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1.「2026江苏常州期中」如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=5.将纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 (
A.$\frac{11}{3}$
B.$\frac{16}{5}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{17}{5}$
D
)A.$\frac{11}{3}$
B.$\frac{16}{5}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{17}{5}$
答案
1.D 根据折叠的性质,可知AB=AD,ED=EC,
∴ ∠ADB = ∠B,∠EDC=∠C,
∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠B+∠C=90°,
∴ ∠ADB+∠EDC=90°,
∴ ∠ADE=90°,设AE=x,
∵ AB=3,AC=5,
∴ AD=3,CE=5-x,
∴ ED=5-x, 在Rt△ADE中,根据勾股定理,得3²+(5-x)²=x², 解得x=$\frac{17}{5}$,
∴ AE=$\frac{17}{5}$.
∴ ∠ADB = ∠B,∠EDC=∠C,
∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠B+∠C=90°,
∴ ∠ADB+∠EDC=90°,
∴ ∠ADE=90°,设AE=x,
∵ AB=3,AC=5,
∴ AD=3,CE=5-x,
∴ ED=5-x, 在Rt△ADE中,根据勾股定理,得3²+(5-x)²=x², 解得x=$\frac{17}{5}$,
∴ AE=$\frac{17}{5}$.
2.「2026 江苏南京玄武月考」在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AC=8,BC=6$，沿 $AB$ 的垂线 $DE$ 折叠 $△ ABC$。
(1)如图 1，若点 $A$ 落在点 $B$ 处，求 $AD$ 的长。
(2)如图 2，若点 $A$ 落在 $AB$ 的延长线的点 $F$ 处，$AD$ 折叠后与 $CB$ 交于点 $G$，且 $CG=BG$，求 $AD$ 的长。
(1)如图 1，若点 $A$ 落在点 $B$ 处，求 $AD$ 的长。
(2)如图 2，若点 $A$ 落在 $AB$ 的延长线的点 $F$ 处，$AD$ 折叠后与 $CB$ 交于点 $G$，且 $CG=BG$，求 $AD$ 的长。
答案
2.解析 (1)设AD=x,则CD=8-x,
由折叠的性质得,BD=AD=x,
在Rt△BCD中,CD²+BC²=BD²,
∴ (8-x)²+6²=x²,解得x=$\frac{25}{4}$,
∴ AD=$\frac{25}{4}$.
(2)如图,过点B作BH⊥BC交DF于点H,则∠HBG= 90°=∠C,
∴ AC//BH,
∴ ∠FBH=∠A,
∵ ∠HBG = ∠C, BG = CG, ∠BGH = ∠CGD,
∴ △BGH≌△CGD(ASA),
∴ BH=CD,DG=HG,设BH=CD=x,则 AD=8-x,由折叠的性质得,DF=AD= 8-x,∠F=∠A,
∴ ∠F=∠FBH,
∴ FH=BH=x,
∴ DH= DF-HF=8-x-x=8-2x,
∵ DG=HG,
∴ DG=$\frac{1}{2}$DH=4-x,
∵ CG=BG,BC=6,
∴ CG=3,在Rt△DCG中,CD²+ CG²=DG²,
∴ x²+3²=(4-x)²,解得x=$\frac{7}{8}$,
∴ AD=8-$\frac{7}{8}$=$\frac{57}{8}$.
3.「2026江苏徐州新沂期中」如图,将长方形ABCD沿着AE折叠,点D落在BC边上的点F处,已知CE=3,CF=4,则AD的长为（
A.6
B.7
C.8
D.10
D
）A.6
B.7
C.8
D.10
答案
3.D
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ ∠B=∠C=90°,AD=BC,AB=CD,
在Rt△CEF中,CE=3,CF=4,
∴ EF=$\sqrt{3^2+4^2}$=5,
由折叠的性质得,AF=AD=BC,DE=EF=5,
∴ AB=CD=DE+CE=8,
设AD=AF=BC=x,则BF=x-4,
在Rt△ABF中,AF²=AB²+BF²,
∴ x²=8²+(x-4)²,解得x=10,
∴ AD=10.
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ ∠B=∠C=90°,AD=BC,AB=CD,
在Rt△CEF中,CE=3,CF=4,
∴ EF=$\sqrt{3^2+4^2}$=5,
由折叠的性质得,AF=AD=BC,DE=EF=5,
∴ AB=CD=DE+CE=8,
设AD=AF=BC=x,则BF=x-4,
在Rt△ABF中,AF²=AB²+BF²,
∴ x²=8²+(x-4)²,解得x=10,
∴ AD=10.
4.「2026江苏省外国语学校期中」如图,在长方形ABCD中,BC=2,DC=1,如果将该长方形沿对角线BD折叠,使点C落在点F处,那么图中阴影部分的面积是
$\frac{3}{8}$
.答案
4.答案 $\frac{3}{8}$
解析
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ ∠C=90°,AD//BC,AD=BC=2,
∴ ∠EDB=∠DBC,由折叠的性质得, BF = BC = AD = 2, ∠EBD = ∠DBC, DF = DC = 1,
∴ ∠EBD=∠EDB,
∴ BE=DE,设EF=x,则DE=BE= 2-x,在Rt△DEF中,DE²=DF²+EF²,
∴ (2-x)²=1²+x²,解得x=$\frac{3}{4}$,
∴ $S_{△DEF}$=$\frac{1}{2}$EF·DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×1=$\frac{3}{8}$.
解析
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ ∠C=90°,AD//BC,AD=BC=2,
∴ ∠EDB=∠DBC,由折叠的性质得, BF = BC = AD = 2, ∠EBD = ∠DBC, DF = DC = 1,
∴ ∠EBD=∠EDB,
∴ BE=DE,设EF=x,则DE=BE= 2-x,在Rt△DEF中,DE²=DF²+EF²,
∴ (2-x)²=1²+x²,解得x=$\frac{3}{4}$,
∴ $S_{△DEF}$=$\frac{1}{2}$EF·DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×1=$\frac{3}{8}$.
5.如图,长方形纸片ABCD的边长AB=8,AD=4.将长方形纸片沿EF折叠,使点A与点C重合.
(1)求FG的长.
(2)求图中阴影部分的面积.
(1)求FG的长.
(2)求图中阴影部分的面积.
答案
5.解析 (1)由折叠的性质得,FG=FD,CG=AD=4,
设FG=FD=x,则FC=8-x,
在Rt△FGC中,FG²+CG²=FC²,
∴ x²+4²=(8-x)²,解得x=3,
∴ FG=3.
(2)由(1)知,FG=3,
∴ FC=5,
∴ $S_{△EFC}$=$\frac{1}{2}$FC·AD=$\frac{1}{2}$×5×4=10,
由折叠的性质得,$S_{四边形EFGC}$=$S_{四边形EFDA}$,
∴ $S_{阴影部分}$=$S_{四边形EFGC}$+$S_{△BEC}$=$S_{长方形ABCD}$-$S_{△EFC}$=8×4-10=32-10=22.
设FG=FD=x,则FC=8-x,
在Rt△FGC中,FG²+CG²=FC²,
∴ x²+4²=(8-x)²,解得x=3,
∴ FG=3.
(2)由(1)知,FG=3,
∴ FC=5,
∴ $S_{△EFC}$=$\frac{1}{2}$FC·AD=$\frac{1}{2}$×5×4=10,
由折叠的性质得,$S_{四边形EFGC}$=$S_{四边形EFDA}$,
∴ $S_{阴影部分}$=$S_{四边形EFGC}$+$S_{△BEC}$=$S_{长方形ABCD}$-$S_{△EFC}$=8×4-10=32-10=22.
