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八
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二
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苏
10.「2026江苏宿迁宿城期中，★☆」如图，$△ ABC$是直角三角形($∠ ABC=90°$)，且$AB=4$，$BC=3$，边$AB$的端点$A$，$B$分别在$∠ MON$的两边$OM$，$ON$上滑动，$∠ MON=90°$，连接$OC$，则线段$OC$的最大值是
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八
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二
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苏
10.「2026江苏宿迁宿城期中，★☆」如图，$△ ABC$是直角三角形($∠ ABC=90°$)，且$AB=4$，$BC=3$，边$AB$的端点$A$，$B$分别在$∠ MON$的两边$OM$，$ON$上滑动，$∠ MON=90°$，连接$OC$，则线段$OC$的最大值是
2+√13
。答案
10.答案 2+√13
解析 如图,取AB的中点D,连接CD,OD,
∵ △ABC是直角三角形(∠ABC=90°),且AB=4,BC=3,∠MON=90°,
∴ OD=BD=1/2 AB=2,在Rt△DBC中,CD=√(BC²+BD²)=√(3²+2²)=√13,
∵ OC≤OD+CD,
∴ 当O,D,C三点共线时,OC取得最大值,
∴ OC的最大值为OD+CD=2+√13.
11. 学科特色
方程思想
「2026江苏无锡江南中学期中，★☆」如图，一张等腰直角三角形纸片，其中$∠ C=90°$，斜边$AB=6$，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，则AE的长度为
方程思想
「2026江苏无锡江南中学期中，★☆」如图，一张等腰直角三角形纸片，其中$∠ C=90°$，斜边$AB=6$，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，则AE的长度为
5/2
。答案
11.答案 5/2
解析 如图,过点D作DH⊥AB于点H,
∵ △ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,
∴ AC=BC,∠B=∠A=45°,
∴ △BDH是等腰直角三角形,
∴ DH=BH,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC²+BC²=AB²,即2BC²=AB²,
∴ 2BC²=6²=36,
∴ BC²=18,
∴ BC=√18,
∵ 点D是BC的中点,
∴ BD=1/2 BC=√18/2,在Rt△BDH中,由勾股定理得BH²+DH²=BD²,
∴ 2DH²=BD²=18/4=9/2,
∴ BH=DH=3/2,由折叠的性质得AE=DE,设AE=DE=x,则EH=AB-AE-BH=6 -x -3/2 = 9/2 -x,在Rt△DEH中,由勾股定理得EH²+DH²=DE²,即(9/2 -x)² + (3/2)² =x²,解得x=5/2.故AE的长度为5/2.
12.「2025四川成都锦江期末，★☆」已知:如图,在△ABC中,AB=13,AC=5,△ABC的周长为30.
(1)证明:△ABC是直角三角形.
(2)过点C作CD⊥AB于点D,点E为AB边上的一点,且CE=BE,过点E作EF⊥AB交∠ACB的平分线于点F.
①证明:∠DCF=∠ECF.
②求线段EF的长.
(1)证明:△ABC是直角三角形.
(2)过点C作CD⊥AB于点D,点E为AB边上的一点,且CE=BE,过点E作EF⊥AB交∠ACB的平分线于点F.
①证明:∠DCF=∠ECF.
②求线段EF的长.
答案
12.解析 (1)证明:
∵ AB=13,AC=5,△ABC的周长为30,
∴ BC=30-13-5=12,
∵ AC²+BC²=5²+12²=169,AB²=169,
∴ AC²+BC²=AB²,
∴ △ABC是直角三角形.
(2)①证明:由(1)可知∠ACB=90°,
∵ CD⊥AB于点D,
∴ ∠ADC=90°,
∴ ∠ACD=∠B=90°-∠A,
∵ CE=BE,
∴ ∠BCE=∠B,
∴ ∠ACD=∠BCE,
∵ CF是∠ACB的平分线,
∴ ∠ACF=∠BCF,
∴ ∠ACF-∠ACD=∠BCF-∠BCE,
∴ ∠DCF=∠ECF.
②
∵ ∠ACE+∠BCE=90°,∠A+∠B=90°,且∠BCE=∠B,
∴ ∠ACE=∠A,
∴ CE=AE=BE=1/2 AB=13/2,
∵ CD⊥AB,EF⊥AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠DCF=∠F,
∵ ∠DCF=∠ECF,
∴ ∠F=∠ECF,
∴ EF=CE=13/2,
∴ 线段EF的长为13/2.
∵ AB=13,AC=5,△ABC的周长为30,
∴ BC=30-13-5=12,
∵ AC²+BC²=5²+12²=169,AB²=169,
∴ AC²+BC²=AB²,
∴ △ABC是直角三角形.
(2)①证明:由(1)可知∠ACB=90°,
∵ CD⊥AB于点D,
∴ ∠ADC=90°,
∴ ∠ACD=∠B=90°-∠A,
∵ CE=BE,
∴ ∠BCE=∠B,
∴ ∠ACD=∠BCE,
∵ CF是∠ACB的平分线,
∴ ∠ACF=∠BCF,
∴ ∠ACF-∠ACD=∠BCF-∠BCE,
∴ ∠DCF=∠ECF.
②
∵ ∠ACE+∠BCE=90°,∠A+∠B=90°,且∠BCE=∠B,
∴ ∠ACE=∠A,
∴ CE=AE=BE=1/2 AB=13/2,
∵ CD⊥AB,EF⊥AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠DCF=∠F,
∵ ∠DCF=∠ECF,
∴ ∠F=∠ECF,
∴ EF=CE=13/2,
∴ 线段EF的长为13/2.
13. 核心素养 几何直观 我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1) 如图1,已知格点(小正方形的顶点)O,A,B,若M为格点,请直接画出所有以OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB.
(2) 如图2,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连接AD,DC,∠DCB = 30°,求证: $DC^2 + BC^2 = AC^2$,即四边形ABCD是勾股四边形.
(3) 如图3,在四边形ABCD中,△BCD为等边三角形,AB=6,AD=8,∠DAB=30°,求AC的长.
(1) 如图1,已知格点(小正方形的顶点)O,A,B,若M为格点,请直接画出所有以OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB.
(2) 如图2,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连接AD,DC,∠DCB = 30°,求证: $DC^2 + BC^2 = AC^2$,即四边形ABCD是勾股四边形.
(3) 如图3,在四边形ABCD中,△BCD为等边三角形,AB=6,AD=8,∠DAB=30°,求AC的长.
答案
13.解析 (1)如图1,勾股四边形OAMB即为所求.
(2)证明:连接CE,如图2,
∵ △ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,
∴ AC=DE,BC=BE,∠CBE=60°,
∴ △BCE是等边三角形,
∴ EC=BC,∠BCE=60°,
∵ ∠DCB=30°,
∴ ∠DCE=90°,
∴ DC²+EC²=DE²,
∴ DC²+BC²=AC²,
即四边形ABCD是勾股四边形.
(3)如图3,将△ABC绕顶点B按逆时针方向旋转60°,使点C与点D重合,得到△EBD,连接AE,
∴ AB=BE,AC=DE,∠ABE=60°,
∴ △ABE是等边三角形,
∴ BE=AE=AB,∠BAE=60°,
∵ ∠DAB=30°,
∴ ∠DAE=∠DAB+∠BAE=30°+60°=90°,
∴ △DAE为直角三角形,
∴ DE²=AD²+AE²,即AC²=AD²+AB²,
∴ AC²=8²+6²,
∴ AC=10.
