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1 计算$\sqrt{2}\sin45°$的结果为（
A.$\sqrt{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\dfrac{1}{2}$
C
）。A.$\sqrt{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
拿到这道题首先明确解题思路：式子由二次根式和特殊角的正弦值组成，我们可以分两步求解：第一步先回忆牢记的45°角的正弦值，第二步将数值代入原式做二次根式的乘法运算，化简后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可知，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$\sqrt{2}\sin45°=\sqrt{2} × \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=\dfrac{(\sqrt{2})^2}{2}$
$=\dfrac{2}{2}$
$=1$
【答案】
C
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.二次根式的运算
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是准确记忆30°、45°、60°这类常见特殊角的三角函数值，搭配简单的二次根式运算就能快速得出答案，属于三角函数相关内容的基础必得分题型。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确解题思路：式子由二次根式和特殊角的正弦值组成，我们可以分两步求解：第一步先回忆牢记的45°角的正弦值，第二步将数值代入原式做二次根式的乘法运算，化简后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可知，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$\sqrt{2}\sin45°=\sqrt{2} × \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=\dfrac{(\sqrt{2})^2}{2}$
$=\dfrac{2}{2}$
$=1$
【答案】
C
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.二次根式的运算
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是准确记忆30°、45°、60°这类常见特殊角的三角函数值，搭配简单的二次根式运算就能快速得出答案，属于三角函数相关内容的基础必得分题型。
【难度系数】
0.9
2 已知$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$α$是锐角，则$α$的大小是（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.不确定
A
）。A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.不确定
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先明确：在锐角范围内，每个正切值与锐角是一一对应的关系，已知锐角的正切值求角度，只需回忆30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的正切值，和题目给出的$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$做匹配即可得到答案，且题目已说明α是锐角，无需考虑其他象限角的情况。
【解析】
我们已知特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$
题目给出$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α为锐角，锐角的正切值与角度一一对应，因此$α=30°$。
【答案】
A
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角三角函数的对应性
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊锐角三角函数值的记忆掌握，熟练掌握30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值即可快速解题，是锐角三角函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：在锐角范围内，每个正切值与锐角是一一对应的关系，已知锐角的正切值求角度，只需回忆30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的正切值，和题目给出的$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$做匹配即可得到答案，且题目已说明α是锐角，无需考虑其他象限角的情况。
【解析】
我们已知特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$
题目给出$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α为锐角，锐角的正切值与角度一一对应，因此$α=30°$。
【答案】
A
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角三角函数的对应性
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊锐角三角函数值的记忆掌握，熟练掌握30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值即可快速解题，是锐角三角函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
3 在$△ ABC$中，$∠ A$、$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$的形状为（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
C
）。A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合特殊角的三角函数值，根据已知的锐角三角函数值确定∠A、∠B的度数，注意题干明确∠A、∠B都是锐角，无需考虑对应非锐角的情况；第二步，利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数；第三步，根据∠C的角类型判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，
∴$∠ A=30°$，
∵∠B是锐角，且$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ B=45°$，
由三角形内角和定理可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-45°=105°$，
∵$105°$是钝角，
∴△ABC为钝角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，重点考查特殊角三角函数值的记忆，结合三角形内角和定理即可快速解题，熟记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，结合特殊角的三角函数值，根据已知的锐角三角函数值确定∠A、∠B的度数，注意题干明确∠A、∠B都是锐角，无需考虑对应非锐角的情况；第二步，利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数；第三步，根据∠C的角类型判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，
∴$∠ A=30°$，
∵∠B是锐角，且$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ B=45°$，
由三角形内角和定理可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-45°=105°$，
∵$105°$是钝角，
∴△ABC为钝角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，重点考查特殊角三角函数值的记忆，结合三角形内角和定理即可快速解题，熟记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.8
④ 计算：$\sin^2 25° + \cos^2 25° = \_\_\_\_\_\_$。
答案
4.1
解析
【分析】
观察所求式子，是同一个锐角25°的正弦平方与余弦平方相加，无需分别计算两个三角函数的具体数值再求和，直接回忆同角三角函数的基础恒等式，代入对应角度即可快速求解。
【解析】
根据锐角三角函数的基本性质：对任意锐角α，都有$\sin^2α + \cos^2α = 1$。
本题中取α=25°，代入上述恒等式可得：$\sin^2 25° + \cos^2 25° = 1$。
【答案】
1
【知识点】
同角三角函数的基本关系
【点评】
本题是基础考查题，仅需要熟练记忆同角正余弦平方和的恒等式即可直接得出结果，属于送分类题型。
【难度系数】
0.95
观察所求式子，是同一个锐角25°的正弦平方与余弦平方相加，无需分别计算两个三角函数的具体数值再求和，直接回忆同角三角函数的基础恒等式，代入对应角度即可快速求解。
【解析】
根据锐角三角函数的基本性质：对任意锐角α，都有$\sin^2α + \cos^2α = 1$。
本题中取α=25°，代入上述恒等式可得：$\sin^2 25° + \cos^2 25° = 1$。
【答案】
1
【知识点】
同角三角函数的基本关系
【点评】
本题是基础考查题，仅需要熟练记忆同角正余弦平方和的恒等式即可直接得出结果，属于送分类题型。
【难度系数】
0.95
5 计算：$2\sin 30° + \tan 60° =$
$\sqrt{3}+1$
。答案
5.$\sqrt{3}+1$
解析
【分析】
本题是特殊锐角三角函数值的混合运算题，解题时首先要准确回忆30°的正弦值、60°的正切值，再将对应数值代入原式，按照先算乘法、再算加法的运算顺序计算即可得出结果。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，
将其代入原式计算：
$2\sin30°+\tan60°=2×\frac{1}{2}+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是考查对常见特殊锐角三角函数值的识记，只要准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，结合基本四则运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题是特殊锐角三角函数值的混合运算题，解题时首先要准确回忆30°的正弦值、60°的正切值，再将对应数值代入原式，按照先算乘法、再算加法的运算顺序计算即可得出结果。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，
将其代入原式计算：
$2\sin30°+\tan60°=2×\frac{1}{2}+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是考查对常见特殊锐角三角函数值的识记，只要准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，结合基本四则运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
6 若∠A是锐角，且$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\cos A =$
$\dfrac{1}{2}$
。答案
6.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题有两种常规解题思路：思路一，结合∠A是锐角的条件，根据已知的sinA的值，对照特殊锐角的三角函数值先确定∠A的度数，再计算对应余弦值即可；思路二，利用同角三角函数的基本关系$\sin^2 A + \cos^2 A=1$，结合锐角的余弦值为正数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
方法一：利用特殊角的三角函数值求解
∵ ∠A是锐角，$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ $∠ A=60°$
∴ $\cos A=\cos60°=\frac{1}{2}$
方法二：利用同角三角函数关系求解
∵ ∠A是锐角，
∴ $\cos A＞0$
根据同角三角函数基本关系$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，代入$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记能力，也可通过同角三角函数的关系推导求解，熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题有两种常规解题思路：思路一，结合∠A是锐角的条件，根据已知的sinA的值，对照特殊锐角的三角函数值先确定∠A的度数，再计算对应余弦值即可；思路二，利用同角三角函数的基本关系$\sin^2 A + \cos^2 A=1$，结合锐角的余弦值为正数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
方法一：利用特殊角的三角函数值求解
∵ ∠A是锐角，$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ $∠ A=60°$
∴ $\cos A=\cos60°=\frac{1}{2}$
方法二：利用同角三角函数关系求解
∵ ∠A是锐角，
∴ $\cos A＞0$
根据同角三角函数基本关系$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，代入$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记能力，也可通过同角三角函数的关系推导求解，熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.9
7 已知α为锐角，且$\cos(90° - α)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\tanα=$
$\sqrt{3}$
。答案
7.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用互余两角的三角函数关系对已知条件进行转化：$\cos(90°−α)=\sinα$，由此可得到$\sinα$的取值；再结合α是锐角的限定，确定α的具体角度；最后代入对应特殊角的正切值即可得到结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：$\cos(90°-α)=\sinα$
已知$\cos(90° - α)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}$
又因为α为锐角，所以$α=60°$
则$\tanα=\tan60°=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
互余角的三角函数关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对互余角三角函数转换规则和特殊角三角函数值的掌握，熟记相关结论即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先利用互余两角的三角函数关系对已知条件进行转化：$\cos(90°−α)=\sinα$，由此可得到$\sinα$的取值；再结合α是锐角的限定，确定α的具体角度；最后代入对应特殊角的正切值即可得到结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：$\cos(90°-α)=\sinα$
已知$\cos(90° - α)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}$
又因为α为锐角，所以$α=60°$
则$\tanα=\tan60°=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
互余角的三角函数关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对互余角三角函数转换规则和特殊角三角函数值的掌握，熟记相关结论即可快速求解。
【难度系数】
0.85
⑧ 计算：$\sqrt{1 - 2\sin 30° \cos 30°} =$
$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
。答案
8.$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
解析
【分析】
解这道题我们可以按三步思考：第一步，观察根号内的式子结构，1可以用同角三角函数的平方关系替换为$\sin^230°+\cos^230°$，这样根号内就变成了完全平方公式的形式；第二步，二次根式开方的结果是非负数，所以开根号后要加绝对值，再根据30°的正弦、余弦值的大小去掉绝对值符号；第三步，代入特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同角三角函数的基本关系$\sin^2α + \cos^2α = 1$，可得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\sin^230° + \cos^230° - 2\sin30°\cos30°} \\&=\sqrt{(\cos30° - \sin30°)^2} \\&=|\cos30° - \sin30°|\end{aligned}$
$\because \cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，且$\frac{\sqrt{3}}{2}＞\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 去掉绝对值得：$\cos30° - \sin30° = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数基本关系；二次根式化简
【点评】
本题解题的核心是利用“1的代换”将根号内的式子构造为完全平方形式，需注意二次根式化简的结果为非负数，去掉绝对值时要判断内部表达式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解这道题我们可以按三步思考：第一步，观察根号内的式子结构，1可以用同角三角函数的平方关系替换为$\sin^230°+\cos^230°$，这样根号内就变成了完全平方公式的形式；第二步，二次根式开方的结果是非负数，所以开根号后要加绝对值，再根据30°的正弦、余弦值的大小去掉绝对值符号；第三步，代入特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同角三角函数的基本关系$\sin^2α + \cos^2α = 1$，可得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\sin^230° + \cos^230° - 2\sin30°\cos30°} \\&=\sqrt{(\cos30° - \sin30°)^2} \\&=|\cos30° - \sin30°|\end{aligned}$
$\because \cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，且$\frac{\sqrt{3}}{2}＞\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 去掉绝对值得：$\cos30° - \sin30° = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数基本关系；二次根式化简
【点评】
本题解题的核心是利用“1的代换”将根号内的式子构造为完全平方形式，需注意二次根式化简的结果为非负数，去掉绝对值时要判断内部表达式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
9 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=\sqrt{2}$，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，如果将$△ ABC$绕着点$C$旋转至$△ A'B'C'$的位置，使点$B'$落在$∠ ACB$的角平分线上，$A'B'$与$AC$相交于点$H$，那么线段$CH$的长等于
$\sqrt{3}-1$
。答案
9.$\sqrt{3}-1$ ［提示:由点$B'$落在$∠ACB$的角平分线上,可得旋转角为$45°$,所以$∠ACA' = 45°$。过点$H$作$HD ⊥ A'C$于点$D$。由$∠A'CH=45°$,$\cos∠CA'H=\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$A'C=AC=\sqrt{2}$,可得$CH=\sqrt{3}-1$。］
解析
【分析】
解题首先利用已知的锐角三角函数值确定Rt△ABC的内角角度，再结合旋转的性质得到旋转后对应边、对应角的等量关系；根据角平分线的定义确定旋转角的度数，得到△A'CH的内角度数，通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数关系设未知数建立方程，即可求出CH的长度。
【解析】
1. 在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得∠ A=30°。
2. 由旋转的性质可知：$A'C=AC=\sqrt{2}$，∠ A'=∠ A=30°，∠ A'CB'=∠ ACB=90°。
3. 因为点B'落在∠ ACB的角平分线上，∠ ACB=90°，所以角平分线分∠ ACB为两个45°角，即旋转角为45°，因此∠ A'CH=45°。
4. 过点H作HD ⊥ A'C于点D，设HD=x：
在Rt△ HDC中，∠ HCD=45°，所以CD=HD=x，$CH=\sqrt{2}x$；
在Rt△ A'HD中，∠ A'=30°，所以$A'D=\frac{HD}{\tan30°}=\sqrt{3}x$。
5. 由$A'D+CD=A'C=\sqrt{2}$，代入得：
$ \sqrt{3}x + x = \sqrt{2} $解得$x=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}$，因此$CH=\sqrt{2}x=\sqrt{3}-1$。【答案$】\sqrt{3}-1$
【知识点】
旋转的性质，锐角三角函数，角平分线的性质
【点评】
本题综合考查旋转性质、解直角三角形的应用，解题核心是抓住旋转前后图形的对应量不变的特点，结合角平分线得到角度关系，通过构造直角三角形利用特殊角的三角函数关系求解，能有效考查知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题首先利用已知的锐角三角函数值确定Rt△ABC的内角角度，再结合旋转的性质得到旋转后对应边、对应角的等量关系；根据角平分线的定义确定旋转角的度数，得到△A'CH的内角度数，通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数关系设未知数建立方程，即可求出CH的长度。
【解析】
1. 在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得∠ A=30°。
2. 由旋转的性质可知：$A'C=AC=\sqrt{2}$，∠ A'=∠ A=30°，∠ A'CB'=∠ ACB=90°。
3. 因为点B'落在∠ ACB的角平分线上，∠ ACB=90°，所以角平分线分∠ ACB为两个45°角，即旋转角为45°，因此∠ A'CH=45°。
4. 过点H作HD ⊥ A'C于点D，设HD=x：
在Rt△ HDC中，∠ HCD=45°，所以CD=HD=x，$CH=\sqrt{2}x$；
在Rt△ A'HD中，∠ A'=30°，所以$A'D=\frac{HD}{\tan30°}=\sqrt{3}x$。
5. 由$A'D+CD=A'C=\sqrt{2}$，代入得：
$ \sqrt{3}x + x = \sqrt{2} $解得$x=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}$，因此$CH=\sqrt{2}x=\sqrt{3}-1$。【答案$】\sqrt{3}-1$
【知识点】
旋转的性质，锐角三角函数，角平分线的性质
【点评】
本题综合考查旋转性质、解直角三角形的应用，解题核心是抓住旋转前后图形的对应量不变的特点，结合角平分线得到角度关系，通过构造直角三角形利用特殊角的三角函数关系求解，能有效考查知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10 如图,在$△ ABC$中,$AB=4\sqrt{2}$,$∠ B=45°$,$∠ C=60°$。点$D$为线段$AB$的中点,点$E$在边$AC$上,连接$DE$,沿直线$DE$将$△ ADE$折叠得到$△ A'DE$。连接$AA'$,当$A'E ⊥ AC$时,则线段$AA'$的长为$\underline{\hspace{2em}}$。
答案
10.$2\sqrt{6}$ ［提示:根据$A'E ⊥ AC$,可得$∠AED=45°$,从而$∠ADE=60°$。设$AA'$与$DE$的交点为$O$,所以$AO=AD · \sin∠ADE = 2\sqrt{2} ×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$,所以$AA'=2AO=2\sqrt{6}$。］
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，结合折叠前后对应角相等的性质，以及A'E⊥AC的条件，推导得到∠AED的度数，进而在△ADE中计算出∠ADE的度数；第三步，根据折叠的性质可知折痕DE垂直平分AA'，即AA'与DE的交点O是AA'的中点，AA'=2AO；最后利用AD的长度和∠ADE的正弦值求出AO，即可得到AA'的长度。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-45°-60°=75°$
由折叠的性质可得：$∠ A'ED=∠ AED$，$∠ DA'E=∠ DAE=75°$，且DE垂直平分线段$AA'$。设$AA'$与DE交于点O，则$AO=A'O$，$∠ AOD=90°$，$AA'=2AO$。
$\because A'E⊥ AC$，$\therefore ∠ A'EC=90°$
$\therefore ∠ A'ED+∠ AED=180°-∠ A'EC=90°$
又$\because ∠ A'ED=∠ AED$，$\therefore ∠ AED=45°$
在△ADE中，$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=180°-75°-45°=60°$
$\because$点D是AB中点，$AB=4\sqrt{2}$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$
在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=60°$，$AD=2\sqrt{2}$
$\therefore AO=AD·\sin60°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$
$\therefore AA'=2AO=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
折叠的性质，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，将折叠的性质与锐角三角函数、三角形内角和的知识结合考查，解题的关键是通过折叠的性质找到角的等量关系，再结合直角三角形的边角关系计算线段长度，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：第一步，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，结合折叠前后对应角相等的性质，以及A'E⊥AC的条件，推导得到∠AED的度数，进而在△ADE中计算出∠ADE的度数；第三步，根据折叠的性质可知折痕DE垂直平分AA'，即AA'与DE的交点O是AA'的中点，AA'=2AO；最后利用AD的长度和∠ADE的正弦值求出AO，即可得到AA'的长度。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-45°-60°=75°$
由折叠的性质可得：$∠ A'ED=∠ AED$，$∠ DA'E=∠ DAE=75°$，且DE垂直平分线段$AA'$。设$AA'$与DE交于点O，则$AO=A'O$，$∠ AOD=90°$，$AA'=2AO$。
$\because A'E⊥ AC$，$\therefore ∠ A'EC=90°$
$\therefore ∠ A'ED+∠ AED=180°-∠ A'EC=90°$
又$\because ∠ A'ED=∠ AED$，$\therefore ∠ AED=45°$
在△ADE中，$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=180°-75°-45°=60°$
$\because$点D是AB中点，$AB=4\sqrt{2}$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$
在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=60°$，$AD=2\sqrt{2}$
$\therefore AO=AD·\sin60°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$
$\therefore AA'=2AO=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
折叠的性质，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，将折叠的性质与锐角三角函数、三角形内角和的知识结合考查，解题的关键是通过折叠的性质找到角的等量关系，再结合直角三角形的边角关系计算线段长度，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
