11 计算下列各式：
(1) $\frac{\cos30° - \tan60°}{1 + \sin30°}$；
(2) $\sin^230° + \cos^245° + \sqrt{2}\sin60° · \tan45°$；
(3) 。

11 (1) $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ (2) $\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ (3) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

【分析】
解题时可分两步处理：①先观察根号内的式子，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，先将其变形为完全平方形式，再根据算术平方根的非负性开方化简；②先准确记忆30°、45°、60°的三角函数值，代入后面的分式部分化简，再将两部分结果合并计算即可，计算过程中注意做好分母有理化。
【解析】
首先回忆特殊角的三角函数值：
$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
第一步：化简根号部分：
$\sqrt{\cos^260° - 2\cos60°·\sin45° + \sin^245°}=\sqrt{(\cos60° - \sin45°)^2}=|\cos60° - \sin45°|$
因为$\cos60°=\frac{1}{2}＜\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，去绝对值得：
$|\cos60° - \sin45°|=\sin45° - \cos60°=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$
第二步：化简分式部分：
$\frac{\sin30°+\cos30°}{4\sin60°-\tan60°}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{4×\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}=\frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}=\frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$
对分式分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$：
$=\frac{(1+\sqrt{3})×\sqrt{3}}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$
第三步：合并两部分结果：
原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6})=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的性质；实数混合运算
【点评】
本题属于三角函数基础运算题，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，同时要注意根号开方时算术平方根的非负性，避免符号错误，分式计算时要做好分母有理化，保证运算准确。
【难度系数】
0.7

12 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的正切与余弦值。

12 正切值为$\dfrac{120}{119}$,余弦值为$\dfrac{119}{169}$。

【分析】
要求等腰三角形顶角∠A的三角函数值，需先将∠A置于直角三角形中求解。首先利用等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高求出三角形面积，再通过面积法求出腰AC上的高，得到包含∠A的直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义分别计算∠A的余弦和正切即可。
【解析】
1. 作辅助线：过点A作$AE⊥ BC$于点E，过点B作$BD⊥ AC$于点D。
$\because AB=AC=13$，$AE⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，E为BC中点，
$\because BC=10$，$\therefore BE=CE=5$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
2. 利用面积法求腰上的高BD：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE=\frac{1}{2}×10×12=60$，
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD$，代入得$\frac{1}{2}×13× BD=60$，解得$BD=\frac{120}{13}$。
3. 在$Rt△ ABD$中求AD的长度：
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-(\frac{120}{13})^2}=\sqrt{\frac{169^2-120^2}{13^2}}=\frac{\sqrt{(169-120)(169+120)}}{13}=\frac{\sqrt{49×289}}{13}=\frac{119}{13}$。
4. 计算∠A的三角函数值：
$\cos∠ A=\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{119}{13}}{13}=\frac{119}{169}$，
$\tan∠ A=\frac{BD}{AD}=\frac{\frac{120}{13}}{\frac{119}{13}}=\frac{120}{119}$。
【答案】
$\tan∠ A=\dfrac{120}{119}$，$\cos∠ A=\dfrac{119}{169}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题核心是通过作辅助线构造含所求角的直角三角形，结合等腰三角形性质和面积法求解线段长度，再代入三角函数定义计算，考查了几何问题中的转化思想。
【难度系数】
0.65

13 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点D在BC上，$BD=4$，$AD=BC$，$\cos∠ ADC=\frac{3}{5}$。
求：(1) DC的长。
(2) $\sin B$的值。

13 (1) 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$∠ C=90°$,所以$\cos∠ ADC=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{3}{5}$。设$CD=3x$,则$AD=5x$,$AC=\sqrt{AD^2-DC^2}=4x$。因为$AD=BC$,所以$5x=4+3x$,解得$x=2$,所以$DC=3x=6$。
(2) 由(1)可知$DC=6$,$AC=4x=8$,所以$BC=4+6=10$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{41}$,所以$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{2\sqrt{41}}=\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$。

【分析】
(1) 求解DC的长时，首先观察到∠C=90°，在Rt△ADC中，已知cos∠ADC的值，根据余弦的定义可得CD与AD的比值关系，因此可以设参数x表示CD和AD的长度；再结合已知AD=BC，而BC=BD+DC，即可建立关于x的方程，解方程求出x后代入就能得到DC的长度。
(2) 求解sinB的值时，根据正弦的定义，在Rt△ABC中，sinB为∠B的对边AC与斜边AB的比值，因此先通过第一问的结果求出AC、BC的长度，再用勾股定理求出AB的长度，最后代入比值化简即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，由余弦的定义得$\cos∠ ADC=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{3}{5}$。
设$CD=3x$，则$AD=5x$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2-DC^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$。
因为$AD=BC$，且$BC=BD+CD=4+3x$，所以$5x=4+3x$，解得$x=2$，因此$DC=3x=3×2=6$。
(2) 由(1)可知$x=2$，所以$AC=4x=4×2=8$，$BC=AD=5x=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$。
根据正弦的定义，$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{2\sqrt{41}}=\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$。
【答案】
(1) $DC=6$；(2) $\sin B=\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的核心是利用三角函数的定义建立线段的比例关系，结合参数法和方程思想求解线段长度，计算三角函数值时注意结果要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.7