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⑩ 如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上，且∠CAD=∠B，∠DEB=∠C，AC=4，AB=10，BC=8，则DE=
$\frac{12}{5}$
。答案
10 $\frac{12}{5}$ [提示:因为$∠ CAD = ∠ B$,所以可证$△ ACD ∽ △ BCA$,所以$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AB}$,所以$\frac{CD}{4}=\frac{AD}{8}=\frac{AD}{10}$,所以$CD=2$,$AD=5$。因为$∠ CAD = ∠ B$,$∠ C = ∠ DEB$,所以$△ ACD ∽ △ BED$,所以$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{BD}$,所以$\frac{2}{DE}=\frac{5}{6}$,$DE=\frac{12}{5}$。]
解析
【分析】
解题时先从已知的等角条件入手，首先观察到∠CAD=∠B，且∠C是△ACD和△BCA的公共角，可先证明这两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出CD、AD的长度，进而得到BD的长；再结合另一组等角条件∠DEB=∠C，结合已有的∠CAD=∠B，证明△ACD与△BED相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长度。
【解析】
1. 证明△ACD∽△BCA：
在△ACD和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C（公共角）\\∠CAD=∠B（已知）\end{array} $
∴△ACD∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AB}$
代入AC=4，BC=8，AB=10：
由$\frac{CD}{4}=\frac{4}{8}$，解得$CD=\frac{4×4}{8}=2$；
由$\frac{AD}{10}=\frac{4}{8}$，解得$AD=\frac{4×10}{8}=5$；
则$BD=BC-CD=8-2=6$。
2. 证明△ACD∽△BED：
在△ACD和△BED中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠B（已知）\\∠C=∠DEB（已知）\end{array} $
∴△ACD∽△BED（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{BD}$
代入CD=2，AD=5，BD=6：
$\frac{2}{DE}=\frac{5}{6}$
解得$DE=\frac{2×6}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是利用已知的等角条件找到两组相似三角形，先通过第一组相似求解出过渡线段的长度，再借助第二组相似列比例式求出目标线段，解题时需注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等角条件入手，首先观察到∠CAD=∠B，且∠C是△ACD和△BCA的公共角，可先证明这两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出CD、AD的长度，进而得到BD的长；再结合另一组等角条件∠DEB=∠C，结合已有的∠CAD=∠B，证明△ACD与△BED相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长度。
【解析】
1. 证明△ACD∽△BCA：
在△ACD和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C（公共角）\\∠CAD=∠B（已知）\end{array} $
∴△ACD∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AB}$
代入AC=4，BC=8，AB=10：
由$\frac{CD}{4}=\frac{4}{8}$，解得$CD=\frac{4×4}{8}=2$；
由$\frac{AD}{10}=\frac{4}{8}$，解得$AD=\frac{4×10}{8}=5$；
则$BD=BC-CD=8-2=6$。
2. 证明△ACD∽△BED：
在△ACD和△BED中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠B（已知）\\∠C=∠DEB（已知）\end{array} $
∴△ACD∽△BED（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{BD}$
代入CD=2，AD=5，BD=6：
$\frac{2}{DE}=\frac{5}{6}$
解得$DE=\frac{2×6}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是利用已知的等角条件找到两组相似三角形，先通过第一组相似求解出过渡线段的长度，再借助第二组相似列比例式求出目标线段，解题时需注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$，垂足为点$D$。
求证：$△ ABD ∽ △ CAD$。
求证：$△ ABD ∽ △ CAD$。
答案
11 因为$∠ BAC=90°$,$AD ⊥ BC$,所以$∠ BAD + ∠ DAC=90°$,$∠ DAC + ∠ C=90°$,所以$∠ BAD = ∠ C$。因为$∠ BDA = ∠ ADC=90°$,所以$△ ABD ∽ △ CAD$。
解析
【分析】
要证明△ABD∽△CAD，可使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先观察两个三角形，由AD⊥BC可知二者都有直角，已经有一组对应角相等，接下来只需再推导一组锐角相等即可：已知∠BAC=90°，可得∠BAD和∠C都与∠DAC互余，根据同角的余角相等就能得到∠BAD=∠C，两组对应角相等即可完成相似证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴ ∠BAD + ∠DAC=90°，∠DAC + ∠C=90°，
∴ ∠BAD = ∠C，
又
∵ ∠BDA = ∠ADC=90°，
∴ △ABD ∽ △CAD。
【答案】
△ABD∽△CAD，得证。
【知识点】
相似三角形的判定；同角的余角相等；直角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心是利用角的互余关系推导相等的对应角，掌握两角对应相等的三角形相似判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD∽△CAD，可使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先观察两个三角形，由AD⊥BC可知二者都有直角，已经有一组对应角相等，接下来只需再推导一组锐角相等即可：已知∠BAC=90°，可得∠BAD和∠C都与∠DAC互余，根据同角的余角相等就能得到∠BAD=∠C，两组对应角相等即可完成相似证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴ ∠BAD + ∠DAC=90°，∠DAC + ∠C=90°，
∴ ∠BAD = ∠C，
又
∵ ∠BDA = ∠ADC=90°，
∴ △ABD ∽ △CAD。
【答案】
△ABD∽△CAD，得证。
【知识点】
相似三角形的判定；同角的余角相等；直角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心是利用角的互余关系推导相等的对应角，掌握两角对应相等的三角形相似判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接DE，求证：AB·AE=AC·AD。
答案
12 因为$BD ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,所以$∠ A + ∠ ABD=90°$,$∠ A + ∠ ACE=90°$,所以$∠ ABD = ∠ ACE$。因为$∠ A$是公共角,所以$△ ABD ∽ △ ACE$,所以$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$,所以$AB · AE = AC · AD$。
解析
【分析】
要证明等积式$AB·AE=AC·AD$，通常先将等积式转化为比例式$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，只需证明包含这些线段的$△ ABD$和$△ ACE$相似即可。结合已知$BD⊥AC$、$CE⊥AB$可得两个三角形均含直角，又有公共角$∠ A$，满足两角分别相等的相似判定条件，证明三角形相似后得到对应边成比例，交叉相乘即可得到待证等积式。
【解析】
证明：$\because BD⊥AC$，$CE⊥AB$，
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABD=90°$，$∠ A + ∠ ACE=90°$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACE$。
又$\because ∠ A$是$△ ABD$和$△ ACE$的公共角，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
交叉相乘得：$AB · AE = AC · AD$。
【答案】
$AB · AE = AC · AD$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等积式与比例式转化
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是掌握“等积式转比例式、再通过证明三角形相似推导比例关系”的常规思路，熟练运用两角分别相等判定三角形相似的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明等积式$AB·AE=AC·AD$，通常先将等积式转化为比例式$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，只需证明包含这些线段的$△ ABD$和$△ ACE$相似即可。结合已知$BD⊥AC$、$CE⊥AB$可得两个三角形均含直角，又有公共角$∠ A$，满足两角分别相等的相似判定条件，证明三角形相似后得到对应边成比例，交叉相乘即可得到待证等积式。
【解析】
证明：$\because BD⊥AC$，$CE⊥AB$，
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABD=90°$，$∠ A + ∠ ACE=90°$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACE$。
又$\because ∠ A$是$△ ABD$和$△ ACE$的公共角，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
交叉相乘得：$AB · AE = AC · AD$。
【答案】
$AB · AE = AC · AD$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等积式与比例式转化
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是掌握“等积式转比例式、再通过证明三角形相似推导比例关系”的常规思路，熟练运用两角分别相等判定三角形相似的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
