\dots\}$；
正实数集合：$\{\sqrt[3]{512},π,3.1415926,3.030030003···(相邻两个3之间依次多1个0),\frac{5}{11},\sqrt[3]{9},\sqrt{(-7)^2},\sqrt{0.1},\dots\}$；
整数集合：$\{\sqrt[3]{512},0,\sqrt{(-7)^2},\dots\}$。
【知识点】
实数的分类，无理数的判别，根式化简
【点评】
本题考查实数的相关概念，解题关键是先对带根号的数进行化简再分类，不要直接将带根号的数默认为无理数，同时注意区分“有规律”和“循环”，有规律的无限不循环小数仍属于无理数。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法正确的是（
A.$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$
B.$(\sqrt{5})^2$的算术平方根是5
C.$(-7)^2$的平方根是7
D.1的平方根和算术平方根都是1
A
）A.$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$
B.$(\sqrt{5})^2$的算术平方根是5
C.$(-7)^2$的平方根是7
D.1的平方根和算术平方根都是1
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时需先将每个选项中需要计算的部分先化简，再结合平方根、算术平方根的定义逐一判断选项正误即可：①一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根为该数的算术平方根；②负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简得$\sqrt{81}=9$，根据平方根的定义，9的平方根是$\pm3$，该选项说法正确；
B选项：先计算得$(\sqrt{5})^2=5$，根据算术平方根的定义，5的算术平方根是$\sqrt{5}$，不是5，该选项说法错误；
C选项：先计算得$(-7)^2=49$，49的平方根是$\pm7$，不是只有7，该选项说法错误；
D选项：1的平方根是$\pm1$，算术平方根是1，该选项说法错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易混淆平方根和算术平方根的范围，或者未先化简原式就直接计算平方根，解题时要注意先对含有根号、乘方的式子化简后再计算对应根。
【难度系数】
0.6
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时需先将每个选项中需要计算的部分先化简，再结合平方根、算术平方根的定义逐一判断选项正误即可：①一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根为该数的算术平方根；②负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简得$\sqrt{81}=9$，根据平方根的定义，9的平方根是$\pm3$，该选项说法正确；
B选项：先计算得$(\sqrt{5})^2=5$，根据算术平方根的定义，5的算术平方根是$\sqrt{5}$，不是5，该选项说法错误；
C选项：先计算得$(-7)^2=49$，49的平方根是$\pm7$，不是只有7，该选项说法错误；
D选项：1的平方根是$\pm1$，算术平方根是1，该选项说法错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易混淆平方根和算术平方根的范围，或者未先化简原式就直接计算平方根，解题时要注意先对含有根号、乘方的式子化简后再计算对应根。
【难度系数】
0.6
5.若$|a-3|+(b-2)^2+\sqrt{c+4}=0$，则$(a-b+c)^2$的值是
9
。答案
5.9
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解。首先明确绝对值、完全平方数、算术平方根都属于非负数，它们的取值均大于等于0，当几个非负数的和为0时，每一个非负数的值都为0。据此我们可以分别列方程求出a、b、c的取值，再代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据绝对值、平方、算术平方根的非负性可知：
$|a-3|≥0$，$(b-2)^2≥0$，$\sqrt{c+4}≥0$
$\because |a-3|+(b-2)^2+\sqrt{c+4}=0$
$\therefore$ 每一项都为0，即：
$\begin{cases}a-3=0 \\b-2=0 \\c+4=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3 \\b=2 \\c=-4\end{cases}$
将$a=3$，$b=2$，$c=-4$代入$(a-b+c)^2$得：
原式$=(3-2-4)^2=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心考点是非负数的性质，解题的关键是掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论，代入计算时要注意有理数加减的符号问题，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解。首先明确绝对值、完全平方数、算术平方根都属于非负数，它们的取值均大于等于0，当几个非负数的和为0时，每一个非负数的值都为0。据此我们可以分别列方程求出a、b、c的取值，再代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据绝对值、平方、算术平方根的非负性可知：
$|a-3|≥0$，$(b-2)^2≥0$，$\sqrt{c+4}≥0$
$\because |a-3|+(b-2)^2+\sqrt{c+4}=0$
$\therefore$ 每一项都为0，即：
$\begin{cases}a-3=0 \\b-2=0 \\c+4=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3 \\b=2 \\c=-4\end{cases}$
将$a=3$，$b=2$，$c=-4$代入$(a-b+c)^2$得：
原式$=(3-2-4)^2=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心考点是非负数的性质，解题的关键是掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论，代入计算时要注意有理数加减的符号问题，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.8
6. 一个正数m的两个不同的平方根分别为2n+1和3−3n，则m的值为
81
.答案
6.81
解析
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，相加和为0。我们可以利用这个性质先列出关于n的一元一次方程，求出n的值后，再将n代入任意一个平方根，把结果平方即可得到m的值。
【解析】
解：
∵ 正数的两个不同平方根互为相反数，二者之和为0
∴ 可得方程：$(2n + 1) + (3 - 3n) = 0$
去括号合并同类项得：$-n + 4 = 0$
解得：$n = 4$
将$n=4$代入$2n+1$得：$2×4 + 1 = 9$
因此$m = 9^2 = 81$
【答案】
81
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查正数平方根的性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，整体计算量小，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，相加和为0。我们可以利用这个性质先列出关于n的一元一次方程，求出n的值后，再将n代入任意一个平方根，把结果平方即可得到m的值。
【解析】
解：
∵ 正数的两个不同平方根互为相反数，二者之和为0
∴ 可得方程：$(2n + 1) + (3 - 3n) = 0$
去括号合并同类项得：$-n + 4 = 0$
解得：$n = 4$
将$n=4$代入$2n+1$得：$2×4 + 1 = 9$
因此$m = 9^2 = 81$
【答案】
81
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查正数平方根的性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，整体计算量小，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 比$\sqrt{5}$小且比$-\sqrt{3}$大的整数有
-1,0,1,2
.答案
7.$-1,0,1,2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出$\sqrt{5}$和$-\sqrt{3}$的取值范围，再在两个数的取值区间内找出所有整数即可。第一步先通过找相邻的完全平方数来估算无理数的大小，第二步根据实数的大小关系筛选符合条件的整数。
【解析】
首先估算$\sqrt{5}$的范围：
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
再估算$-\sqrt{3}$的范围：
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$。
设满足条件的整数为$x$，则$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$，结合上述两个范围可知，$x$需要满足大于$-2$且小于$3$，符合条件的整数为$-1,0,1,2$。
【答案】
$-1,0,1,2$
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题重点考查无理数大小的估算能力，解题的核心是准确找到无理数相邻的整数，进而确定其取值范围，再筛选出符合要求的整数，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要估算出$\sqrt{5}$和$-\sqrt{3}$的取值范围，再在两个数的取值区间内找出所有整数即可。第一步先通过找相邻的完全平方数来估算无理数的大小，第二步根据实数的大小关系筛选符合条件的整数。
【解析】
首先估算$\sqrt{5}$的范围：
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
再估算$-\sqrt{3}$的范围：
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$。
设满足条件的整数为$x$，则$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$，结合上述两个范围可知，$x$需要满足大于$-2$且小于$3$，符合条件的整数为$-1,0,1,2$。
【答案】
$-1,0,1,2$
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题重点考查无理数大小的估算能力，解题的核心是准确找到无理数相邻的整数，进而确定其取值范围，再筛选出符合要求的整数，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 比较大小：$\sqrt{37}-2$
＞
$\sqrt{3}+2$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
8.＞
解析
【分析】
要比较含无理数的两个式子的大小，可先估算出无理数的取值范围，再通过不等式的性质推导得到两个待比较式子的取值范围，最后对比两个范围即可得出大小关系。首先估算$\sqrt{37}$的范围，再计算$\sqrt{37}-2$的范围；接着估算$\sqrt{3}$的范围，再计算$\sqrt{3}+2$的范围，最后对比两个范围就能得到结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{37}-2$的取值范围
$\because 6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$
$\therefore 6＜\sqrt{37}＜7$
不等式两边同时减2，可得：$6-2＜\sqrt{37}-2＜7-2$，即$4＜\sqrt{37}-2＜5$
第二步：估算$\sqrt{3}+2$的取值范围
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
不等式两边同时加2，可得：$1+2＜\sqrt{3}+2＜2+2$，即$3＜\sqrt{3}+2＜4$
第三步：对比两个式子的大小
$\because \sqrt{37}-2＞4$，$\sqrt{3}+2＜4$
$\therefore \sqrt{37}-2＞\sqrt{3}+2$
【答案】
＞
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题是含无理数式子大小比较的基础题型，解题核心是利用相邻整数的平方数准确估算无理数的整数范围，再结合不等式的性质推导待比较式子的取值范围，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
要比较含无理数的两个式子的大小，可先估算出无理数的取值范围，再通过不等式的性质推导得到两个待比较式子的取值范围，最后对比两个范围即可得出大小关系。首先估算$\sqrt{37}$的范围，再计算$\sqrt{37}-2$的范围；接着估算$\sqrt{3}$的范围，再计算$\sqrt{3}+2$的范围，最后对比两个范围就能得到结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{37}-2$的取值范围
$\because 6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$
$\therefore 6＜\sqrt{37}＜7$
不等式两边同时减2，可得：$6-2＜\sqrt{37}-2＜7-2$，即$4＜\sqrt{37}-2＜5$
第二步：估算$\sqrt{3}+2$的取值范围
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
不等式两边同时加2，可得：$1+2＜\sqrt{3}+2＜2+2$，即$3＜\sqrt{3}+2＜4$
第三步：对比两个式子的大小
$\because \sqrt{37}-2＞4$，$\sqrt{3}+2＜4$
$\therefore \sqrt{37}-2＞\sqrt{3}+2$
【答案】
＞
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题是含无理数式子大小比较的基础题型，解题核心是利用相邻整数的平方数准确估算无理数的整数范围，再结合不等式的性质推导待比较式子的取值范围，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
9. 新考法分类讨论法 已知9,16和a三个数,使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根,写出所有符合条件的数a的值:
$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$
.答案
9.$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$
解析
【分析】
首先明确题目要求：三个数9、16、a中，存在一个数是另外两个数乘积的平方根。因为不确定哪个数是另外两数乘积的平方根，所以需要分三类讨论：①a是9和16乘积的平方根；②9是16和a乘积的平方根；③16是9和a乘积的平方根。每类根据平方根的定义“若x是y的平方根，则x²=y”列方程求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据题意分三种情况讨论：
1. 当a是9和16乘积的平方根时：
由平方根的定义可得：$a^2 = 9 × 16 = 144$
解得：$a = \pm\sqrt{144} = \pm12$
2. 当9是16和a乘积的平方根时：
由平方根的定义可得：$9^2 = 16a$
即$81 = 16a$，解得：$a = \frac{81}{16}$
3. 当16是9和a乘积的平方根时：
由平方根的定义可得：$16^2 = 9a$
即$256 = 9a$，解得：$a = \frac{256}{9}$
综上，所有符合条件的a的值为$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$。
【答案】
$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$
【知识点】
平方根的定义；分类讨论思想；列方程求解
【点评】
本题的核心是结合平方根的性质考查分类讨论的数学思想，易错点在于容易遗漏讨论的情况，或是求正数平方根时漏写负根，解题时要逐一梳理所有可能的情况，保证解的完整性。
【难度系数】
0.6
首先明确题目要求：三个数9、16、a中，存在一个数是另外两个数乘积的平方根。因为不确定哪个数是另外两数乘积的平方根，所以需要分三类讨论：①a是9和16乘积的平方根；②9是16和a乘积的平方根；③16是9和a乘积的平方根。每类根据平方根的定义“若x是y的平方根，则x²=y”列方程求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据题意分三种情况讨论：
1. 当a是9和16乘积的平方根时：
由平方根的定义可得：$a^2 = 9 × 16 = 144$
解得：$a = \pm\sqrt{144} = \pm12$
2. 当9是16和a乘积的平方根时：
由平方根的定义可得：$9^2 = 16a$
即$81 = 16a$，解得：$a = \frac{81}{16}$
3. 当16是9和a乘积的平方根时：
由平方根的定义可得：$16^2 = 9a$
即$256 = 9a$，解得：$a = \frac{256}{9}$
综上，所有符合条件的a的值为$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$。
【答案】
$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$
【知识点】
平方根的定义；分类讨论思想；列方程求解
【点评】
本题的核心是结合平方根的性质考查分类讨论的数学思想，易错点在于容易遗漏讨论的情况，或是求正数平方根时漏写负根，解题时要逐一梳理所有可能的情况，保证解的完整性。
【难度系数】
0.6
10.已知$\sqrt[3]{1-3y}$与$\sqrt[3]{4x-1}$互为相反数（其中$y≠0$），则$\frac{2x}{y}=$
$\frac{3}{2}$
。答案
10. $\frac{3}{2}$ 【点拨】由$\sqrt[3]{1-3y}$与$\sqrt[3]{4x-1}$互为相反数可得$1-3y$与$4x-1$互为相反数,所以$4x-1+1-3y=0$,整理得 $y=\frac{4}{3}x$. 将 $y=\frac{4}{3}x$ 代入 $\frac{2x}{y}$ 可得, $\frac{2x}{y}=\frac{2x}{\frac{4}{3}x}=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的相关性质：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数本身也互为相反数。结合题目给出的条件，可得到两个被开方数的和为0，对等式化简就能得到x与y的数量关系，最后将该关系代入待求的分式中，约分化简即可求出结果，题目给出的$y≠0$条件可保证分式有意义。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{1-3y}$与$\sqrt[3]{4x-1}$互为相反数
根据立方根的性质，两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数，可得：
$(1-3y)+(4x-1)=0$
化简等式：
$1-3y+4x-1=0$
整理得：$4x=3y$，即$y=\frac{4}{3}x$
将$y=\frac{4}{3}x$代入$\frac{2x}{y}$（已知$y≠0$，故$x≠0$，分式有意义）：
$\frac{2x}{y}=\frac{2x}{\frac{4}{3}x}=2×\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的定义，分式化简求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是熟练掌握立方根的特殊性质，注意不要和平方根的性质混淆，通过建立x与y的等量关系代入求值即可，解题过程中要留意分式有意义的前提条件。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆立方根的相关性质：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数本身也互为相反数。结合题目给出的条件，可得到两个被开方数的和为0，对等式化简就能得到x与y的数量关系，最后将该关系代入待求的分式中，约分化简即可求出结果，题目给出的$y≠0$条件可保证分式有意义。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{1-3y}$与$\sqrt[3]{4x-1}$互为相反数
根据立方根的性质，两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数，可得：
$(1-3y)+(4x-1)=0$
化简等式：
$1-3y+4x-1=0$
整理得：$4x=3y$，即$y=\frac{4}{3}x$
将$y=\frac{4}{3}x$代入$\frac{2x}{y}$（已知$y≠0$，故$x≠0$，分式有意义）：
$\frac{2x}{y}=\frac{2x}{\frac{4}{3}x}=2×\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的定义，分式化简求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是熟练掌握立方根的特殊性质，注意不要和平方根的性质混淆，通过建立x与y的等量关系代入求值即可，解题过程中要留意分式有意义的前提条件。
【难度系数】
0.75
11. 下列各式 $\sqrt{-3}$，$\sqrt{a}$，$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt{a^2+1}$，$\sqrt{x^2-2xy+y^2}$，$\sqrt{(-2)×(-5)}$ 中，一定是二次根式的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
11.B
解析
【分析】
要判断哪些式子一定是二次根式，首先要明确二次根式的判定标准：一是根指数必须是2（通常省略不写），二是被开方数必须为非负数。我们只需要按照这两个标准逐个分析每个式子即可：先看根指数是否为2，排除根指数不是2的式子，再判断剩余式子的被开方数是否恒为非负数，即可得到符合要求的式子数量。
【解析】
二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。我们逐个分析各式：
1. $\sqrt{-3}$：被开方数是$-3＜0$，不符合二次根式要求，不是二次根式；
2. $\sqrt{a}$：式子未明确$a$的取值范围，当$a＜0$时$\sqrt{a}$无意义，因此不一定是二次根式；
3. $\sqrt[3]{2}$：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
4. $\sqrt{a^2+1}$：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，满足二次根式的两个条件，一定是二次根式；
5. $\sqrt{x^2-2xy+y^2}$：先化简被开方数得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，由平方的非负性可知$(x-y)^2≥0$，满足二次根式的两个条件，一定是二次根式；
6. $\sqrt{(-2)×(-5)}$：先计算被开方数得$(-2)×(-5)=10＞0$，满足二次根式的两个条件，一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的共有3个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，偶次幂的非负性，整式的化简
【点评】
本题核心考查二次根式的判定，解题时需紧扣二次根式的两个判定条件，判断被开方数正负性时要结合平方的非负性等性质分析，同时注意不要混淆二次根式和更高次根式的区别。
【难度系数】
0.7
要判断哪些式子一定是二次根式，首先要明确二次根式的判定标准：一是根指数必须是2（通常省略不写），二是被开方数必须为非负数。我们只需要按照这两个标准逐个分析每个式子即可：先看根指数是否为2，排除根指数不是2的式子，再判断剩余式子的被开方数是否恒为非负数，即可得到符合要求的式子数量。
【解析】
二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。我们逐个分析各式：
1. $\sqrt{-3}$：被开方数是$-3＜0$，不符合二次根式要求，不是二次根式；
2. $\sqrt{a}$：式子未明确$a$的取值范围，当$a＜0$时$\sqrt{a}$无意义，因此不一定是二次根式；
3. $\sqrt[3]{2}$：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
4. $\sqrt{a^2+1}$：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，满足二次根式的两个条件，一定是二次根式；
5. $\sqrt{x^2-2xy+y^2}$：先化简被开方数得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，由平方的非负性可知$(x-y)^2≥0$，满足二次根式的两个条件，一定是二次根式；
6. $\sqrt{(-2)×(-5)}$：先计算被开方数得$(-2)×(-5)=10＞0$，满足二次根式的两个条件，一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的共有3个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，偶次幂的非负性，整式的化简
【点评】
本题核心考查二次根式的判定，解题时需紧扣二次根式的两个判定条件，判断被开方数正负性时要结合平方的非负性等性质分析，同时注意不要混淆二次根式和更高次根式的区别。
【难度系数】
0.7
12. 下列各式化成最简二次根式正确的是（
A.$\sqrt{\dfrac{7}{10}} = \sqrt{0.7}$
B.$\sqrt{\dfrac{24}{25}} = \dfrac{\sqrt{24}}{5}$
C.$\sqrt{0.1} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}} = 3\sqrt{6}$
C
）A.$\sqrt{\dfrac{7}{10}} = \sqrt{0.7}$
B.$\sqrt{\dfrac{24}{25}} = \dfrac{\sqrt{24}}{5}$
C.$\sqrt{0.1} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}} = 3\sqrt{6}$
答案
12.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的判定标准：一是被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数、因式是整式），二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需依据这两个标准，逐一分析每个选项的化简结果是否符合要求，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确最简二次根式的两个要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{\dfrac{7}{10}}$化简后应为$\dfrac{\sqrt{70}}{10}$，$\sqrt{0.7}$的被开方数是小数（本质含分母），不属于最简二次根式，A错误。
选项B：$\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{\sqrt{24}}{5}$，但$\sqrt{24}$中含有能开得尽方的因数4，需继续化简为$\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$，该选项化简不完全，B错误。
选项C：$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，化简结果符合最简二次根式的要求，C正确。
选项D：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，选项结果计算错误，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题考查最简二次根式的相关知识，解题核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，化简时既要完成分母有理化去掉被开方数的分母，也要将被开方数中能开尽方的因数全部开方，避免出现化简不彻底或计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的判定标准：一是被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数、因式是整式），二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需依据这两个标准，逐一分析每个选项的化简结果是否符合要求，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确最简二次根式的两个要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{\dfrac{7}{10}}$化简后应为$\dfrac{\sqrt{70}}{10}$，$\sqrt{0.7}$的被开方数是小数（本质含分母），不属于最简二次根式，A错误。
选项B：$\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{\sqrt{24}}{5}$，但$\sqrt{24}$中含有能开得尽方的因数4，需继续化简为$\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$，该选项化简不完全，B错误。
选项C：$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，化简结果符合最简二次根式的要求，C正确。
选项D：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，选项结果计算错误，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题考查最简二次根式的相关知识，解题核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，化简时既要完成分母有理化去掉被开方数的分母，也要将被开方数中能开尽方的因数全部开方，避免出现化简不彻底或计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
13. 已知$a＞0$，那么$\sqrt{\dfrac{-4a}{b}}$可化简为
$-\dfrac{2\sqrt{-ab}}{b}$
.答案
13. $-\frac{2\sqrt{-ab}}{b}$ 【点拨】因为 $a＞0,\frac{-4a}{b}\ge0$,所以 $b＜0$,所以$\sqrt{\frac{-4a}{b}}=\sqrt{\frac{-4ab}{b^2}}=\frac{2\sqrt{-ab}}{|b|}=-\frac{2\sqrt{-ab}}{b}$.
解析
【分析】
首先明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，结合已知a＞0的条件，先推导得出b的符号；再依据二次根式的化简规则，将根号内的分母转化为平方形式以便开方，开方时要结合b的负号正确处理绝对值，避免出现符号错误。
【解析】
1. 确定b的取值范围
∵二次根式$\sqrt{\dfrac{-4a}{b}}$有意义，
∴被开方数$\dfrac{-4a}{b}≥0$
又
∵$a＞0$，
∴$-4a＜0$，要使分式值非负，分母$b＜0$。
2. 化简二次根式
给根号内的分子、分母同乘$b$，将分母化为平方形式：
$\sqrt{\dfrac{-4a}{b}}=\sqrt{\dfrac{-4a· b}{b· b}}=\sqrt{\dfrac{-4ab}{b^2}}$
根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{\dfrac{-4ab}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{4×(-ab)}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{2\sqrt{-ab}}{|b|}$
∵$b＜0$，
∴$|b|=-b$，代入得：
$\dfrac{2\sqrt{-ab}}{|b|}=\dfrac{2\sqrt{-ab}}{-b}=-\dfrac{2\sqrt{-ab}}{b}$
【答案】
$-\dfrac{2\sqrt{-ab}}{b}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式化简
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题核心是先根据隐含条件确定未知字母的取值范围，再进行开方运算，避免直接去绝对值时出现符号偏差。
【难度系数】
0.6
首先明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，结合已知a＞0的条件，先推导得出b的符号；再依据二次根式的化简规则，将根号内的分母转化为平方形式以便开方，开方时要结合b的负号正确处理绝对值，避免出现符号错误。
【解析】
1. 确定b的取值范围
∵二次根式$\sqrt{\dfrac{-4a}{b}}$有意义，
∴被开方数$\dfrac{-4a}{b}≥0$
又
∵$a＞0$，
∴$-4a＜0$，要使分式值非负，分母$b＜0$。
2. 化简二次根式
给根号内的分子、分母同乘$b$，将分母化为平方形式：
$\sqrt{\dfrac{-4a}{b}}=\sqrt{\dfrac{-4a· b}{b· b}}=\sqrt{\dfrac{-4ab}{b^2}}$
根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{\dfrac{-4ab}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{4×(-ab)}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{2\sqrt{-ab}}{|b|}$
∵$b＜0$，
∴$|b|=-b$，代入得：
$\dfrac{2\sqrt{-ab}}{|b|}=\dfrac{2\sqrt{-ab}}{-b}=-\dfrac{2\sqrt{-ab}}{b}$
【答案】
$-\dfrac{2\sqrt{-ab}}{b}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式化简
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题核心是先根据隐含条件确定未知字母的取值范围，再进行开方运算，避免直接去绝对值时出现符号偏差。
【难度系数】
0.6
14.已知实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图
所示，化简$|a|-\sqrt{(a+c)^2}+\sqrt{(c-a)^2}-\sqrt{b^2}=$
所示，化简$|a|-\sqrt{(a+c)^2}+\sqrt{(c-a)^2}-\sqrt{b^2}=$$a-b$
.答案
14. $a-b$ 【点拨】由数轴可知 $a＜0,a+c＜0,c-a＜0,b＞0$,则$|a|-\sqrt{(a+c)^2}+\sqrt{(c-a)^2}-\sqrt{b^2}=-a+a+c-(c-a)-b=a-b$.
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定a、b、c的大小和正负关系：c ＜ a ＜ 0 ＜ b，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中所有二次根式转化为绝对值形式，接着逐一判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，因此$a＜0$，$a+c＜0$，$c-a＜0$，$b＞0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式转化并去绝对值：
$\begin{aligned}|a|-\sqrt{(a+c)^2}+\sqrt{(c-a)^2}-\sqrt{b^2}&=|a|-|a+c|+|c-a|-|b|\\&=-a-[-(a+c)]+[-(c-a)]-b\\&=-a+a+c - c+a - b\\&=a-b\end{aligned}$
【答案】
$a-b$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题核心是结合数轴判断代数式的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，解题时需注意准确判断绝对值内式子的符号，避免去绝对值时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定a、b、c的大小和正负关系：c ＜ a ＜ 0 ＜ b，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中所有二次根式转化为绝对值形式，接着逐一判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，因此$a＜0$，$a+c＜0$，$c-a＜0$，$b＞0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式转化并去绝对值：
$\begin{aligned}|a|-\sqrt{(a+c)^2}+\sqrt{(c-a)^2}-\sqrt{b^2}&=|a|-|a+c|+|c-a|-|b|\\&=-a-[-(a+c)]+[-(c-a)]-b\\&=-a+a+c - c+a - b\\&=a-b\end{aligned}$
【答案】
$a-b$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题核心是结合数轴判断代数式的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，解题时需注意准确判断绝对值内式子的符号，避免去绝对值时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
15. 下列计算中，正确的是 （
A.$\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
C.$3\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{5}$
D.$\sqrt{24} ÷ \sqrt{6} = 2$
D
）A.$\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
C.$3\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{5}$
D.$\sqrt{24} ÷ \sqrt{6} = 2$
答案
15.D
解析
【分析】
解答本题的核心是熟练掌握二次根式的四则运算法则，解题思路为：先明确二次根式运算的基本规则：①加减运算：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；②乘法运算：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简为最简二次根式；③除法运算：被开方数相除后开方，再化简结果。之后按照上述规则逐一验证四个选项的计算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，计算错误；
B选项：同类二次根式合并时，系数相减、根号部分不变，$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，计算错误；
C选项：二次根式相乘时，分别计算系数乘积和被开方数乘积，$3\sqrt{2}×2\sqrt{3}=(3×2)×\sqrt{2×3}=6\sqrt{6}≠6\sqrt{5}$，计算错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{24}÷\sqrt{6}=\sqrt{24÷6}=\sqrt{4}=2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减，二次根式的乘除，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算规则的掌握程度，学习中要注意区分加减和乘除运算的不同要求，避免出现非同类二次根式强行合并、被开方数运算规则混淆的常见错误。
【难度系数】
0.8
解答本题的核心是熟练掌握二次根式的四则运算法则，解题思路为：先明确二次根式运算的基本规则：①加减运算：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；②乘法运算：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简为最简二次根式；③除法运算：被开方数相除后开方，再化简结果。之后按照上述规则逐一验证四个选项的计算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，计算错误；
B选项：同类二次根式合并时，系数相减、根号部分不变，$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，计算错误；
C选项：二次根式相乘时，分别计算系数乘积和被开方数乘积，$3\sqrt{2}×2\sqrt{3}=(3×2)×\sqrt{2×3}=6\sqrt{6}≠6\sqrt{5}$，计算错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{24}÷\sqrt{6}=\sqrt{24÷6}=\sqrt{4}=2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减，二次根式的乘除，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算规则的掌握程度，学习中要注意区分加减和乘除运算的不同要求，避免出现非同类二次根式强行合并、被开方数运算规则混淆的常见错误。
【难度系数】
0.8
16.估计$\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{3} × \sqrt{2}$的值在（
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
C
）A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
答案
16.C
解析
【分析】
解题时先依据二次根式的乘法运算法则，分别计算式子中的两个乘法项，将结果化简后合并，再对得到的无理数进行范围估算，最终确定整个式子的取值范围，对应选项即可。具体步骤：第一步用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算两个乘积项；第二步化简计算结果，合并得到最简形式；第三步估算无理数的大小，进而推出整个式子的取值区间，匹配选项。
【解析】
先根据二次根式的乘法法则计算：
1. 计算$\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}}$：
$\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{48 × \frac{1}{3}} = \sqrt{16} = 4$
2. 计算$\sqrt{3} × \sqrt{2}$：
$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3×2} = \sqrt{6}$
3. 合并结果：原式$= 4 + \sqrt{6}$
接下来估算$\sqrt{6}$的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$
不等式两边同时加4得：$4+2 ＜ 4+\sqrt{6} ＜ 4+3$，即$6 ＜ 原式 ＜7$
所以原式的值在6和7之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算，无理数估算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心解题思路是先化简再估算，熟练掌握二次根式的运算法则、能准确估算常见无理数的范围是解题的关键，运算时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
解题时先依据二次根式的乘法运算法则，分别计算式子中的两个乘法项，将结果化简后合并，再对得到的无理数进行范围估算，最终确定整个式子的取值范围，对应选项即可。具体步骤：第一步用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算两个乘积项；第二步化简计算结果，合并得到最简形式；第三步估算无理数的大小，进而推出整个式子的取值区间，匹配选项。
【解析】
先根据二次根式的乘法法则计算：
1. 计算$\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}}$：
$\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{48 × \frac{1}{3}} = \sqrt{16} = 4$
2. 计算$\sqrt{3} × \sqrt{2}$：
$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3×2} = \sqrt{6}$
3. 合并结果：原式$= 4 + \sqrt{6}$
接下来估算$\sqrt{6}$的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$
不等式两边同时加4得：$4+2 ＜ 4+\sqrt{6} ＜ 4+3$，即$6 ＜ 原式 ＜7$
所以原式的值在6和7之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算，无理数估算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心解题思路是先化简再估算，熟练掌握二次根式的运算法则、能准确估算常见无理数的范围是解题的关键，运算时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
17. 如图是添加了便签的台历示意图，正方形ABFE为日历区，正方形EGHD为备忘录区，长方形GFCH为便签区，已知日历区的面积为270 cm²，备忘录区的面积为80 cm²，则便签区的面积为
$(60\sqrt{6}-80)$
cm².答案
17.$(60\sqrt{6}-80)$
解析
【分析】
解题时首先结合图形明确三个区域的形状：日历区、备忘录区为正方形，便签区为长方形。第一步根据正方形面积公式，分别求出两个正方形的边长；第二步分析边长关系：便签区的长等于备忘录区正方形的边长，宽等于日历区正方形边长减去备忘录区正方形边长；最后代入长方形面积公式，结合二次根式的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：设正方形ABFE的边长为$a\ \mathrm{cm}$，正方形EGHD的边长为$b\ \mathrm{cm}$。
由正方形面积公式可得：
$a^2=270$，因此$a=\sqrt{270}$（边长为正数，舍去负根）
$b^2=80$，因此$b=\sqrt{80}$（边长为正数，舍去负根）
观察图形可知，长方形GFCH的长为$b\ \mathrm{cm}$，宽为$(a-b)\ \mathrm{cm}$，则便签区面积：
$S=b(a-b)=ab-b^2$
先计算$ab$的值：
$ab=\sqrt{270}×\sqrt{80}=\sqrt{270×80}=\sqrt{21600}=60\sqrt{6}$
将$ab=60\sqrt{6}$、$b^2=80$代入面积公式，得：
$S=60\sqrt{6}-80$
【答案】
$(60\sqrt{6}-80)$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，长方形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确梳理不同图形边长的数量关系，计算过程中要熟练掌握二次根式的化简和乘法规则，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形明确三个区域的形状：日历区、备忘录区为正方形，便签区为长方形。第一步根据正方形面积公式，分别求出两个正方形的边长；第二步分析边长关系：便签区的长等于备忘录区正方形的边长，宽等于日历区正方形边长减去备忘录区正方形边长；最后代入长方形面积公式，结合二次根式的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：设正方形ABFE的边长为$a\ \mathrm{cm}$，正方形EGHD的边长为$b\ \mathrm{cm}$。
由正方形面积公式可得：
$a^2=270$，因此$a=\sqrt{270}$（边长为正数，舍去负根）
$b^2=80$，因此$b=\sqrt{80}$（边长为正数，舍去负根）
观察图形可知，长方形GFCH的长为$b\ \mathrm{cm}$，宽为$(a-b)\ \mathrm{cm}$，则便签区面积：
$S=b(a-b)=ab-b^2$
先计算$ab$的值：
$ab=\sqrt{270}×\sqrt{80}=\sqrt{270×80}=\sqrt{21600}=60\sqrt{6}$
将$ab=60\sqrt{6}$、$b^2=80$代入面积公式，得：
$S=60\sqrt{6}-80$
【答案】
$(60\sqrt{6}-80)$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，长方形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确梳理不同图形边长的数量关系，计算过程中要熟练掌握二次根式的化简和乘法规则，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
18. 计算:(1)$(-\dfrac{1}{3})^{-2} + |1 - \sqrt{2}| + (π - 2)^0 + \sqrt{8}$；
(2)$(2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)$；
(3)$(\sqrt{24} + \sqrt{48}) ÷ \sqrt{3} + \sqrt{3} × \sqrt{6} - \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$。
(2)$(2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)$；
(3)$(\sqrt{24} + \sqrt{48}) ÷ \sqrt{3} + \sqrt{3} × \sqrt{6} - \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$。
答案
18. 【解】(1)原式$=9+\sqrt{2}-1+1+2\sqrt{2}=9+3\sqrt{2}$.
(2)原式$=12-4\sqrt{3}+1+2-9=6-4\sqrt{3}$.
(3)原式$=(2\sqrt{6}+4\sqrt{3})÷\sqrt{3}+3\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}+5$.
(2)原式$=12-4\sqrt{3}+1+2-9=6-4\sqrt{3}$.
(3)原式$=(2\sqrt{6}+4\sqrt{3})÷\sqrt{3}+3\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}+5$.
解析
【分析】
这三道题为实数与二次根式的混合运算题，解题遵循先化简分项、再按运算顺序计算、最后合并同类项的思路：
1. 第(1)小题需分别化简负整数指数幂、绝对值、零指数幂、最简二次根式四个分项，再合并同类二次根式与常数项；
2. 第(2)小题分别运用完全平方公式计算乘方项、平方差公式计算多项式乘法项，再合并同类项；
3. 第(3)小题先化简括号内的二次根式，依次完成二次根式的乘除运算，再对分母含根式的项做分母有理化，最后合并同类二次根式与常数项。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$(-\dfrac{1}{3})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=9$，
因$\sqrt{2}＞1$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
$(π-2)^0=1$（底数不为0时零指数幂为1），
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
代入原式计算得：$9+\sqrt{2}-1+1+2\sqrt{2}=9+3\sqrt{2}$。
(2) 运用乘法公式计算：
由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(2\sqrt{3}-1)^2=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2=12-4\sqrt{3}+1$，
由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)=(\sqrt{2})^2-3^2=2-9$，
代入原式计算得：$12-4\sqrt{3}+1+2-9=6-4\sqrt{3}$。
(3) 按运算顺序分步计算：
先化简括号内二次根式：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
计算二次根式除法：$(2\sqrt{6}+4\sqrt{3})÷\sqrt{3}=2\sqrt{6}÷\sqrt{3}+4\sqrt{3}÷\sqrt{3}=2\sqrt{2}+4$，
计算二次根式乘法：$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
对最后一项分母有理化：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$，
代入原式计算得：$2\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}+5$。
【答案】
(1) $9+3\sqrt{2}$；(2) $6-4\sqrt{3}$；(3) $4\sqrt{2}+5$
【知识点】
1. 实数混合运算 2. 二次根式运算 3. 乘法公式应用
【点评】
本题是实数运算的常考基础题型，覆盖多个基础运算考点，重点考察运算的熟练度与准确性，计算时需注意符号处理、运算顺序，以及同类二次根式的合并规则，避免出现符号错误或漏项问题。
【难度系数】
0.7
这三道题为实数与二次根式的混合运算题，解题遵循先化简分项、再按运算顺序计算、最后合并同类项的思路：
1. 第(1)小题需分别化简负整数指数幂、绝对值、零指数幂、最简二次根式四个分项，再合并同类二次根式与常数项；
2. 第(2)小题分别运用完全平方公式计算乘方项、平方差公式计算多项式乘法项，再合并同类项；
3. 第(3)小题先化简括号内的二次根式，依次完成二次根式的乘除运算，再对分母含根式的项做分母有理化，最后合并同类二次根式与常数项。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$(-\dfrac{1}{3})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=9$，
因$\sqrt{2}＞1$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
$(π-2)^0=1$（底数不为0时零指数幂为1），
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
代入原式计算得：$9+\sqrt{2}-1+1+2\sqrt{2}=9+3\sqrt{2}$。
(2) 运用乘法公式计算：
由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(2\sqrt{3}-1)^2=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2=12-4\sqrt{3}+1$，
由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)=(\sqrt{2})^2-3^2=2-9$，
代入原式计算得：$12-4\sqrt{3}+1+2-9=6-4\sqrt{3}$。
(3) 按运算顺序分步计算：
先化简括号内二次根式：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
计算二次根式除法：$(2\sqrt{6}+4\sqrt{3})÷\sqrt{3}=2\sqrt{6}÷\sqrt{3}+4\sqrt{3}÷\sqrt{3}=2\sqrt{2}+4$，
计算二次根式乘法：$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
对最后一项分母有理化：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$，
代入原式计算得：$2\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}+5$。
【答案】
(1) $9+3\sqrt{2}$；(2) $6-4\sqrt{3}$；(3) $4\sqrt{2}+5$
【知识点】
1. 实数混合运算 2. 二次根式运算 3. 乘法公式应用
【点评】
本题是实数运算的常考基础题型，覆盖多个基础运算考点，重点考察运算的熟练度与准确性，计算时需注意符号处理、运算顺序，以及同类二次根式的合并规则，避免出现符号错误或漏项问题。
【难度系数】
0.7
