13 已知，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，△AED与以点A、B、C为顶点的三角形相似，AD=1，BD=2，AC=2，求AE的长。

13 因为$AD=1$,$BD=2$,所以$AB=3$。
当$△ AED ∽ △ ACB$时,$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,所以$\frac{1}{3}=\frac{AE}{2}$,$AE=\frac{2}{3}$。
当$△ AED ∽ △ ABC$时,$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$,所以$\frac{1}{2}=\frac{AE}{3}$,$AE=\frac{3}{2}$。

【分析】
解题时首先先根据已知线段长度求出AB的总长，由于题目仅说明△AED与以A、B、C为顶点的三角形相似，未明确对应顶点的对应关系，因此需要分两种对应情况讨论：第一种是△AED对应△ACB，第二种是△AED对应△ABC，再结合相似三角形对应边成比例的性质分别列比例式求解AE的长度即可。
【解析】
解：
∵AD=1，BD=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3。
①当$△ AED ∽ △ ACB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
代入数值得$\frac{1}{3}=\frac{AE}{2}$，解得$AE=\frac{2}{3}$。
②当$△ AED ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
代入数值得$\frac{1}{2}=\frac{AE}{3}$，解得$AE=\frac{3}{2}$。
【答案】
AE的长为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质 2. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形未明确对应顶点时需要分类讨论，解题时要注意找准不同对应关系下的对应边，正确列出比例式，避免漏解。
【难度系数】
0.6

14 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD＜BC,AB=CD=8,AD=6,点E在边CD上,AE与BD相交于点F,∠EAD=∠ABD。
(1) 求证:△ADE ∽△BAD。
(2) 设BD=x,EF=y,求y关于x的表达式,并写出x的取值范围。
(3) 当BF=9时,求BC的长。

14 (1) 因为$AD // BC$,$AB=CD$,延长$BA$、$CD$交于点$H$,可证$∠ BAD = ∠ CDA$。又因为$∠ EAD = ∠ ABD$,所以$△ ADE ∽ △ BAD$。
(2) 因为$△ ADE ∽ △ BAD$,所以$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{AE}$,$\frac{8}{6}=\frac{x}{AE}$,即$AE=\frac{3x}{4}$。因为$∠ EAD = ∠ ABD$,$∠ ADF = ∠ BDA$,所以$△ ADF ∽ △ BDA$,所以$\frac{AF}{AB}=\frac{AD}{BD}$,$\frac{AF}{8}=\frac{6}{x}$即$AF=\frac{48}{x}$。因为$EF=AE-AF$,所以$y=\frac{3x}{4}-\frac{48}{x}(10 ＜ x ＜ 14)$。
(3) 如图,延长$AE$、$BC$交于点$G$。因为$△ ADF ∽ △ BDA$,所以$\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{DB}$,所以$DF=3$,$DB=12$。因为$△ ADE ∽ △ BAD$,所以$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{DE}{6}=\frac{6}{8}$,所以$DE=4.5$。因为$AD // CG$,$CD=8$,所以$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{CE}$,$\frac{6}{CG}=\frac{4.5}{8-4.5}$,即$CG=\frac{14}{3}$。因为$AD // BG$,所以$\frac{AD}{BG}=\frac{DF}{BF}$,$\frac{6}{BC+\frac{14}{3}}=\frac{3}{9}$,解得$BC=\frac{40}{3}$。

【分析】
(1) 要证△ADE∽△BAD，首先由AD//BC、AB=CD可知四边形ABCD是等腰梯形，可得∠BAD=∠ADE，再结合已知∠EAD=∠ABD，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证。
(2) 求y与x的函数关系式，先利用(1)的相似三角形对应边成比例求出AE的长度；再由∠EAD=∠ABD、公共角∠ADF=∠BDA，证△ADF∽△BDA，求出AF的长度，根据EF=AE-AF即可得到y的表达式；x的取值范围结合等腰梯形中∠BAD为钝角，得BD＞√(AB²+AD²)=10，再结合三角形三边关系BD＜AB+AD=14，即可确定范围。
(3) 当BF=9时，先由△ADF∽△BDA的比例关系求出DF和BD的长度；再用(1)的相似关系求出DE的长度，得到CE的长度；作辅助线延长AE交BC延长线于G，利用平行线分线段成比例先求CG的长度，再由AD//BG的比例关系求BG的长度，最后BC=BG-CG即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AD//BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠ADE。
又
∵∠EAD=∠ABD，
∴△ADE∽△BAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵△ADE∽△BAD，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{AE}$，
代入AB=8，AD=6，BD=x，得$\frac{8}{6}=\frac{x}{AE}$，解得$AE=\frac{3x}{4}$。
∵∠EAD=∠ABD，∠ADF=∠BDA（公共角），
∴△ADF∽△BDA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AD}{BD}$，代入得$\frac{AF}{8}=\frac{6}{x}$，解得$AF=\frac{48}{x}$。
∵EF=AE-AF，EF=y，
∴$y=\frac{3x}{4}-\frac{48}{x}$。
在等腰梯形ABCD中，AD＜BC，
∴∠BAD为钝角，
∴BD²＞AB²+AD²=8²+6²=100，即BD＞10，
又
∵在△ABD中，BD＜AB+AD=8+6=14，
∴x的取值范围是$10＜x＜14$。
(3) 解：
∵△ADF∽△BDA，
∴$\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{DB}$，即$AD²=DF·DB$。
设DF=m，
∵BF=9，
∴DB=BF+DF=9+m，
代入AD=6得$6²=m(9+m)$，整理得$m²+9m-36=0$，
解得$m=3$（$m=-12$为负舍去），
∴DF=3，DB=12。
∵△ADE∽△BAD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DE}{6}=\frac{6}{8}$，解得$DE=4.5$，
∴CE=CD-DE=8-4.5=3.5。
延长AE、BC交于点G，
∵AD//CG，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{CE}$，代入得$\frac{6}{CG}=\frac{4.5}{3.5}$，解得$CG=\frac{14}{3}$。
∵AD//BG，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{DF}{BF}$，代入得$\frac{6}{BG}=\frac{3}{9}$，解得$BG=18$。
∴$BC=BG-CG=18-\frac{14}{3}=\frac{40}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $y=\frac{3x}{4}-\frac{48}{x}(10 ＜ x ＜ 14)$；
(3) $BC=\frac{40}{3}$。

【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查了等腰梯形性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的应用，解题时需结合已知条件逐步推导，合理寻找相似三角形是解题基础，第三问通过作辅助线构造平行线转化比例关系是解题关键，能较好地考查几何综合分析和运算能力。
【难度系数】
0.6