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1 已知一组样本数据为31、6、12、19、17、16、11，则该组样本数据的(
A.极差为27
B.第1四分位数为17
C.平均数为15.5
D.方差为$\frac{376}{7}$
D
)。A.极差为27
B.第1四分位数为17
C.平均数为15.5
D.方差为$\frac{376}{7}$
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题需先将样本数据从小到大排序，再依次计算各选项涉及的统计量，逐一对比选项判断正误即可：①极差为最大值与最小值的差；②第1四分位数需先确定对应位置再取值；③平均数为所有数据的和除以数据个数；④方差需先求平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均值。
【解析】
首先将样本数据从小到大排序：6，11，12，16，17，19，31，共7个数据。
对选项A：极差=最大值-最小值=31-6=25≠27，A错误；
对选项B：第1四分位数的位置为$7×25\%=1.75$，取排序后第2个数据，即第1四分位数为11≠17，B错误；
对选项C：平均数$\overline{x}=\frac{6+11+12+16+17+19+31}{7}=\frac{112}{7}=16≠15.5$，C错误；
对选项D：方差$s^2=\frac{1}{7}[(6-16)^2+(11-16)^2+(12-16)^2+(16-16)^2+(17-16)^2+(19-16)^2+(31-16)^2]=\frac{1}{7}(100+25+16+0+1+9+225)=\frac{376}{7}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
极差计算；四分位数；平均数与方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查常见统计量的计算规则，解题时注意先对数据排序再计算四分位数、极差等统计量，计算平均数和方差时要注意运算准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解决本题需先将样本数据从小到大排序，再依次计算各选项涉及的统计量，逐一对比选项判断正误即可：①极差为最大值与最小值的差；②第1四分位数需先确定对应位置再取值；③平均数为所有数据的和除以数据个数；④方差需先求平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均值。
【解析】
首先将样本数据从小到大排序：6，11，12，16，17，19，31，共7个数据。
对选项A：极差=最大值-最小值=31-6=25≠27，A错误；
对选项B：第1四分位数的位置为$7×25\%=1.75$，取排序后第2个数据，即第1四分位数为11≠17，B错误；
对选项C：平均数$\overline{x}=\frac{6+11+12+16+17+19+31}{7}=\frac{112}{7}=16≠15.5$，C错误；
对选项D：方差$s^2=\frac{1}{7}[(6-16)^2+(11-16)^2+(12-16)^2+(16-16)^2+(17-16)^2+(19-16)^2+(31-16)^2]=\frac{1}{7}(100+25+16+0+1+9+225)=\frac{376}{7}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
极差计算；四分位数；平均数与方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查常见统计量的计算规则，解题时注意先对数据排序再计算四分位数、极差等统计量，计算平均数和方差时要注意运算准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
2 已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是(
A.一班成绩比二班成绩集中
B.一班成绩的第3四分位数是80
C.一班有同学的成绩超过140分
D.一班的平均分高于二班的平均分
C
)。A.一班成绩比二班成绩集中
B.一班成绩的第3四分位数是80
C.一班有同学的成绩超过140分
D.一班的平均分高于二班的平均分
答案
2.C
解析
【分析】
解题前先明确箱线图各部分的含义：箱体下沿对应第1四分位数（25%分位数），箱体上沿对应第3四分位数（75%分位数），箱体内的标记是中位数，箱体上下延伸的“须”对应除去异常值外的最小、最大值，单独的点为异常值。接下来逐个分析选项：
1. 判断A选项：成绩越集中说明数据离散程度越小，箱体越窄代表中间50%的数据越集中，观察可知一班箱体比二班宽，说明一班成绩更分散，A错误。
2. 判断B选项：第3四分位数是箱体的上沿，一班箱体上沿在100~120之间，80是一班的第1四分位数，B错误。
3. 判断C选项：一班有一个单独的黑点在140刻度上方，说明有同学成绩超过140分，C正确。
4. 判断D选项：一班中位数小于100，二班中位数为100，二班成绩的中间水平更高，无法推出一班平均分更高，D错误。
【解析】
首先明确箱线图各部分的统计意义：
箱体下端：第1四分位数（25%分位数）
箱体上端：第3四分位数（75%分位数）
箱内标记：中位数
上下“须”：非异常值的最小值、最大值
孤立点：异常值
逐个分析选项：
A. 一班箱体宽度大于二班，说明一班中间50%的成绩离散程度更大，成绩更分散，A错误；
B. 一班第3四分位数是箱体上沿，数值在100~120之间，不是80，B错误；
C. 一班存在1个孤立点位于140刻度上方，说明有同学成绩超过140分，C正确；
D. 一班中位数小于100，二班中位数为100，二班整体成绩中间水平更高，无证据说明一班平均分更高，D错误。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的认识；四分位数的概念；数据的集中与离散趋势
【点评】
本题考查箱线图的实际应用，只要熟练掌握箱线图各部分对应的统计意义，结合数据集中趋势、离散程度的基础概念就能快速判断选项。
【难度系数】
0.7
解题前先明确箱线图各部分的含义：箱体下沿对应第1四分位数（25%分位数），箱体上沿对应第3四分位数（75%分位数），箱体内的标记是中位数，箱体上下延伸的“须”对应除去异常值外的最小、最大值，单独的点为异常值。接下来逐个分析选项：
1. 判断A选项：成绩越集中说明数据离散程度越小，箱体越窄代表中间50%的数据越集中，观察可知一班箱体比二班宽，说明一班成绩更分散，A错误。
2. 判断B选项：第3四分位数是箱体的上沿，一班箱体上沿在100~120之间，80是一班的第1四分位数，B错误。
3. 判断C选项：一班有一个单独的黑点在140刻度上方，说明有同学成绩超过140分，C正确。
4. 判断D选项：一班中位数小于100，二班中位数为100，二班成绩的中间水平更高，无法推出一班平均分更高，D错误。
【解析】
首先明确箱线图各部分的统计意义：
箱体下端：第1四分位数（25%分位数）
箱体上端：第3四分位数（75%分位数）
箱内标记：中位数
上下“须”：非异常值的最小值、最大值
孤立点：异常值
逐个分析选项：
A. 一班箱体宽度大于二班，说明一班中间50%的成绩离散程度更大，成绩更分散，A错误；
B. 一班第3四分位数是箱体上沿，数值在100~120之间，不是80，B错误；
C. 一班存在1个孤立点位于140刻度上方，说明有同学成绩超过140分，C正确；
D. 一班中位数小于100，二班中位数为100，二班整体成绩中间水平更高，无证据说明一班平均分更高，D错误。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的认识；四分位数的概念；数据的集中与离散趋势
【点评】
本题考查箱线图的实际应用，只要熟练掌握箱线图各部分对应的统计意义，结合数据集中趋势、离散程度的基础概念就能快速判断选项。
【难度系数】
0.7
3 如图，将某组数据绘制成箱线图，则该组数据的第1四分位数为（
A.140
B.150
C.163
D.180
A
）。A.140
B.150
C.163
D.180
答案
3.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确箱线图各部分对应的统计量含义：箱线图从下到上依次对应数据的最小值、第1四分位数（下四分位数）、中位数、第3四分位数（上四分位数）、最大值，我们只需要找到对应第1四分位数的位置读取数值即可。
【解析】
箱线图的5个关键统计量对应位置如下：
1. 最下方的水平线段端点对应数据的最小值，本题为120；
2. 矩形箱子的下底边对应第1四分位数（即数据从小到大排列后处于25%分位的数），本题为140；
3. 箱子内的标记对应中位数，本题为150；
4. 矩形箱子的上底边对应第3四分位数，本题为163；
5. 最上方的水平线段端点对应数据的最大值，本题为180。
因此该组数据的第1四分位数为140。
【答案】A
【知识点】
箱线图的构成，四分位数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握箱线图各位置对应的统计量含义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确箱线图各部分对应的统计量含义：箱线图从下到上依次对应数据的最小值、第1四分位数（下四分位数）、中位数、第3四分位数（上四分位数）、最大值，我们只需要找到对应第1四分位数的位置读取数值即可。
【解析】
箱线图的5个关键统计量对应位置如下：
1. 最下方的水平线段端点对应数据的最小值，本题为120；
2. 矩形箱子的下底边对应第1四分位数（即数据从小到大排列后处于25%分位的数），本题为140；
3. 箱子内的标记对应中位数，本题为150；
4. 矩形箱子的上底边对应第3四分位数，本题为163；
5. 最上方的水平线段端点对应数据的最大值，本题为180。
因此该组数据的第1四分位数为140。
【答案】A
【知识点】
箱线图的构成，四分位数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握箱线图各位置对应的统计量含义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4 求下列数据的四分位数：
13、15、12、27、22、24、28、30、31、18、19、20。
13、15、12、27、22、24、28、30、31、18、19、20。
答案
把数据从小到大排列 12、13、15、18、19、20、22、24、27、28、30、31。
$m_{25}=16.5$，$m_{50}=\frac{20+22}{2}=21$，$m_{75}=27.5$。
$m_{25}=16.5$，$m_{50}=\frac{20+22}{2}=21$，$m_{75}=27.5$。
解析
【分析】
要求一组数据的四分位数，解题思路分为三步：第一步先将所有数据按照从小到大的顺序排列；第二步确定数据总个数n，分别计算第25、50、75百分位数对应的位置i=n×p%；第三步根据位置i的情况计算对应四分位数：若i为整数，则四分位数为第i个和第i+1个数据的平均数，若i不是整数，将i向上取整，对应位置的数据就是该四分位数。本题数据总数为12，按上述步骤计算即可。
【解析】
第一步：将数据从小到大排列：12、13、15、18、19、20、22、24、27、28、30、31，共$n=12$个数据。
第二步：分别计算各四分位数：
1. 第25百分位数：位置$i_1=12×25\%=3$，为整数，因此取第3个和第4个数据的平均数，即$m_{25}=\frac{15+18}{2}=16.5$；
2. 第50百分位数（中位数）：位置$i_2=12×50\%=6$，为整数，因此取第6个和第7个数据的平均数，即$m_{50}=\frac{20+22}{2}=21$；
3. 第75百分位数：位置$i_3=12×75\%=9$，为整数，因此取第9个和第10个数据的平均数，即$m_{75}=\frac{27+28}{2}=27.5$。
【答案】
$m_{25}=16.5$，$m_{50}=21$，$m_{75}=27.5$
【知识点】
数据排序；四分位数计算；百分位数定义
【点评】
本题是四分位数求解的基础题型，核心是掌握四分位数的计算规则，解题时要注意先对数据正确排序，再根据位置公式判断计算方式，避免因排序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要求一组数据的四分位数，解题思路分为三步：第一步先将所有数据按照从小到大的顺序排列；第二步确定数据总个数n，分别计算第25、50、75百分位数对应的位置i=n×p%；第三步根据位置i的情况计算对应四分位数：若i为整数，则四分位数为第i个和第i+1个数据的平均数，若i不是整数，将i向上取整，对应位置的数据就是该四分位数。本题数据总数为12，按上述步骤计算即可。
【解析】
第一步：将数据从小到大排列：12、13、15、18、19、20、22、24、27、28、30、31，共$n=12$个数据。
第二步：分别计算各四分位数：
1. 第25百分位数：位置$i_1=12×25\%=3$，为整数，因此取第3个和第4个数据的平均数，即$m_{25}=\frac{15+18}{2}=16.5$；
2. 第50百分位数（中位数）：位置$i_2=12×50\%=6$，为整数，因此取第6个和第7个数据的平均数，即$m_{50}=\frac{20+22}{2}=21$；
3. 第75百分位数：位置$i_3=12×75\%=9$，为整数，因此取第9个和第10个数据的平均数，即$m_{75}=\frac{27+28}{2}=27.5$。
【答案】
$m_{25}=16.5$，$m_{50}=21$，$m_{75}=27.5$
【知识点】
数据排序；四分位数计算；百分位数定义
【点评】
本题是四分位数求解的基础题型，核心是掌握四分位数的计算规则，解题时要注意先对数据正确排序，再根据位置公式判断计算方式，避免因排序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
