登录
19. (6分)已知三角形的第一条边长为$(2a + b)\mathrm{cm}$，第二条边比第一条边长$(b - a)\mathrm{cm}$，第三条边比第一条边短$a\mathrm{cm}$。
(1)求第二条边和第三条边的长；
(2)求该三角形的周长。
(1)求第二条边和第三条边的长；
(2)求该三角形的周长。
答案
19. 解:(1)由题意可知：
第二条边的长为$(2a + b)+(b - a)=(a + 2b)\mathrm{cm}$；
第三条边的长为$(2a + b)-a=(a + b)\mathrm{cm}$.
(2)由(1)可知,该三角形的周长为$(2a + b)+(a + 2b)+(a + b)=(4a + 4b)\mathrm{cm}$.
第二条边的长为$(2a + b)+(b - a)=(a + 2b)\mathrm{cm}$；
第三条边的长为$(2a + b)-a=(a + b)\mathrm{cm}$.
(2)由(1)可知,该三角形的周长为$(2a + b)+(a + 2b)+(a + b)=(4a + 4b)\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
本题是整式加减的实际应用类题目，解题思路清晰：(1) 首先明确数量关系：“比某条边长多少”就用该边长度加差值，“比某条边短多少”就用该边长度减差值，据此分别列出第二条边、第三条边的代数式，再合并同类项化简即可；(2) 三角形周长等于三条边长度之和，将三条边的长度代入求和，最后合并同类项就能得到周长的化简结果。
【解析】
(1) 由题意计算两条边的长度：
第二条边的长：$\begin{aligned}(2a + b)+(b - a)&=2a + b + b - a\\&=a + 2b\end{aligned}$，单位为$\mathrm{cm}$；
第三条边的长：$\begin{aligned}(2a + b)-a&=2a + b - a\\&=a + b\end{aligned}$，单位为$\mathrm{cm}$。
(2) 三角形周长为三条边长度之和，代入计算得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=(2a + b)+(a + 2b)+(a + b)\\&=2a + b + a + 2b + a + b\\&=4a + 4b\end{aligned}$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 第二条边长为$(a + 2b)\mathrm{cm}$，第三条边长为$(a + b)\mathrm{cm}$；
(2) 该三角形的周长为$(4a + 4b)\mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式，整式的加减运算，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解题干中的数量关系，正确列出代数式，再遵循整式加减的运算规则合并同类项即可，掌握合并同类项的方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.85
本题是整式加减的实际应用类题目，解题思路清晰：(1) 首先明确数量关系：“比某条边长多少”就用该边长度加差值，“比某条边短多少”就用该边长度减差值，据此分别列出第二条边、第三条边的代数式，再合并同类项化简即可；(2) 三角形周长等于三条边长度之和，将三条边的长度代入求和，最后合并同类项就能得到周长的化简结果。
【解析】
(1) 由题意计算两条边的长度：
第二条边的长：$\begin{aligned}(2a + b)+(b - a)&=2a + b + b - a\\&=a + 2b\end{aligned}$，单位为$\mathrm{cm}$；
第三条边的长：$\begin{aligned}(2a + b)-a&=2a + b - a\\&=a + b\end{aligned}$，单位为$\mathrm{cm}$。
(2) 三角形周长为三条边长度之和，代入计算得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=(2a + b)+(a + 2b)+(a + b)\\&=2a + b + a + 2b + a + b\\&=4a + 4b\end{aligned}$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 第二条边长为$(a + 2b)\mathrm{cm}$，第三条边长为$(a + b)\mathrm{cm}$；
(2) 该三角形的周长为$(4a + 4b)\mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式，整式的加减运算，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解题干中的数量关系，正确列出代数式，再遵循整式加减的运算规则合并同类项即可，掌握合并同类项的方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.85
20. (6分)老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了一个多项式，形式如下：
$+2(a^2 -4ab +4b^2)=5a^2 +2b^2$.
(1)求被手捂住的多项式；
(2)若$a,b$满足$(a+1)^2 + \left|b - \dfrac{1}{2}\right|=0$，请求出被手捂住的多项式的值.
$+2(a^2 -4ab +4b^2)=5a^2 +2b^2$.(1)求被手捂住的多项式；
(2)若$a,b$满足$(a+1)^2 + \left|b - \dfrac{1}{2}\right|=0$，请求出被手捂住的多项式的值.
答案
20. 解:(1)被手捂住的多项式是
$(5a^2+2b^2)-2(a^2-4ab+4b^2)$
$=5a^2+2b^2-2a^2+8ab-8b^2$
$=3a^2+8ab-6b^2$.
(2)因为$(a+1)^2 + \left|b - \dfrac{1}{2}\right|=0$,
所以$a+1=0,b-\dfrac{1}{2}=0$,
解得$a=-1,b=\dfrac{1}{2}$.
当$a=-1,b=\dfrac{1}{2}$时,
原式$=3×(-1)^2+8×(-1)×\dfrac{1}{2}-6×(\dfrac{1}{2})^2$
$=3-4-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{5}{2}$.
$(5a^2+2b^2)-2(a^2-4ab+4b^2)$
$=5a^2+2b^2-2a^2+8ab-8b^2$
$=3a^2+8ab-6b^2$.
(2)因为$(a+1)^2 + \left|b - \dfrac{1}{2}\right|=0$,
所以$a+1=0,b-\dfrac{1}{2}=0$,
解得$a=-1,b=\dfrac{1}{2}$.
当$a=-1,b=\dfrac{1}{2}$时,
原式$=3×(-1)^2+8×(-1)×\dfrac{1}{2}-6×(\dfrac{1}{2})^2$
$=3-4-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要求被捂住的多项式，根据加法运算中“加数=和-另一个加数”的关系，用等号右侧的多项式减去已知的$2(a^2 -4ab +4b^2)$，再通过去括号、合并同类项即可得到结果。
(2) 先根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，求出$a$、$b$的取值，再将$a$、$b$代入(1)中求出的多项式计算即可得到对应的值。
【解析】
(1) 被手捂住的多项式为：
$\begin{aligned}&(5a^2+2b^2)-2(a^2-4ab+4b^2)\\=&5a^2+2b^2-2a^2+8ab-8b^2\\=&3a^2+8ab-6b^2\end{aligned}$
(2) 因为$(a+1)^2≥0$，$\left|b-\dfrac{1}{2}\right|≥0$，且$(a+1)^2 + \left|b - \dfrac{1}{2}\right|=0$，
所以$a+1=0$，$b-\dfrac{1}{2}=0$，
解得$a=-1$，$b=\dfrac{1}{2}$。
将$a=-1$，$b=\dfrac{1}{2}$代入$3a^2+8ab-6b^2$得：
$\begin{aligned}原式&=3×(-1)^2+8×(-1)×\dfrac{1}{2}-6×(\dfrac{1}{2})^2\\&=3-4-\dfrac{3}{2}\\&=-\dfrac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $3a^2+8ab-6b^2$
(2) $-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
整式的加减，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心考查去括号、合并同类项的运算规则，以及平方和绝对值的非负性的应用，计算时注意符号变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
(1) 要求被捂住的多项式，根据加法运算中“加数=和-另一个加数”的关系，用等号右侧的多项式减去已知的$2(a^2 -4ab +4b^2)$，再通过去括号、合并同类项即可得到结果。
(2) 先根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，求出$a$、$b$的取值，再将$a$、$b$代入(1)中求出的多项式计算即可得到对应的值。
【解析】
(1) 被手捂住的多项式为：
$\begin{aligned}&(5a^2+2b^2)-2(a^2-4ab+4b^2)\\=&5a^2+2b^2-2a^2+8ab-8b^2\\=&3a^2+8ab-6b^2\end{aligned}$
(2) 因为$(a+1)^2≥0$，$\left|b-\dfrac{1}{2}\right|≥0$，且$(a+1)^2 + \left|b - \dfrac{1}{2}\right|=0$，
所以$a+1=0$，$b-\dfrac{1}{2}=0$，
解得$a=-1$，$b=\dfrac{1}{2}$。
将$a=-1$，$b=\dfrac{1}{2}$代入$3a^2+8ab-6b^2$得：
$\begin{aligned}原式&=3×(-1)^2+8×(-1)×\dfrac{1}{2}-6×(\dfrac{1}{2})^2\\&=3-4-\dfrac{3}{2}\\&=-\dfrac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $3a^2+8ab-6b^2$
(2) $-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
整式的加减，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心考查去括号、合并同类项的运算规则，以及平方和绝对值的非负性的应用，计算时注意符号变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
