1.「2026江苏南京期中」如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,若$P$,$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值为.

答案 2.4
解析 如图,作点 Q 关于 AD 的对称点 Q',连接 PQ',CQ',过点 C 作 CH⊥AB 于点 H.
∵ AD 平分∠BAC,Q 与 Q'关于AD 对称,
∴ 点 Q'在 AB 上,
∵ PC+PQ = PC + PQ' ≥ CQ' ≥ CH,
∴ PC+PQ 的最小值为 CH 的长.
∵ AC=3,BC=4,AB=5,$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$,
∴ CH=2.4,
∴ PC+PQ 的最小值为 2.4.

2.(1)探究:如图①,点 P,Q 为△ABC 的边 AB,AC上的两定点,在 BC 上求作一点 M,使△PQM的周长最小.
(2)应用:如图②,在长方形 ABCD 中,AB=6,AD=8,点 E,F 分别为边 AB,AD 的中点,点 M,N 分别为 BC,CD 上的动点,求四边形 EFNM周长的最小值.
(3)拓展:如图③,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 D 在 BC 上,BD=3,DC=1,点 P 是AB 上的动点,试求 PC+PD 的最小值.

(1)如图①所示,作点 P 关于 BC 的对称点 P',连接 P'Q,交 BC 于点 M,连接 PQ,PM,则 PM=P'M,此时△PQM 的周长最小,为 PQ+PM+QM = PQ+P'M+QM=PQ+P'Q,
∴ 点 M 即为所求.

(2)如图②所示,作点 E 关于 BC 的对称点 E',作点 F 关于 CD 的对称点 F',连接 E'F',交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,连接 EM,FN,则 EM=E'M,FN=F'N,
∴ EF+EM+MN+FN=EF+E'M+MN+F'N=EF+E'F',
∴ 此时四边形 EFNM 的周长最小,最小值为 EF+E'F' 的值.
∵ AB=6,AD=8,点 E,F 分别为边 AB,AD 的中点,
∴ AE'=6+3=9,AF'=8+4=12,
∴ 在 Rt△AE'F' 中,由勾股定理得 $E'F'=\sqrt{9^2+12^2}=15$.
∵ 在 Rt△AEF 中,EF=$\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴ 四边形 EFNM 的周长的最小值为 EF+E'F'=5+15=20.

(3)如图③,过点 C 作 CO⊥AB 于点 O,延长 CO 到点 C',使 OC'=OC,则点 C' 是 C 关于 AB 的对称点,连接 DC',交 AB 于点 P,连接 CP,此时 PD+PC=PD+PC'=DC',值最小.
∵ BD=3,DC=1,
∴ BC=4.连接 BC',由对称性可知∠C'BA=∠CBA=45°,BC=BC'=4,
∴ ∠CBC'=90°,
∴ 在 Rt△C'BD 中,由勾股定理得 $DC'=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴ PC+PD 的最小值为 5.

3.「2026江苏无锡梁溪期中」如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和2 cm，高为3 cm，点P在BC上，BP=$\frac{1}{3}$BC.现在用一根细线按如图所示的方式从点A开始经过3个侧面连接到点P，那么所用细线最短为cm.

答案 $\sqrt{20}$
解析 如图,将长方体部分展开,连接 AP,
由题意知 AC=1+2+1=4(cm),$PC=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}×3=2$(cm),根据两点之间,线段最短,可知所用细线最短为 AP 的长度.
在 Rt△APC 中,$AP=\sqrt{AC^2+PC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$(cm).
故所用细线最短为 $\sqrt{20}$ cm.

知识拓展 解决几何体表面上的最短路径问题的关键是转化,即将立体图形问题通过展开转化为平面图形问题,根据平面上“两点之间,线段最短”确定路径,连接起点与终点所得线段作为三角形的一条边,以此边来构造直角三角形,利用勾股定理求最短路径的长.

4.「2026四川成都武侯月考」如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)

答案 10
解析 如图,将玻璃杯侧面展开(画出了侧面展开图的一半),作 B 关于 EC 的对称点 B',作 B'D⊥AE,交 AE 的延长线于点 D,连接 AB',交 EC 于点 F,连接 BF,则 BF=B'F,
由题意得 $DE=\frac{1}{2}BB'=1$ cm,
AE=9-4=5 cm,
∴ AD=AE+DE=6 cm,
∵ 底面周长为 16 cm,
∴ $B'D=\frac{1}{2}×16=8$ cm,
∴ $AB'=\sqrt{AD^2+B'D^2}=10$ cm,
由两点之间,线段最短可知,蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程为 AB'=10 cm.故答案为 10.

5.「2026江苏无锡石塘湾中学月考」临汾是帝尧之都，有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图所示，每根木柱为圆柱形，且有雕龙的部分的柱身高4米($AC=4$米)，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿木柱表面盘绕2圈到达正上方的柱顶C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为.

答案 5 米
解析 展开图如图,
根据题意得 AE=1.5 米,AC=4 米,
∵ 有一条雕龙从柱底 A 点沿木柱表面盘绕 2 圈到达正上方的柱顶 C 点,
∴ $AB=\frac{1}{2}AC=2$ 米,
在 Rt△ABE 中, $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5$(米),
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为 2.5×2=5(米).