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11 计算：$\sin^2 45° - \cos 60° + \tan 60° · \cos^2 30°$。
答案
11.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
解析
【分析】
本题是特殊角三角函数的混合运算题，解题思路分为三步：第一步，准确回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的正弦、余弦、正切值；第二步，将对应的值代入原式，遵循实数混合运算的顺序，先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算；第三步，化简计算结果得到最终答案。解题时注意不要记错特殊角的三角函数值，严格按运算顺序计算即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2} + \sqrt{3} × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2\\&=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{3} × \frac{3}{4}\\&=0 + \frac{3\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握程度，以及实数混合运算规则的应用。解题的关键是准确记忆各个特殊角的三角函数值，运算时严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是特殊角三角函数的混合运算题，解题思路分为三步：第一步，准确回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的正弦、余弦、正切值；第二步，将对应的值代入原式，遵循实数混合运算的顺序，先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算；第三步，化简计算结果得到最终答案。解题时注意不要记错特殊角的三角函数值，严格按运算顺序计算即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2} + \sqrt{3} × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2\\&=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{3} × \frac{3}{4}\\&=0 + \frac{3\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握程度，以及实数混合运算规则的应用。解题的关键是准确记忆各个特殊角的三角函数值，运算时严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
12 计算：$\frac{\cos^2 30° + \cos^2 60°}{\tan 60° \tan 30°} + \sin^2 45°$。
答案
12.$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
这道题是特殊锐角三角函数的混合运算题，解题思路如下：首先要准确回忆30°、45°、60°这几个常用特殊角的正弦、余弦、正切值；接着把各个三角函数值代入原式，按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的运算顺序逐步计算；最后核对计算结果，避免运算错误。
【解析】
先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}{\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{\frac{3}{3}}+\frac{2}{4}\\&=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊锐角三角函数值的记忆，计算时严格遵循四则运算顺序，注意乘方运算的准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这道题是特殊锐角三角函数的混合运算题，解题思路如下：首先要准确回忆30°、45°、60°这几个常用特殊角的正弦、余弦、正切值；接着把各个三角函数值代入原式，按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的运算顺序逐步计算；最后核对计算结果，避免运算错误。
【解析】
先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}{\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{\frac{3}{3}}+\frac{2}{4}\\&=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊锐角三角函数值的记忆，计算时严格遵循四则运算顺序，注意乘方运算的准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
13 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=2，求BC的长。
答案
13. 过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$,则$∠CHB=∠CHA=90°$。在$Rt△CHB$中,$∠B=45°$,所以$\tan B =\frac{CH}{BH}=1$,即$CH=BH$。设$CH=BH=x$,则$BC=\sqrt{CH^2 + BH^2}=\sqrt{2} x$,$AH=2-x$。在$Rt△AHC$中,$∠A=30°$,所以$\tan A=\frac{CH}{AH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$\frac{x}{2-x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得$x=\sqrt{3}-1$,所以$BC=\sqrt{2} x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
题目给出的△ABC是斜三角形，内含30°、45°两个特殊角，无法直接计算边长，因此优先考虑作辅助线构造直角三角形，将特殊角放入直角三角形中利用三角函数求解。首先过点C作AB的垂线，将原三角形拆分为含30°角的Rt△AHC和含45°角的Rt△CHB，两个三角形共享直角边CH，以此为桥梁设未知数，结合AB的长度列方程求解，最后推导得到BC的长度。
【解析】
过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$,则$∠CHB=∠CHA=90°$。
在$Rt△CHB$中,$∠B=45°$,所以$\tan B =\frac{CH}{BH}=1$,即$CH=BH$。
设$CH=BH=x$,由勾股定理得$BC=\sqrt{CH^2 + BH^2}=\sqrt{2} x$,此时$AH=AB-BH=2-x$。
在$Rt△AHC$中,$∠A=30°$,所以$\tan A=\frac{CH}{AH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,代入得$\frac{x}{2-x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
解方程：$3x=\sqrt{3}(2-x)$，$3x+\sqrt{3}x=2\sqrt{3}$，$x=\frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。
所以$BC=\sqrt{2} x=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；解直角三角形；勾股定理
【点评】
本题是解斜三角形的典型基础题，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用特殊角的三角函数值建立边的等量关系列方程求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值和构造直角三角形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
题目给出的△ABC是斜三角形，内含30°、45°两个特殊角，无法直接计算边长，因此优先考虑作辅助线构造直角三角形，将特殊角放入直角三角形中利用三角函数求解。首先过点C作AB的垂线，将原三角形拆分为含30°角的Rt△AHC和含45°角的Rt△CHB，两个三角形共享直角边CH，以此为桥梁设未知数，结合AB的长度列方程求解，最后推导得到BC的长度。
【解析】
过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$,则$∠CHB=∠CHA=90°$。
在$Rt△CHB$中,$∠B=45°$,所以$\tan B =\frac{CH}{BH}=1$,即$CH=BH$。
设$CH=BH=x$,由勾股定理得$BC=\sqrt{CH^2 + BH^2}=\sqrt{2} x$,此时$AH=AB-BH=2-x$。
在$Rt△AHC$中,$∠A=30°$,所以$\tan A=\frac{CH}{AH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,代入得$\frac{x}{2-x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
解方程：$3x=\sqrt{3}(2-x)$，$3x+\sqrt{3}x=2\sqrt{3}$，$x=\frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。
所以$BC=\sqrt{2} x=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；解直角三角形；勾股定理
【点评】
本题是解斜三角形的典型基础题，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用特殊角的三角函数值建立边的等量关系列方程求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值和构造直角三角形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
14 如图，在$△ ABC$中，$CD⊥ AB$于点$D$，若$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$CD=6$，$AB=9\sqrt{3}$，求$∠ CAD$的余弦值。
答案
14. 在$Rt△CDB$中,$∠CDB=90°$,$\cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$CD=6$。设$BC=2x$,则$BD=\sqrt{3} x$。由勾股定理,得$CD^2 + BD^2 = BC^2$,所以$6^2 + (\sqrt{3} x)^2=(2x)^2$,解得$x=±6$(舍负),所以$BD=\sqrt{3} x=6\sqrt{3}$,所以$AD=AB-BD=3\sqrt{3}$。在$Rt△CAD$中,$∠CDA=90°$,所以$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=3\sqrt{7}$,所以$\cos∠CAD=\frac{AD}{AC}=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
解析
【分析】
题目中存在两个直角三角形$Rt△ CDB$和$Rt△ CDA$，解题思路如下：首先利用已知的$\cos B$和$CD$的长度，在$Rt△ CDB$中结合余弦定义和勾股定理求出$BD$的长度；再用$AB$的总长减去$BD$得到$AD$的长度；之后在$Rt△ CDA$中用勾股定理求出斜边$AC$的长度；最后根据余弦的定义，计算$∠ CAD$的邻边$AD$与斜边$AC$的比值即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ CDB$中，$∠ CDB=90°$，$\cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$CD=6$。
设$BC=2x$，则$BD=\sqrt{3}x$，由勾股定理得$CD^2 + BD^2 = BC^2$，
代入数值可得：$6^2 + (\sqrt{3}x)^2=(2x)^2$，
解得$x=\pm6$，负值不符合实际意义舍去，即$x=6$，
因此$BD=\sqrt{3}x=6\sqrt{3}$，
则$AD=AB-BD=9\sqrt{3}-6\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
在$Rt△ CAD$中，$∠ CDA=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{27+36}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，
所以$\cos∠ CAD=\frac{AD}{AC}=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的核心是合理利用图中的直角三角形，结合已知条件逐步推导未知边长，计算过程中要注意根式化简的规范性，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
题目中存在两个直角三角形$Rt△ CDB$和$Rt△ CDA$，解题思路如下：首先利用已知的$\cos B$和$CD$的长度，在$Rt△ CDB$中结合余弦定义和勾股定理求出$BD$的长度；再用$AB$的总长减去$BD$得到$AD$的长度；之后在$Rt△ CDA$中用勾股定理求出斜边$AC$的长度；最后根据余弦的定义，计算$∠ CAD$的邻边$AD$与斜边$AC$的比值即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ CDB$中，$∠ CDB=90°$，$\cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$CD=6$。
设$BC=2x$，则$BD=\sqrt{3}x$，由勾股定理得$CD^2 + BD^2 = BC^2$，
代入数值可得：$6^2 + (\sqrt{3}x)^2=(2x)^2$，
解得$x=\pm6$，负值不符合实际意义舍去，即$x=6$，
因此$BD=\sqrt{3}x=6\sqrt{3}$，
则$AD=AB-BD=9\sqrt{3}-6\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
在$Rt△ CAD$中，$∠ CDA=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{27+36}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，
所以$\cos∠ CAD=\frac{AD}{AC}=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的核心是合理利用图中的直角三角形，结合已知条件逐步推导未知边长，计算过程中要注意根式化简的规范性，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
