13 已知，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，△AED与以点A、B、C为顶点的三角形相似，AD=1，BD=2，AC=2，求AE的长。

13 因为$AD=1$,$BD=2$,所以$AB=3$。
当$△ AED ∽ △ ACB$时,$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,所以$\frac{1}{3}=\frac{AE}{2}$,$AE=\frac{2}{3}$。
当$△ AED ∽ △ ABC$时,$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,所以$\frac{1}{2}=\frac{AE}{3}$,$AE=\frac{3}{2}$。

14 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD＜BC,AB=CD=8,AD=6,点E在边CD上,AE与BD相交于点F,∠EAD=∠ABD。
(1) 求证:△ADE ∽△BAD。
(2) 设BD=x,EF=y,求y关于x的表达式,并写出x的取值范围。
(3) 当BF=9时,求BC的长。

14 (1) 因为$AD // BC$,$AB=CD$,延长$BA$、$CD$交于点$H$,可证$∠ BAD = ∠ CDA$。又因为$∠ EAD = ∠ ABD$,所以$△ ADE ∽ △ BAD$。
(2) 因为$△ ADE ∽ △ BAD$,所以$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{AE}$,$\frac{8}{6}=\frac{x}{AE}$,即$AE=\frac{3x}{4}$。因为$∠ EAD = ∠ ABD$,$∠ ADF = ∠ BDA$,所以$△ ADF ∽ △ BDA$,所以$\frac{AF}{AB}=\frac{AD}{BD}$,$\frac{AF}{8}=\frac{6}{x}$即$AF=\frac{48}{x}$。因为$EF=AE-AF$,所以$y=\frac{3x}{4}-\frac{48}{x}(10 ＜ x ＜ 14)$。
(3) 如图,延长$AE$、$BC$交于点$G$。因为$△ ADF ∽ △ BDA$,所以$\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{DB}$,所以$DF=3$,$DB=12$。因为$△ ADE ∽ △ BAD$,所以$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{DE}{6}=\frac{6}{8}$,所以$DE=4.5$。因为$AD // CG$,$CD=8$,所以$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{CE}$,$\frac{6}{CG}=\frac{4.5}{8-4.5}$,即$CG=\frac{14}{3}$。因为$AD // BG$,所以$\frac{AD}{BG}=\frac{DF}{BF}$,$\frac{6}{BC+\frac{14}{3}}=\frac{3}{9}$,解得$BC=\frac{40}{3}$。