⑩ 如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上，且∠CAD=∠B，∠DEB=∠C，AC=4，AB=10，BC=8，则DE=。

10 $\frac{12}{5}$ [提示:因为$∠ CAD = ∠ B$,所以可证$△ ACD ∽ △ BCA$,所以$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AB}$,所以$\frac{CD}{4}=\frac{AD}{8}=\frac{AD}{10}$,所以$CD=2$,$AD=5$。因为$∠ CAD = ∠ B$,$∠ C = ∠ DEB$,所以$△ ACD ∽ △ BED$,所以$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{BD}$,所以$\frac{2}{DE}=\frac{5}{6}$,$DE=\frac{12}{5}$。]

11 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$，垂足为点$D$。
求证：$△ ABD ∽ △ CAD$。

11 因为$∠ BAC=90°$,$AD ⊥ BC$,所以$∠ BAD + ∠ DAC=90°$,$∠ DAC + ∠ C=90°$,所以$∠ BAD = ∠ C$。因为$∠ BDA = ∠ ADC=90°$,所以$△ ABD ∽ △ CAD$。

12 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接DE，求证：AB·AE=AC·AD。

12 因为$BD ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,所以$∠ A + ∠ ABD=90°$,$∠ A + ∠ ACE=90°$,所以$∠ ABD = ∠ ACE$。因为$∠ A$是公共角,所以$△ ABD ∽ △ ACE$,所以$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$,所以$AB · AE = AC · AD$。