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19. 已知$a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},b=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.
(1)求$a+b$的值；
(2)求$a^2 -3ab +b^2$的值.
(1)求$a+b$的值；
(2)求$a^2 -3ab +b^2$的值.
答案
19. 【解】$a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(1)$a+b=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$.
(2)因为$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$，
所以$a^2-3ab+b^2=(a+b)^2-5ab=(2\sqrt{3})^2-5=7$.
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(1)$a+b=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$.
(2)因为$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$，
所以$a^2-3ab+b^2=(a+b)^2-5ab=(2\sqrt{3})^2-5=7$.
解析
【分析】
解题首先需要对a、b进行分母有理化，利用平方差公式去掉分母中的根号，得到a、b的最简形式。对于第(1)问，直接将化简后的a、b相加，合并同类二次根式即可得到结果。对于第(2)问，若直接代入a、b计算平方项会比较繁琐，因此可以利用完全平方公式将代数式变形为$(a+b)^2-5ab$，再代入前面求出的$a+b$和$ab$的值，通过整体代入简化计算。
【解析】
首先对a、b做分母有理化处理：
$a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(1) 计算$a+b$的值：
$a+b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$。
(2) 先计算$ab$的值：
$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$，
再将待求代数式变形：$a^2-3ab+b^2=(a^2+2ab+b^2)-5ab=(a+b)^2-5ab$，
代入$a+b=2\sqrt{3}$、$ab=1$得：
原式=$(2\sqrt{3})^2 - 5×1=12-5=7$。
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$7$
【知识点】
分母有理化；二次根式运算；完全平方公式应用
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常见题型，解题时先通过分母有理化简化已知条件，再利用整体代入思想结合公式变形求解，既提升了计算效率，也能降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
解题首先需要对a、b进行分母有理化，利用平方差公式去掉分母中的根号，得到a、b的最简形式。对于第(1)问，直接将化简后的a、b相加，合并同类二次根式即可得到结果。对于第(2)问，若直接代入a、b计算平方项会比较繁琐，因此可以利用完全平方公式将代数式变形为$(a+b)^2-5ab$，再代入前面求出的$a+b$和$ab$的值，通过整体代入简化计算。
【解析】
首先对a、b做分母有理化处理：
$a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(1) 计算$a+b$的值：
$a+b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$。
(2) 先计算$ab$的值：
$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$，
再将待求代数式变形：$a^2-3ab+b^2=(a^2+2ab+b^2)-5ab=(a+b)^2-5ab$，
代入$a+b=2\sqrt{3}$、$ab=1$得：
原式=$(2\sqrt{3})^2 - 5×1=12-5=7$。
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$7$
【知识点】
分母有理化；二次根式运算；完全平方公式应用
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常见题型，解题时先通过分母有理化简化已知条件，再利用整体代入思想结合公式变形求解，既提升了计算效率，也能降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
20. 已知$a,b$为有理数，且$\frac{b - 2\sqrt{5}}{a\sqrt{5} - 3} = \sqrt{5} + 1$，求$a + b$的值。
答案
20. 【解】$\frac{b-2\sqrt{5}}{a\sqrt{5}-3}=\sqrt{5}+1$,去分母得$b-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}+1)(a\sqrt{5}-3)$,即$b-2\sqrt{5}=5a+a\sqrt{5}-3\sqrt{5}-3$，
所以$b-5a-a\sqrt{5}=-\sqrt{5}-3$,所以$b-5a=-3,-a=-1$,解得$a=1,b=2$,所以$a+b=1+2=3$.
所以$b-5a-a\sqrt{5}=-\sqrt{5}-3$,所以$b-5a=-3,-a=-1$,解得$a=1,b=2$,所以$a+b=1+2=3$.
解析
【分析】
这是一道含无理数的等式求值题，解题思路如下：第一步先去分母，将分式等式转化为整式等式，降低运算难度；第二步利用二次根式的乘法法则展开等式右侧的乘积项；第三步对等式的项分类整理，把含$\sqrt{5}$的无理项和不含$\sqrt{5}$的有理项分别合并，由于$a、b$是有理数，根据“若两个含同类无理数的代数式相等，它们的有理部分对应相等，无理部分的系数也对应相等”的性质，可列出关于$a、b$的二元一次方程组；第四步解方程组求出$a、b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
解：已知$\frac{b - 2\sqrt{5}}{a\sqrt{5} - 3} = \sqrt{5} + 1$，
两边同乘$a\sqrt{5} - 3$去分母，得：
$b - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1)(a\sqrt{5} - 3)$
展开右侧乘积：
$(\sqrt{5} + 1)(a\sqrt{5} - 3) = 5a + a\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 3$
因此等式可化为：
$b - 2\sqrt{5} = 5a + a\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 3$
移项合并同类项得：
$(b - 5a + 3) + (1 - a)\sqrt{5} = 0$
由于$a、b$为有理数，要使等式成立，需满足有理部分和无理项系数均为0，即：
$\begin{cases}1 - a = 0 \\ b - 5a + 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 2\end{cases}$，因此$a+b=1+2=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
二次根式的运算；有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次根式章节的常考典型题，核心考查有理部分与无理部分对应相等的性质，解题的关键是先通过去分母、二次根式乘法化简等式，再根据性质列方程求解，熟练掌握无理数的相关性质可以快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
这是一道含无理数的等式求值题，解题思路如下：第一步先去分母，将分式等式转化为整式等式，降低运算难度；第二步利用二次根式的乘法法则展开等式右侧的乘积项；第三步对等式的项分类整理，把含$\sqrt{5}$的无理项和不含$\sqrt{5}$的有理项分别合并，由于$a、b$是有理数，根据“若两个含同类无理数的代数式相等，它们的有理部分对应相等，无理部分的系数也对应相等”的性质，可列出关于$a、b$的二元一次方程组；第四步解方程组求出$a、b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
解：已知$\frac{b - 2\sqrt{5}}{a\sqrt{5} - 3} = \sqrt{5} + 1$，
两边同乘$a\sqrt{5} - 3$去分母，得：
$b - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1)(a\sqrt{5} - 3)$
展开右侧乘积：
$(\sqrt{5} + 1)(a\sqrt{5} - 3) = 5a + a\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 3$
因此等式可化为：
$b - 2\sqrt{5} = 5a + a\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 3$
移项合并同类项得：
$(b - 5a + 3) + (1 - a)\sqrt{5} = 0$
由于$a、b$为有理数，要使等式成立，需满足有理部分和无理项系数均为0，即：
$\begin{cases}1 - a = 0 \\ b - 5a + 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 2\end{cases}$，因此$a+b=1+2=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
二次根式的运算；有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次根式章节的常考典型题，核心考查有理部分与无理部分对应相等的性质，解题的关键是先通过去分母、二次根式乘法化简等式，再根据性质列方程求解，熟练掌握无理数的相关性质可以快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
21. 设$x,y$为非零数，试求$\frac{x}{|x|}+\frac{\sqrt{y^2}}{y}$的值.
答案
21. 【解】①若$x,y$同号，
当$x＞0,y＞0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{x}+\frac{y}{y}=1+1=2$;当$x＜0,y＜0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{-x}+\frac{-y}{y}=-1-1=-2$.
②若$x,y$异号，
当$x＞0,y＜0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{x}+\frac{-y}{y}=1-1=0$;
当$x＜0,y＞0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{-x}+\frac{y}{y}=-1+1=0$.
综上所述,原式的值是2或$-2$或0.
当$x＞0,y＞0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{x}+\frac{y}{y}=1+1=2$;当$x＜0,y＜0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{-x}+\frac{-y}{y}=-1-1=-2$.
②若$x,y$异号，
当$x＞0,y＜0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{x}+\frac{-y}{y}=1-1=0$;
当$x＜0,y＞0$时,原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}=\frac{x}{-x}+\frac{y}{y}=-1+1=0$.
综上所述,原式的值是2或$-2$或0.
解析
【分析】
要计算该代数式的值，首先根据二次根式的性质可知$\sqrt{y^2}=|y|$，因此原式可化简为$\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}$。由于x、y都是非零数，绝对值的化简需要判断内部数的正负性，因此我们按x、y的正负性分类讨论：先分x、y同号、异号两大类，再在每大类下细分x、y的正负情况，分别代入计算就能得到对应结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{y^2}=|y|$，因此原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}$。
已知x、y为非零数，分情况讨论如下：
① 若x、y同号：
当$x＞0,y＞0$时，$|x|=x,|y|=y$，原式$=\frac{x}{x}+\frac{y}{y}=1+1=2$；
当$x＜0,y＜0$时，$|x|=-x,|y|=-y$，原式$=\frac{x}{-x}+\frac{-y}{y}=-1-1=-2$。
② 若x、y异号：
当$x＞0,y＜0$时，$|x|=x,|y|=-y$，原式$=\frac{x}{x}+\frac{-y}{y}=1-1=0$；
当$x＜0,y＞0$时，$|x|=-x,|y|=y$，原式$=\frac{x}{-x}+\frac{y}{y}=-1+1=0$。
综上所述，原式的值为2或$-2$或0。
【答案】
2或$-2$或0
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次根式和绝对值的化简规则，解题关键是根据未知数的正负性合理分类讨论，避免遗漏情况，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
要计算该代数式的值，首先根据二次根式的性质可知$\sqrt{y^2}=|y|$，因此原式可化简为$\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}$。由于x、y都是非零数，绝对值的化简需要判断内部数的正负性，因此我们按x、y的正负性分类讨论：先分x、y同号、异号两大类，再在每大类下细分x、y的正负情况，分别代入计算就能得到对应结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{y^2}=|y|$，因此原式$=\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}$。
已知x、y为非零数，分情况讨论如下：
① 若x、y同号：
当$x＞0,y＞0$时，$|x|=x,|y|=y$，原式$=\frac{x}{x}+\frac{y}{y}=1+1=2$；
当$x＜0,y＜0$时，$|x|=-x,|y|=-y$，原式$=\frac{x}{-x}+\frac{-y}{y}=-1-1=-2$。
② 若x、y异号：
当$x＞0,y＜0$时，$|x|=x,|y|=-y$，原式$=\frac{x}{x}+\frac{-y}{y}=1-1=0$；
当$x＜0,y＞0$时，$|x|=-x,|y|=y$，原式$=\frac{x}{-x}+\frac{y}{y}=-1+1=0$。
综上所述，原式的值为2或$-2$或0。
【答案】
2或$-2$或0
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次根式和绝对值的化简规则，解题关键是根据未知数的正负性合理分类讨论，避免遗漏情况，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
22. 已知$a+b=-8$，$ab=12$，求$b\sqrt{\dfrac{b}{a}} + a\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值。
答案
22. 【解】因为$a+b=-8＜0,ab=12＞0$，
所以$a＜0,b＜0$，
所以原式$=-\frac{b\sqrt{ab}}{a}-\frac{a\sqrt{ab}}{b}=-\frac{(b^2+a^2)\sqrt{ab}}{ab}=-\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\sqrt{ab}$.当$a+b=-8,ab=12$时,原式$=-\frac{64-24}{12}×\sqrt{12}=-\frac{20\sqrt{3}}{3}$.
所以$a＜0,b＜0$，
所以原式$=-\frac{b\sqrt{ab}}{a}-\frac{a\sqrt{ab}}{b}=-\frac{(b^2+a^2)\sqrt{ab}}{ab}=-\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\sqrt{ab}$.当$a+b=-8,ab=12$时,原式$=-\frac{64-24}{12}×\sqrt{12}=-\frac{20\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先要明确含二次根式的代数式化简的前提是判断根号下被开方数的符号以及字母的正负：第一步，根据已知的a+b和ab的符号，可判断出a、b均为负数，这是避免符号错误的关键；第二步，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$对原式中的二次根式进行化简，消去根号内的分母，将原式转化为含有$a+b$和$ab$的形式；第三步，结合完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解a、b的值。
【解析】
$\because a+b=-8＜0,ab=12＞0$
$\therefore a＜0,b＜0$
$\begin{aligned}\therefore 原式&=b\sqrt{\frac{ab}{a^2}} + a\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} + a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=-\frac{b\sqrt{ab}}{a}-\frac{a\sqrt{ab}}{b}\\&=-\frac{(b^2+a^2)\sqrt{ab}}{ab}\\&=-\frac{[(a+b)^2-2ab]\sqrt{ab}}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-8,ab=12$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{(-8)^2-2×12}{12}×\sqrt{12}\\&=-\frac{64-24}{12}×2\sqrt{3}\\&=-\frac{40}{12}×2\sqrt{3}\\&=-\frac{20\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式的性质；完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题易错点为忽略a、b均为负数的隐含条件，直接将$\sqrt{\frac{b}{a}}$化简为$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$导致符号出错，解题时需要先根据已知条件判断字母的正负，再结合二次根式的性质正确化简，同时运用整体代入的思想可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确含二次根式的代数式化简的前提是判断根号下被开方数的符号以及字母的正负：第一步，根据已知的a+b和ab的符号，可判断出a、b均为负数，这是避免符号错误的关键；第二步，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$对原式中的二次根式进行化简，消去根号内的分母，将原式转化为含有$a+b$和$ab$的形式；第三步，结合完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解a、b的值。
【解析】
$\because a+b=-8＜0,ab=12＞0$
$\therefore a＜0,b＜0$
$\begin{aligned}\therefore 原式&=b\sqrt{\frac{ab}{a^2}} + a\sqrt{\frac{ab}{b^2}}\\&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} + a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=-\frac{b\sqrt{ab}}{a}-\frac{a\sqrt{ab}}{b}\\&=-\frac{(b^2+a^2)\sqrt{ab}}{ab}\\&=-\frac{[(a+b)^2-2ab]\sqrt{ab}}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-8,ab=12$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{(-8)^2-2×12}{12}×\sqrt{12}\\&=-\frac{64-24}{12}×2\sqrt{3}\\&=-\frac{40}{12}×2\sqrt{3}\\&=-\frac{20\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式的性质；完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题易错点为忽略a、b均为负数的隐含条件，直接将$\sqrt{\frac{b}{a}}$化简为$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$导致符号出错，解题时需要先根据已知条件判断字母的正负，再结合二次根式的性质正确化简，同时运用整体代入的思想可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
23. 请阅读下列材料：
问题:已知$x=\sqrt{5}+2$,求代数式$x^2 -4x -7$的值.
小明的做法:根据$x=\sqrt{5}+2$得$(x-2)^2=5$,所以$x^2 -4x +4=5$,所以$x^2 -4x=1$.把$x^2 -4x$的值整体代入,得$x^2 -4x -7=1-7=-6$.即把已知条件适当变形,再整体代入解决问题.
仿照上述方法解决问题:
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$,求代数式$x^2 +6x -8$的值;
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,求代数式$x^3 +2x^2$的值.
问题:已知$x=\sqrt{5}+2$,求代数式$x^2 -4x -7$的值.
小明的做法:根据$x=\sqrt{5}+2$得$(x-2)^2=5$,所以$x^2 -4x +4=5$,所以$x^2 -4x=1$.把$x^2 -4x$的值整体代入,得$x^2 -4x -7=1-7=-6$.即把已知条件适当变形,再整体代入解决问题.
仿照上述方法解决问题:
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$,求代数式$x^2 +6x -8$的值;
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,求代数式$x^3 +2x^2$的值.
答案
23. 【解】(1)因为$x=\sqrt{10}-3$,所以$x+3=\sqrt{10}$，
所以$(x+3)^2=10$,即$x^2+6x+9=10$，
所以$x^2+6x=1$,所以$x^2+6x-8=1-8=-7$.
(2)因为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以$2x=\sqrt{5}-1$,所以$2x+1=\sqrt{5}$，
所以$(2x+1)^2=5$,所以$4x^2+4x+1=5$，
所以$4x^2+4x=4$，
所以$x^2+x=1$,所以$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2=x×1+x^2=x+x^2=1$.
所以$(x+3)^2=10$,即$x^2+6x+9=10$，
所以$x^2+6x=1$,所以$x^2+6x-8=1-8=-7$.
(2)因为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以$2x=\sqrt{5}-1$,所以$2x+1=\sqrt{5}$，
所以$(2x+1)^2=5$,所以$4x^2+4x+1=5$，
所以$4x^2+4x=4$，
所以$x^2+x=1$,所以$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2=x×1+x^2=x+x^2=1$.
解析
【分析】
这道题是二次根式背景下的代数式求值问题，解题核心是运用材料给出的整体代入思想，避免直接代入根式的复杂运算：①第(1)问观察所求代数式含$x^2+6x$，可先对已知条件移项得到$x+3=\sqrt{10}$，两边平方后直接求出$x^2+6x$的值，再整体代入计算即可；②第(2)问所求为三次代数式，需先对已知条件变形，推导得到低次整式$x^2+x=1$，再将三次式拆分出含$x^2+x$的结构，多次整体代入降次即可求出结果。
【解析】
(1) 已知$x=\sqrt{10}-3$，移项得$x+3=\sqrt{10}$，
两边平方由完全平方公式得：$(x+3)^2=x^2+6x+9=10$，
整理得$x^2+6x=1$，
将$x^2+6x=1$整体代入$x^2+6x-8$，得原式$=1-8=-7$。
(2) 已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两边同乘2得$2x=\sqrt{5}-1$，
移项得$2x+1=\sqrt{5}$，
两边平方由完全平方公式得：$(2x+1)^2=4x^2+4x+1=5$，
整理得$4x^2+4x=4$，两边同除以4得$x^2+x=1$，
将所求代数式拆分变形：$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2$，
把$x^2+x=1$代入上式，得原式$=x×1 +x^2=x+x^2=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、整体代入求值
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，通过对已知条件变形凑出所求代数式的相关整式，可大幅简化根式运算的复杂度，避免直接代入产生的高次根式计算错误，熟练掌握该方法能有效提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.7
这道题是二次根式背景下的代数式求值问题，解题核心是运用材料给出的整体代入思想，避免直接代入根式的复杂运算：①第(1)问观察所求代数式含$x^2+6x$，可先对已知条件移项得到$x+3=\sqrt{10}$，两边平方后直接求出$x^2+6x$的值，再整体代入计算即可；②第(2)问所求为三次代数式，需先对已知条件变形，推导得到低次整式$x^2+x=1$，再将三次式拆分出含$x^2+x$的结构，多次整体代入降次即可求出结果。
【解析】
(1) 已知$x=\sqrt{10}-3$，移项得$x+3=\sqrt{10}$，
两边平方由完全平方公式得：$(x+3)^2=x^2+6x+9=10$，
整理得$x^2+6x=1$，
将$x^2+6x=1$整体代入$x^2+6x-8$，得原式$=1-8=-7$。
(2) 已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两边同乘2得$2x=\sqrt{5}-1$，
移项得$2x+1=\sqrt{5}$，
两边平方由完全平方公式得：$(2x+1)^2=4x^2+4x+1=5$，
整理得$4x^2+4x=4$，两边同除以4得$x^2+x=1$，
将所求代数式拆分变形：$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2$，
把$x^2+x=1$代入上式，得原式$=x×1 +x^2=x+x^2=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、整体代入求值
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，通过对已知条件变形凑出所求代数式的相关整式，可大幅简化根式运算的复杂度，避免直接代入产生的高次根式计算错误，熟练掌握该方法能有效提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.7
