14. (8分)已知$a,b,c$满足$(a-\sqrt{8})^2 + \sqrt{b-5} + |c-3\sqrt{2}|=0$.
(1)求$a,b,c$的值.
(2)用长为$a,b,c$的三条线段能否围成三角形？若能围成，说明理由并求出三角形的周长；若不能围成，请说明理由.

14. 【解】(1)因为$(a-\sqrt{8})^2 + \sqrt{b-5} + |c-3\sqrt{2}|=0$，且$(a-\sqrt{8})^2\ge0$，$\sqrt{b-5}\ge0$，$|c-3\sqrt{2}|\ge0$，所以$a-\sqrt{8}=0$，$b-5=0$，$c-3\sqrt{2}=0$，解得$a=2\sqrt{2}$，$b=5$，$c=3\sqrt{2}$。
(2)用长为$a,b,c$的三条线段能围成三角形.理由如下：
由(1)知$b＞c＞a$。
因为$a+c=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}＞5$，所以$a+c＞b$。
所以用长为$a,b,c$的三条线段能围成三角形。
三角形的周长为$a+b+c=2\sqrt{2}+5+3\sqrt{2}=5+5\sqrt{2}$。

【分析】
(1) 观察已知等式，包含平方、算术平方根、绝对值三类非负项，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此分别列方程即可求出a、b、c的值。
(2) 判断三条线段能否围成三角形，先确定三边的大小关系，找到最长边，只需验证较短两条边的和是否大于最长边即可，满足则能构成三角形；若能构成，将三边相加合并同类二次根式即可得到周长。
【解析】
(1) 已知$(a-\sqrt{8})^2 + \sqrt{b-5} + |c-3\sqrt{2}|=0$，
∵$(a-\sqrt{8})^2\ge0$，$\sqrt{b-5}\ge0$，$|c-3\sqrt{2}|\ge0$，
∴每个非负项均为0，即：
$a-\sqrt{8}=0$，$b-5=0$，$c-3\sqrt{2}=0$，
解得：$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$b=5$，$c=3\sqrt{2}$。
(2) 长为a、b、c的三条线段能围成三角形，理由如下：
比较三边大小可得：$2\sqrt{2}＜3\sqrt{2}＜5$，即$a＜c＜b$，最长边为$b=5$，
计算较短两边之和：$a+c=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，
∵$5\sqrt{2}＞5$，即$a+c＞b$，满足三角形两边之和大于第三边的要求，
∴三条线段能围成三角形。
三角形周长为：$a+b+c=2\sqrt{2}+5+3\sqrt{2}=5+5\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $a=2\sqrt{2}$，$b=5$，$c=3\sqrt{2}$；
(2) 能围成三角形，周长为$5+5\sqrt{2}$。
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，二次根式的加减
【点评】
本题属于代数几何综合基础题，解题核心是先利用非负数的性质求出三边长，再结合三角形三边关系判断构成三角形的可行性，计算时要注意同类二次根式的正确合并。
【难度系数】
0.7

15. (12分) 如图①,两张面积分别为25 cm²和20 cm²的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片ABCD中.
(1)图①中阴影部分图形的长为cm,宽为cm.
(2)求图①中阴影部分图形的周长和面积.
(3)小康将图①中的面积分别为25 cm²和20 cm²的正方形纸片重新按照如图②所示的方式摆放在另一张长方形纸片A'B'C'D'中,其中长方形A'B'C'D'中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.若A'B'=6 cm,求图②中空白部分的面积.

15. 【解】(1)$2\sqrt{5}$;$(5-2\sqrt{5})$
(2)阴影部分图形的周长$=2×(2\sqrt{5}+5-2\sqrt{5})=10(\mathrm{cm})$。
阴影部分图形的面积$=2\sqrt{5}×(5-2\sqrt{5})=(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}^2$。
(3)由题图②可知，$S_{\mathrm{空白}}=S_{\mathrm{正方形}C'GEF}+S_{\mathrm{长方形}D'GNK}$。因为长方形$D'GNK$的长为$\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$，宽为$(6-\sqrt{25})=1(\mathrm{cm})$，所以$S_{\mathrm{空白}}=S_{\mathrm{正方形}C'GEF}+S_{\mathrm{长方形}D'GNK}=25+1×2\sqrt{5}=(25+2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}^2$。

【分析】
解题首先需要根据正方形面积求出两个正方形的边长，这是解决所有问题的基础：面积25cm²的正方形边长为$\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$，面积20cm²的正方形边长为$\sqrt{20}=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
(1) 观察图①阴影部分是长方形，它的长等于小正方形的边长，宽等于大正方形边长减去小正方形边长，直接代入边长即可得出结果。
(2) 直接使用长方形周长公式（长+宽）×2、面积公式长×宽，代入数值后按照二次根式运算法则计算即可。
(3) 图②空白部分由面积25cm²的正方形和右上角小长方形组成，先根据A'B'的长度求出小长方形的宽，再计算小长方形面积，最后和25相加就是空白总面积。
【解析】
首先计算两个正方形的边长：
面积为25$\mathrm{cm}^2$的正方形边长：$\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
面积为20$\mathrm{cm}^2$的正方形边长：$\sqrt{20}=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$
(1) 图①阴影为长方形，长等于小正方形边长$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$，宽为大正方形边长减小正方形边长，即$5-2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
(2) 阴影部分周长：
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
$C=2×[2\sqrt{5}+(5-2\sqrt{5})]=2×5=10(\mathrm{cm})$
阴影部分面积：
根据长方形面积公式$S=长×宽$，代入得：
$S=2\sqrt{5}×(5-2\sqrt{5})=10\sqrt{5}-20(\mathrm{cm}^2)$
(3) 图②空白部分由面积25$\mathrm{cm}^2$的正方形和长方形$D'GNK$组成：
长方形$D'GNK$的长为小正方形边长$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$，宽为$A'B'-大正方形边长=6-5=1(\mathrm{cm})$
则长方形$D'GNK$面积为$2\sqrt{5}×1=2\sqrt{5}(\mathrm{cm}^2)$
因此空白总面积为$25+2\sqrt{5}(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)$2\sqrt{5}$；$5-2\sqrt{5}$
(2)周长为$10\mathrm{cm}$，面积为$(10\sqrt{5}-20)\mathrm{cm}^2$
(3)空白部分面积为$(25+2\sqrt{5})\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 正方形面积与边长关系
2. 二次根式化简运算
3. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的实际应用，解题核心是先确定两个正方形的边长，再结合图形的边长关系推导所求图形的长宽，既考查了几何识图能力，也检验了二次根式的运算能力。
【难度系数】
0.6

16.（12分） 新题型·规律探究题 2026·太原迎泽区期末 如图,将边长分别为$1,1+\sqrt{2},1+2\sqrt{2},1+3\sqrt{2}$的正方形的面积记为$S_1,S_2,S_3,S_4$.
(1)计算:$S_2 - S_1,S_3 - S_2,S_4 - S_3$.
(2)把边长为$1+(n-1)\sqrt{2}$的正方形的面积记作$S_n$,其中$n$是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出$S_{n+1}-S_n$等于多少吗?你的猜想是否正确,请说明理由.
(3)若将正方形的边长变为$a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b},···$时,$S_{n+1}-S_n$的值是多少?

16. 【解】(1)$S_2-S_1=(1+\sqrt{2})^2-1^2=1+2\sqrt{2}+2-1=2+2\sqrt{2}$.$S_3-S_2=(1+2\sqrt{2})^2-(1+\sqrt{2})^2=1+4\sqrt{2}+8-1-2\sqrt{2}-2=6+2\sqrt{2}$,$S_4-S_3=(1+3\sqrt{2})^2-(1+2\sqrt{2})^2=1+6\sqrt{2}+18-1-4\sqrt{2}-8=10+2\sqrt{2}$。
(2)$S_{n+1}-S_n=4n-2+2\sqrt{2}$.理由如下：
$S_{n+1}-S_n=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-[1+2\sqrt{2}(n-1)+2(n-1)^2]$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-(1+2\sqrt{2}n-2\sqrt{2}+2n^2-4n+2)$
$=1+2\sqrt{2}n+2n^2-1-2\sqrt{2}n+2\sqrt{2}-2n^2+4n-2$
$=4n-2+2\sqrt{2}$。
(3)$S_{n+1}-S_n=(a+n\sqrt{b})^2-[a+(n-1)\sqrt{b}]^2$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2a(n-1)\sqrt{b}+(n-1)^2b]$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2an\sqrt{b}-2a\sqrt{b}+n^2b-2nb+b]$
$=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-a^2-2an\sqrt{b}+2a\sqrt{b}-n^2b+2nb-b$
$=2nb-b+2a\sqrt{b}$。

【分析】
本题属于规律探究类题目，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据正方形面积等于边长的平方，分别写出对应面积的表达式，代入差值后利用完全平方公式展开，合并同类项和同类二次根式即可得到结果。
2. 第(2)问：先观察第(1)问三个差值的结果，归纳出数字和根式部分的规律，提出$S_{n+1}-S_n$的猜想；再将$S_{n+1}$和$S_n$的边长表达式代入差值，用完全平方公式展开化简，验证猜想是否成立。
3. 第(3)问：类比第(2)问的推导方法，将边长替换为带参数$a$、$\sqrt{b}$的形式，同样代入差值后展开化简，即可得到通用结果。
【解析】
(1) 根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$计算：
$S_2 - S_1=(1+\sqrt{2})^2-1^2=1+2\sqrt{2}+2-1=2+2\sqrt{2}$
$S_3 - S_2=(1+2\sqrt{2})^2-(1+\sqrt{2})^2=1+4\sqrt{2}+8-1-2\sqrt{2}-2=6+2\sqrt{2}$
$S_4 - S_3=(1+3\sqrt{2})^2-(1+2\sqrt{2})^2=1+6\sqrt{2}+18-1-4\sqrt{2}-8=10+2\sqrt{2}$
(2) 猜想$S_{n+1}-S_n=4n-2+2\sqrt{2}$，理由如下：
$S_{n+1}$对应边长为$1+n\sqrt{2}$，$S_n$对应边长为$1+(n-1)\sqrt{2}$，代入得：
$\begin{aligned}S_{n+1}-S_n&=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2\\&=1+2\sqrt{2}n+2n^2-[1+2\sqrt{2}(n-1)+2(n-1)^2]\\&=1+2\sqrt{2}n+2n^2-(1+2\sqrt{2}n-2\sqrt{2}+2n^2-4n+2)\\&=1+2\sqrt{2}n+2n^2-1-2\sqrt{2}n+2\sqrt{2}-2n^2+4n-2\\&=4n-2+2\sqrt{2}\end{aligned}$
故猜想成立。
(3) 此时$S_{n+1}$对应边长为$a+n\sqrt{b}$，$S_n$对应边长为$a+(n-1)\sqrt{b}$，代入得：
$\begin{aligned}S_{n+1}-S_n&=(a+n\sqrt{b})^2-[a+(n-1)\sqrt{b}]^2\\&=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2a(n-1)\sqrt{b}+(n-1)^2b]\\&=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-[a^2+2an\sqrt{b}-2a\sqrt{b}+n^2b-2nb+b]\\&=a^2+2an\sqrt{b}+n^2b-a^2-2an\sqrt{b}+2a\sqrt{b}-n^2b+2nb-b\\&=2nb-b+2a\sqrt{b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $S_2-S_1=2+2\sqrt{2}$，$S_3-S_2=6+2\sqrt{2}$，$S_4-S_3=10+2\sqrt{2}$
(2) $S_{n+1}-S_n=4n-2+2\sqrt{2}$，猜想正确
(3) $S_{n+1}-S_n=2nb-b+2a\sqrt{b}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、规律探究
【点评】
本题以正方形面积为载体，考查从特殊到一般的数学思想，需要先计算特殊情况的差值，再推导一般规律，最后拓展到通用形式，既考查了二次根式和整式的运算能力，也考查了规律归纳能力。
【难度系数】
0.6