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1 如图，过点A(m，n)的正比例函数图像与x轴正半轴的夹角为α，则$\frac{m}{n}$的值（
A.只与角α的大小有关
B.只与点A在角α的边上的位置有关
C.与角α的大小及点A在角α的边上的位置有关
D.与角α的大小及点A在角α的边上的位置无关
A
）。A.只与角α的大小有关
B.只与点A在角α的边上的位置有关
C.与角α的大小及点A在角α的边上的位置有关
D.与角α的大小及点A在角α的边上的位置无关
答案
1 A
解析
【分析】
要判断$\frac{m}{n}$的值的影响因素，我们可以结合锐角三角函数的定义分析：首先过点A向x轴作垂线构造直角三角形，利用正切的定义表示出角$α$的正切值，再变形得到$\frac{m}{n}$的表达式，结合三角函数的性质分析其影响因素即可。
【解析】
过点A作$AB ⊥ x$轴于点B，则$OB=m$，$AB=n$。
在$Rt△ AOB$中，根据正切的定义：
$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{OB}=\frac{n}{m}$，
对式子变形可得$\frac{m}{n}=\frac{1}{\tanα}$。
锐角的三角函数值只由角的大小决定，与角边上点的位置无关，因此$\frac{1}{\tanα}$的大小只和$α$的大小有关，即$\frac{m}{n}$只与角$α$的大小有关，和点A的位置无关。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，正比例函数的性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对锐角三角函数本质的理解，要明确锐角三角函数值是对应角两边的比值，仅由角度的大小决定，和边上选取的点的位置无关。
【难度系数】
0.8
要判断$\frac{m}{n}$的值的影响因素，我们可以结合锐角三角函数的定义分析：首先过点A向x轴作垂线构造直角三角形，利用正切的定义表示出角$α$的正切值，再变形得到$\frac{m}{n}$的表达式，结合三角函数的性质分析其影响因素即可。
【解析】
过点A作$AB ⊥ x$轴于点B，则$OB=m$，$AB=n$。
在$Rt△ AOB$中，根据正切的定义：
$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{OB}=\frac{n}{m}$，
对式子变形可得$\frac{m}{n}=\frac{1}{\tanα}$。
锐角的三角函数值只由角的大小决定，与角边上点的位置无关，因此$\frac{1}{\tanα}$的大小只和$α$的大小有关，即$\frac{m}{n}$只与角$α$的大小有关，和点A的位置无关。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，正比例函数的性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对锐角三角函数本质的理解，要明确锐角三角函数值是对应角两边的比值，仅由角度的大小决定，和边上选取的点的位置无关。
【难度系数】
0.8
② 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=3$，那么下列各式中，正确的是（$\quad$）。
A.$\sin B=\dfrac{2}{3}$
B.$\cos B=\dfrac{2}{3}$
C.$\tan B=\dfrac{2}{3}$
D.$\sin A=\dfrac{2}{3}$
A.$\sin B=\dfrac{2}{3}$
B.$\cos B=\dfrac{2}{3}$
C.$\tan B=\dfrac{2}{3}$
D.$\sin A=\dfrac{2}{3}$
答案
2 C
解析
【分析】
解决本题首先需要先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项中对应三角函数的值，逐一比对即可选出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=3$，由勾股定理得斜边：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
逐一分析选项：
A. $\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}≠\frac{2}{3}$，故A错误；
B. $\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}≠\frac{2}{3}$，故B错误；
C. $\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，故C正确；
D. $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}≠\frac{2}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题关键是区分清楚每个锐角对应的对边和邻边，结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项中对应三角函数的值，逐一比对即可选出正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=3$，由勾股定理得斜边：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
逐一分析选项：
A. $\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}≠\frac{2}{3}$，故A错误；
B. $\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}≠\frac{2}{3}$，故B错误；
C. $\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，故C正确；
D. $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}≠\frac{2}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题关键是区分清楚每个锐角对应的对边和邻边，结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
3 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，设$\sin B=n$，当$∠ B$是最小的内角时，$n$的取值范围是（
A.$0 ＜ n ≤ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$0 ＜ n ≤ \dfrac{1}{2}$
C.$0 ＜ n ≤ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$0 ＜ n ≤ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
A
）。A.$0 ＜ n ≤ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$0 ＜ n ≤ \dfrac{1}{2}$
C.$0 ＜ n ≤ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$0 ＜ n ≤ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
3 A
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到∠A与∠B的和为90°；再结合∠B是最小内角的约束条件，推导出∠B的取值范围；最后根据锐角正弦函数在0°~90°内随角度增大而增大的增减性，即可求出n的取值范围。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，且∠A、∠B均为大于0°的锐角。
∵ ∠B是最小的内角，直角90°大于所有锐角，因此只需满足∠B ≤ ∠A，
将∠A=90°-∠B代入不等式得：∠B ≤ 90°-∠B，
移项合并得2∠B ≤ 90°，解得∠B ≤ 45°，
结合内角取值要求，得∠B的范围为：0° ＜ ∠B ≤ 45°。
∵ 锐角的正弦值随角度的增大而增大，
∴ sin0° ＜ sinB ≤ sin45°，
代入sin0°=0、sin45°=√2/2、sinB=n，可得：
0 ＜ n ≤ √2/2，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角正弦函数的增减性；三角形内角性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先根据最小内角的限制求出角B的取值范围，再结合锐角三角函数的单调性推导函数值的范围，是锐角三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到∠A与∠B的和为90°；再结合∠B是最小内角的约束条件，推导出∠B的取值范围；最后根据锐角正弦函数在0°~90°内随角度增大而增大的增减性，即可求出n的取值范围。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，且∠A、∠B均为大于0°的锐角。
∵ ∠B是最小的内角，直角90°大于所有锐角，因此只需满足∠B ≤ ∠A，
将∠A=90°-∠B代入不等式得：∠B ≤ 90°-∠B，
移项合并得2∠B ≤ 90°，解得∠B ≤ 45°，
结合内角取值要求，得∠B的范围为：0° ＜ ∠B ≤ 45°。
∵ 锐角的正弦值随角度的增大而增大，
∴ sin0° ＜ sinB ≤ sin45°，
代入sin0°=0、sin45°=√2/2、sinB=n，可得：
0 ＜ n ≤ √2/2，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角正弦函数的增减性；三角形内角性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先根据最小内角的限制求出角B的取值范围，再结合锐角三角函数的单调性推导函数值的范围，是锐角三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
4 若α、β都是锐角，下列说法正确的是（
A.若$\sinα=\cosβ$，则$α=β=45°$
B.若$\sinα=\cosβ$，则$α+β=90°$
C.若$\sinα＞\cosβ$，则$α＞β$
D.若$\sinα＜\cosβ$，则$α＜β$
B
）。A.若$\sinα=\cosβ$，则$α=β=45°$
B.若$\sinα=\cosβ$，则$α+β=90°$
C.若$\sinα＞\cosβ$，则$α＞β$
D.若$\sinα＜\cosβ$，则$α＜β$
答案
4 B
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用互余两角的三角函数关系，将$\cosβ$转化为$\sin(90°−β)$，再结合锐角正弦函数在$0°∼90°$范围内随角度增大而增大的性质，把三角函数值的大小关系转化为角度的大小关系，逐个判断选项即可，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
已知$α$、$β$都是锐角，即$0°＜α＜90°$，$0°＜β＜90°$，可得$0°＜90°−β＜90°$。根据互余角的三角函数关系：$\cosβ=\sin(90°−β)$，且锐角的正弦值随角度增大而增大，逐一分析选项：
选项A：若$\sinα=\cosβ$，即$\sinα=\sin(90°−β)$，由正弦单调性得$α=90°−β$，即$α+β=90°$，不一定$α=β=45°$，例如$α=30°$、$β=60°$时也满足$\sin30°=\cos60°$，故A错误；
选项B：由上述推导，$\sinα=\cosβ$可推出$α=90°−β$，即$α+β=90°$，故B正确；
选项C：若$\sinα＞\cosβ$，即$\sinα＞\sin(90°−β)$，由正弦单调性得$α＞90°−β$，即$α+β＞90°$，无法推出$α＞β$，例如$α=50°$、$β=50°$时，$\sin50°≈0.766＞\cos50°≈0.643$，但$α=β$，故C错误；
选项D：若$\sinα＜\cosβ$，即$\sinα＜\sin(90°−β)$，由正弦单调性得$α＜90°−β$，即$α+β＜90°$，无法推出$α＜β$，例如$α=40°$、$β=30°$时，$\sin40°≈0.643＜\cos30°≈0.866$，但$α＞β$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数关系；锐角正弦的增减性
【点评】
本题核心考查三角函数值与角度的对应关系，解题的关键是利用互余关系将异名三角函数转化为同名三角函数，再结合单调性判断角度关系，举反例是排除错误选项的高效方法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用互余两角的三角函数关系，将$\cosβ$转化为$\sin(90°−β)$，再结合锐角正弦函数在$0°∼90°$范围内随角度增大而增大的性质，把三角函数值的大小关系转化为角度的大小关系，逐个判断选项即可，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
已知$α$、$β$都是锐角，即$0°＜α＜90°$，$0°＜β＜90°$，可得$0°＜90°−β＜90°$。根据互余角的三角函数关系：$\cosβ=\sin(90°−β)$，且锐角的正弦值随角度增大而增大，逐一分析选项：
选项A：若$\sinα=\cosβ$，即$\sinα=\sin(90°−β)$，由正弦单调性得$α=90°−β$，即$α+β=90°$，不一定$α=β=45°$，例如$α=30°$、$β=60°$时也满足$\sin30°=\cos60°$，故A错误；
选项B：由上述推导，$\sinα=\cosβ$可推出$α=90°−β$，即$α+β=90°$，故B正确；
选项C：若$\sinα＞\cosβ$，即$\sinα＞\sin(90°−β)$，由正弦单调性得$α＞90°−β$，即$α+β＞90°$，无法推出$α＞β$，例如$α=50°$、$β=50°$时，$\sin50°≈0.766＞\cos50°≈0.643$，但$α=β$，故C错误；
选项D：若$\sinα＜\cosβ$，即$\sinα＜\sin(90°−β)$，由正弦单调性得$α＜90°−β$，即$α+β＜90°$，无法推出$α＜β$，例如$α=40°$、$β=30°$时，$\sin40°≈0.643＜\cos30°≈0.866$，但$α＞β$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数关系；锐角正弦的增减性
【点评】
本题核心考查三角函数值与角度的对应关系，解题的关键是利用互余关系将异名三角函数转化为同名三角函数，再结合单调性判断角度关系，举反例是排除错误选项的高效方法。
【难度系数】
0.7
5 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BC=3$，$AB=5$，则$\sin A=$
6 比较大小：$\tan35°$
7 $\sin^289°+\sin^21°=$
$\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
。6 比较大小：$\tan35°$
$＜$
$\tan36°$；$\cos40°$$＞$
$\cos50°$。（选填“$＞$”或“$＜$”）7 $\sin^289°+\sin^21°=$
$1$
。答案
5 $\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
6 $＜,＞$
7 1
6 $＜,＞$
7 1
解析
【分析】
第5题：求锐角的正弦值，需先明确正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。本题先通过勾股定理求出斜边AC的长度，再找到∠A的对边，代入定义计算化简即可。
第6题：比较锐角三角函数值大小，结合锐角三角函数的增减性判断：正切在0°~90°范围内随角度增大而增大；余弦在0°~90°范围内随角度增大而减小，根据角度大小关系直接判断即可。
第7题：观察得89°与1°互余，根据互余角的三角函数关系可得sin89°=cos1°，再结合同角三角函数的平方关系sin²α+cos²α=1，代入即可算出结果。
【解析】
5. 在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$
根据正弦定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$
6. ①
∵正切在0°~90°内随角度增大而增大，且$35°＜36°$，
∴$\tan35°＜\tan36°$
②
∵余弦在0°~90°内随角度增大而减小，且$40°＜50°$，
∴$\cos40°＞\cos50°$
7.
∵$89°+1°=90°$，
∴$\sin89°=\sin(90°-1°)=\cos1°$
则$\sin^289°+\sin^21°=\cos^21°+\sin^21°=1$
【答案】
5 $\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$；6 $＜,＞$；7 1
【知识点】
1. 锐角三角函数定义 2. 锐角三角函数增减性 3. 互余角三角函数关系
【点评】
这几道题是锐角三角函数的基础题型，主要考查对三角函数基本概念、性质和常用恒等式的掌握，牢记基础知识点即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
第5题：求锐角的正弦值，需先明确正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。本题先通过勾股定理求出斜边AC的长度，再找到∠A的对边，代入定义计算化简即可。
第6题：比较锐角三角函数值大小，结合锐角三角函数的增减性判断：正切在0°~90°范围内随角度增大而增大；余弦在0°~90°范围内随角度增大而减小，根据角度大小关系直接判断即可。
第7题：观察得89°与1°互余，根据互余角的三角函数关系可得sin89°=cos1°，再结合同角三角函数的平方关系sin²α+cos²α=1，代入即可算出结果。
【解析】
5. 在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$
根据正弦定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$
6. ①
∵正切在0°~90°内随角度增大而增大，且$35°＜36°$，
∴$\tan35°＜\tan36°$
②
∵余弦在0°~90°内随角度增大而减小，且$40°＜50°$，
∴$\cos40°＞\cos50°$
7.
∵$89°+1°=90°$，
∴$\sin89°=\sin(90°-1°)=\cos1°$
则$\sin^289°+\sin^21°=\cos^21°+\sin^21°=1$
【答案】
5 $\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$；6 $＜,＞$；7 1
【知识点】
1. 锐角三角函数定义 2. 锐角三角函数增减性 3. 互余角三角函数关系
【点评】
这几道题是锐角三角函数的基础题型，主要考查对三角函数基本概念、性质和常用恒等式的掌握，牢记基础知识点即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
8 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=30°,∠C=60°,AD=4,AB=3√3,则BC的长为
$10$
。答案
8 10
解析
【分析】
本题是梯形边长计算问题，解题思路如下：首先观察到AD//BC，四边形为梯形，且已知底角为30°和60°的特殊角，考虑过梯形上底的两个端点作下底的垂线，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形；再利用矩形性质得到中间线段EF的长度等于AD，接着在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值分别求出BE和FC的长度，最后将三段长度相加即可得到BC的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=4，AE=DF。
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=3√3，
∴BE = AB·cos30° = 3√3 × (√3/2) = 9/2，
AE = AB·sin30° = 3√3 × 1/2 = 3√3/2，
∴DF=AE=3√3/2。
在Rt△DFC中，∠C=60°，
tanC = DF/FC，
∴FC = DF / tan60° = (3√3/2) / √3 = 3/2，
∴BC = BE + EF + FC = 9/2 + 4 + 3/2 = 6 + 4 = 10。
【答案】
10
【知识点】
梯形辅助线作法；解直角三角形；矩形的性质
【点评】
本题是梯形计算的常规题型，核心是通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，再结合特殊角的三角函数值求解，熟练掌握梯形常见辅助线的作法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是梯形边长计算问题，解题思路如下：首先观察到AD//BC，四边形为梯形，且已知底角为30°和60°的特殊角，考虑过梯形上底的两个端点作下底的垂线，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形；再利用矩形性质得到中间线段EF的长度等于AD，接着在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值分别求出BE和FC的长度，最后将三段长度相加即可得到BC的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=4，AE=DF。
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=3√3，
∴BE = AB·cos30° = 3√3 × (√3/2) = 9/2，
AE = AB·sin30° = 3√3 × 1/2 = 3√3/2，
∴DF=AE=3√3/2。
在Rt△DFC中，∠C=60°，
tanC = DF/FC，
∴FC = DF / tan60° = (3√3/2) / √3 = 3/2，
∴BC = BE + EF + FC = 9/2 + 4 + 3/2 = 6 + 4 = 10。
【答案】
10
【知识点】
梯形辅助线作法；解直角三角形；矩形的性质
【点评】
本题是梯形计算的常规题型，核心是通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，再结合特殊角的三角函数值求解，熟练掌握梯形常见辅助线的作法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
9 菱形的两条对角线长分别为$2\sqrt{3}$和6，则菱形较小的内角为
$60°$
。答案
9 $60°$
解析
【分析】解题时首先结合菱形的性质思考：菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组内角，因此两条对角线的一半和菱形的边长可构成直角三角形，菱形内角的一半就是该直角三角形的两个锐角。我们先求出对角线一半的长度，再通过三角函数求出内角的一半，进而得到完整内角，比较大小就能得到较小的内角。
【解析】解：
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线长度的一半分别为：$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$\frac{6}{2}=3$
设菱形较小内角的一半为$α$，则$α$是直角三角形中对边为$\sqrt{3}$、邻边为3的锐角
∴$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$α$为锐角
∴$α=30°$
∴菱形较小的内角为$2α=2×30°=60°$
【答案】$60°$
【知识点】1.菱形的性质 2.特殊角的三角函数值
【点评】本题属于基础几何计算题，解题关键是利用菱形对角线的性质构造直角三角形，将菱形内角的求解转化为直角三角形锐角的求解，熟练掌握相关性质和特殊角三角函数值即可快速作答。
【难度系数】0.7
【解析】解：
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线长度的一半分别为：$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$\frac{6}{2}=3$
设菱形较小内角的一半为$α$，则$α$是直角三角形中对边为$\sqrt{3}$、邻边为3的锐角
∴$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$α$为锐角
∴$α=30°$
∴菱形较小的内角为$2α=2×30°=60°$
【答案】$60°$
【知识点】1.菱形的性质 2.特殊角的三角函数值
【点评】本题属于基础几何计算题，解题关键是利用菱形对角线的性质构造直角三角形，将菱形内角的求解转化为直角三角形锐角的求解，熟练掌握相关性质和特殊角三角函数值即可快速作答。
【难度系数】0.7
10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$。$D$是$BC$的中点，点$E$在边$AB$上，将$△ BDE$沿直线$DE$翻折，使得点$B$落在同一平面内的点$B'$处，线段$B'D$交边$AB$于点$F$，连接$AB'$。当$△ AB'F$是直角三角形时，$BE$的长为________。
答案
10 2 或$\dfrac{40}{17}$
[提示:① $∠ AFB' = 90°$时,可得$∠ BFD = 90°$,则$BF = BD\cos B = \dfrac{16}{5}$。设$BE = x$,则$EF = \dfrac{16}{5} - x$,$B'E = x$,所以$\sin ∠ FB'E = \dfrac{EF}{B'E} = \dfrac{\dfrac{16}{5} - x}{x} = \dfrac{3}{5}$,所以$BE = x = 2$。
② $∠ AB'F = 90°$时,连接$AD$,可得$△ ADC ≌ △ ADB'$,所以$AD$平分$∠ CDB'$,又因为$DE$平分$∠ FDB$,所以$AD ⊥ DE$,则$∠ BDE = ∠ CAD$,过点$E$作$EH ⊥ DB$于点$H$,从而可得$BE = \dfrac{40}{17}$。]
[提示:① $∠ AFB' = 90°$时,可得$∠ BFD = 90°$,则$BF = BD\cos B = \dfrac{16}{5}$。设$BE = x$,则$EF = \dfrac{16}{5} - x$,$B'E = x$,所以$\sin ∠ FB'E = \dfrac{EF}{B'E} = \dfrac{\dfrac{16}{5} - x}{x} = \dfrac{3}{5}$,所以$BE = x = 2$。
② $∠ AB'F = 90°$时,连接$AD$,可得$△ ADC ≌ △ ADB'$,所以$AD$平分$∠ CDB'$,又因为$DE$平分$∠ FDB$,所以$AD ⊥ DE$,则$∠ BDE = ∠ CAD$,过点$E$作$EH ⊥ DB$于点$H$,从而可得$BE = \dfrac{40}{17}$。]
解析
【分析】
本题为翻折变换结合直角三角形存在性的综合题，解题思路如下：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长，得到∠B的正弦、余弦值；其次由于△AB'F为直角三角形，未明确直角顶点，需分类讨论（排除不可能为直角的∠B'AF，仅讨论两种情况：①∠AFB'=90°，②∠AB'F=90°）；最后结合翻折前后对应边相等、对应角相等的性质，分别构造直角三角形，利用三角函数或全等关系列方程求解BE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$，则$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
∵D是BC中点，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$，由翻折性质得：$BE=B'E$，$BD=B'D=4$，$∠B=∠DB'E$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠AFB'=90°$时，此时$∠BFD=∠AFB'=90°$
在$\mathrm{Rt}△BFD$中，$BF=BD·\cos B=4×\frac{4}{5}=\frac{16}{5}$。
设$BE=x$，则$B'E=x$，$EF=BF-BE=\frac{16}{5}-x$。
在$\mathrm{Rt}△B'EF$中，$\sin∠EB'F=\sin B=\frac{EF}{B'E}=\frac{3}{5}$，代入得：
$\frac{\frac{16}{5}-x}{x}=\frac{3}{5}$，解得$x=2$，即$BE=2$。
2. 当$∠AB'F=90°$时，连接$AD$
∵$CD=BD=B'D=4$，$AD=AD$，$∠C=∠AB'D=90°$，
∴$\mathrm{Rt}△ACD≌\mathrm{Rt}△AB'D$（HL），得$∠ADC=∠ADB'$，即AD平分$∠CDB'$。
∵DE是翻折折痕，
∴DE平分$∠BDB'$，则：
$∠ADE=∠ADB'+∠EDB'=\frac{1}{2}(∠CDB'+∠BDB')=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$AD⊥DE$。
∴$∠EDB+∠ADC=90°$，又$∠CAD+∠ADC=90°$，故$∠EDB=∠CAD$，$\tan∠EDB=\tan∠CAD=\frac{CD}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
过E作$EH⊥BC$于H，设$BE=x$，则$EH=BE·\sin B=\frac{3x}{5}$，$BH=BE·\cos B=\frac{4x}{5}$，$DH=BD-BH=4-\frac{4x}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△EDH$中，$\tan∠EDB=\frac{EH}{DH}=\frac{2}{3}$，代入得：
$\frac{\frac{3x}{5}}{4-\frac{4x}{5}}=\frac{2}{3}$，解得$x=\frac{40}{17}$，即$BE=\frac{40}{17}$。
综上，BE的长为2或$\frac{40}{17}$。
【答案】
2或$\dfrac{40}{17}$
【知识点】
翻折的性质、直角三角形分类讨论、解直角三角形
【点评】
本题综合性较强，考查了翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定、三角函数的应用，解题的核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，结合翻折的性质找到边角等量关系列方程求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.3
本题为翻折变换结合直角三角形存在性的综合题，解题思路如下：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长，得到∠B的正弦、余弦值；其次由于△AB'F为直角三角形，未明确直角顶点，需分类讨论（排除不可能为直角的∠B'AF，仅讨论两种情况：①∠AFB'=90°，②∠AB'F=90°）；最后结合翻折前后对应边相等、对应角相等的性质，分别构造直角三角形，利用三角函数或全等关系列方程求解BE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$，则$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
∵D是BC中点，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$，由翻折性质得：$BE=B'E$，$BD=B'D=4$，$∠B=∠DB'E$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠AFB'=90°$时，此时$∠BFD=∠AFB'=90°$
在$\mathrm{Rt}△BFD$中，$BF=BD·\cos B=4×\frac{4}{5}=\frac{16}{5}$。
设$BE=x$，则$B'E=x$，$EF=BF-BE=\frac{16}{5}-x$。
在$\mathrm{Rt}△B'EF$中，$\sin∠EB'F=\sin B=\frac{EF}{B'E}=\frac{3}{5}$，代入得：
$\frac{\frac{16}{5}-x}{x}=\frac{3}{5}$，解得$x=2$，即$BE=2$。
2. 当$∠AB'F=90°$时，连接$AD$
∵$CD=BD=B'D=4$，$AD=AD$，$∠C=∠AB'D=90°$，
∴$\mathrm{Rt}△ACD≌\mathrm{Rt}△AB'D$（HL），得$∠ADC=∠ADB'$，即AD平分$∠CDB'$。
∵DE是翻折折痕，
∴DE平分$∠BDB'$，则：
$∠ADE=∠ADB'+∠EDB'=\frac{1}{2}(∠CDB'+∠BDB')=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$AD⊥DE$。
∴$∠EDB+∠ADC=90°$，又$∠CAD+∠ADC=90°$，故$∠EDB=∠CAD$，$\tan∠EDB=\tan∠CAD=\frac{CD}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
过E作$EH⊥BC$于H，设$BE=x$，则$EH=BE·\sin B=\frac{3x}{5}$，$BH=BE·\cos B=\frac{4x}{5}$，$DH=BD-BH=4-\frac{4x}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△EDH$中，$\tan∠EDB=\frac{EH}{DH}=\frac{2}{3}$，代入得：
$\frac{\frac{3x}{5}}{4-\frac{4x}{5}}=\frac{2}{3}$，解得$x=\frac{40}{17}$，即$BE=\frac{40}{17}$。
综上，BE的长为2或$\frac{40}{17}$。
【答案】
2或$\dfrac{40}{17}$
【知识点】
翻折的性质、直角三角形分类讨论、解直角三角形
【点评】
本题综合性较强，考查了翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定、三角函数的应用，解题的核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，结合翻折的性质找到边角等量关系列方程求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.3
