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1. (2025·盐城中考)已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，当自变量$x$满足$0≤x≤4$时，$y$的取值范围是
-4≤y≤5
。答案
1. -4≤y≤5 解析:
∵ y=x²-2x-3=(x-1)²-4,
∴ 函数图象的对称轴为直线x=1,开口向上.
∵ 0≤x≤4,
∴ 当x=0时,y=-3;当x=4时,y=5;当x=1时,y最小值=-4,
∴ y的取值范围是-4≤y≤5.
∵ y=x²-2x-3=(x-1)²-4,
∴ 函数图象的对称轴为直线x=1,开口向上.
∵ 0≤x≤4,
∴ 当x=0时,y=-3;当x=4时,y=5;当x=1时,y最小值=-4,
∴ y的取值范围是-4≤y≤5.
2. (1)已知二次函数$y=ax^2 -4ax -1$，当$x≤1$时，y随x的增大而增大，且$-1≤x≤6$时，y的最小值为-4，则a的值为
(2)(2026·苏州校级月考)已知二次函数$y=ax^2 -4ax +3$（a为常数，且$a≠0$），当$1≤x≤4$时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为
$-\frac{1}{4}$
。(2)(2026·苏州校级月考)已知二次函数$y=ax^2 -4ax +3$（a为常数，且$a≠0$），当$1≤x≤4$时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为
±2
。答案
2. (1) $-\frac{1}{4}$ 解析:
∵ 二次函数y=ax²-4ax-1=a(x-2)²-4a-1,
∴ 该函数图象的对称轴是直线x=2.又
∵ 当x≤1时,y随x的增大而增大,
∴ a＜0.
∵ 当-1≤x≤6时,y的最小值为-4,
∴ x=6时,y=a×6²-4a×6-1=-4,解得a=$-\frac{1}{4}$.
(2) ±2 解析:由二次函数y=ax²-4ax+3=a(x-2)²+3-4a,可得该函数图象的对称轴为直线x=2.
①当a＞0时,抛物线开口向上,
∴ 当x=2时,函数有最小值3-4a,当x=4时,函数有最大值3.
∵ 函数的最大值与最小值之差为8,
∴ 3-(3-4a)=8,解得a=2.
②当a＜0时,抛物线开口向下,
∴ 当x=2时,函数有最大值3-4a,当x=4时,函数有最小值3.
∵ 函数的最大值与最小值之差为8,
∴ 3-4a-3=8,解得a=-2.
综上可知,a的值为±2.
∵ 二次函数y=ax²-4ax-1=a(x-2)²-4a-1,
∴ 该函数图象的对称轴是直线x=2.又
∵ 当x≤1时,y随x的增大而增大,
∴ a＜0.
∵ 当-1≤x≤6时,y的最小值为-4,
∴ x=6时,y=a×6²-4a×6-1=-4,解得a=$-\frac{1}{4}$.
(2) ±2 解析:由二次函数y=ax²-4ax+3=a(x-2)²+3-4a,可得该函数图象的对称轴为直线x=2.
①当a＞0时,抛物线开口向上,
∴ 当x=2时,函数有最小值3-4a,当x=4时,函数有最大值3.
∵ 函数的最大值与最小值之差为8,
∴ 3-(3-4a)=8,解得a=2.
②当a＜0时,抛物线开口向下,
∴ 当x=2时,函数有最大值3-4a,当x=4时,函数有最小值3.
∵ 函数的最大值与最小值之差为8,
∴ 3-4a-3=8,解得a=-2.
综上可知,a的值为±2.
3. (1)已知函数$y=x^2 -2x +3$，当$0≤ x≤ m$时，函数有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
1≤m≤2
.答案
3. (1) 1≤m≤2 解析:
∵ y=x²-2x+3=(x-1)²+2,a=1＞0,
∴ 当x=1时,y有最小值2,把y=3代入y=x²-2x+3,得3=x²-2x+3,解得x₁=2,x₂=0.
∵ 当0≤x≤m时,y有最大值3,最小值2,
∴ 1≤m≤2.
∵ y=x²-2x+3=(x-1)²+2,a=1＞0,
∴ 当x=1时,y有最小值2,把y=3代入y=x²-2x+3,得3=x²-2x+3,解得x₁=2,x₂=0.
∵ 当0≤x≤m时,y有最大值3,最小值2,
∴ 1≤m≤2.
(2)已知$y=x^2 -4x +3$,当$m ≤ x ≤ m+2$时,函数$y$的最小值为$\frac{5}{4}$,则$m$的值为
$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
.答案
3. (2) $-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$ 解析:
∵ 二次函数y=x²-4x+3=(x-2)²-1,
∴ 该函数图象的对称轴为直线x=2.当x=2时,取得最小值为-1.①当m+2＜2,即m＜0时,x=m+2时,最小值是$\frac{5}{4}$,
∴ (m+2-2)²-1=m²-1=$\frac{5}{4}$,
∴ m=$-\frac{3}{2}$或m=$\frac{3}{2}$(舍去).
②当m＞2时,x=m时,最小值是$\frac{5}{4}$,
∴ (m-2)²-1=$\frac{5}{4}$,
∴ m=$\frac{7}{2}$或m=$\frac{1}{2}$(舍去).综上所述,m=$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$.
∵ 二次函数y=x²-4x+3=(x-2)²-1,
∴ 该函数图象的对称轴为直线x=2.当x=2时,取得最小值为-1.①当m+2＜2,即m＜0时,x=m+2时,最小值是$\frac{5}{4}$,
∴ (m+2-2)²-1=m²-1=$\frac{5}{4}$,
∴ m=$-\frac{3}{2}$或m=$\frac{3}{2}$(舍去).
②当m＞2时,x=m时,最小值是$\frac{5}{4}$,
∴ (m-2)²-1=$\frac{5}{4}$,
∴ m=$\frac{7}{2}$或m=$\frac{1}{2}$(舍去).综上所述,m=$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$.
4. (嘉兴中考)已知二次函数$y=-x^2+6x-5$.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当$1≤x≤4$时,函数的最大值和最小值分别为多少?
(3)当$t≤x≤t+3$时,函数的最大值为$m$,最小值为$n$,若$m-n=3$,求$t$的值.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当$1≤x≤4$时,函数的最大值和最小值分别为多少?
(3)当$t≤x≤t+3$时,函数的最大值为$m$,最小值为$n$,若$m-n=3$,求$t$的值.
答案
4. (1)
∵ y=-x²+6x-5=-(x-3)²+4,
∴ 顶点坐标为(3,4).
(2)
∵ 顶点坐标为(3,4),a=-1＜0,
∴ 当x=3时,y最大值=4.
∵ 当1≤x≤3时,y随着x的增大而增大,
∴ 当x=1时,y最小值=0.
∵ 当3＜x≤4时,y随着x的增大而减小,
∴ 当x=4时,y最小值=3,
∴ 当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0.
(3) 当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论.
①当t+3＜3,即t＜0时,y随着x的增大而增大.当x=t+3时,m=-(t+3)²+6(t+3)-5=-t²+4,当x=t时,n=-t²+6t-5,
∴ m-n=-t²+4-(-t²+6t-5)=-6t+9.
∴ -6t+9=3,解得t=1,不合题意,舍去.
②当0≤t＜3时,顶点的横坐标在取值范围内,
∴ m=4.
i)当0≤t≤$\frac{3}{2}$时,当x=t时,n=-t²+6t-5,
∴ m-n=4-(-t²+6t-5)=t²-6t+9,
∴ t²-6t+9=3,解得t₁=3-$\sqrt{3}$,t₂=3+$\sqrt{3}$(不合题意,舍去).
ii)当$\frac{3}{2}$＜t＜3时,当x=t+3时,n=-t²+4,
∴ m-n=4-(-t²+4)=t²,
∴ t²=3,解得t₁=$\sqrt{3}$,t₂=-$\sqrt{3}$(不合题意,舍去).
③当t≥3时,y随着x的增大而减小,当x=t时,m=-t²+6t-5,当x=t+3时,n=-(t+3)²+6(t+3)-5=-t²+4,
∴ m-n=-t²+6t-5-(-t²+4)=6t-9,
∴ 6t-9=3,解得t=2,不合题意,舍去.
综上所述,t=3-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$.
∵ y=-x²+6x-5=-(x-3)²+4,
∴ 顶点坐标为(3,4).
(2)
∵ 顶点坐标为(3,4),a=-1＜0,
∴ 当x=3时,y最大值=4.
∵ 当1≤x≤3时,y随着x的增大而增大,
∴ 当x=1时,y最小值=0.
∵ 当3＜x≤4时,y随着x的增大而减小,
∴ 当x=4时,y最小值=3,
∴ 当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0.
(3) 当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论.
①当t+3＜3,即t＜0时,y随着x的增大而增大.当x=t+3时,m=-(t+3)²+6(t+3)-5=-t²+4,当x=t时,n=-t²+6t-5,
∴ m-n=-t²+4-(-t²+6t-5)=-6t+9.
∴ -6t+9=3,解得t=1,不合题意,舍去.
②当0≤t＜3时,顶点的横坐标在取值范围内,
∴ m=4.
i)当0≤t≤$\frac{3}{2}$时,当x=t时,n=-t²+6t-5,
∴ m-n=4-(-t²+6t-5)=t²-6t+9,
∴ t²-6t+9=3,解得t₁=3-$\sqrt{3}$,t₂=3+$\sqrt{3}$(不合题意,舍去).
ii)当$\frac{3}{2}$＜t＜3时,当x=t+3时,n=-t²+4,
∴ m-n=4-(-t²+4)=t²,
∴ t²=3,解得t₁=$\sqrt{3}$,t₂=-$\sqrt{3}$(不合题意,舍去).
③当t≥3时,y随着x的增大而减小,当x=t时,m=-t²+6t-5,当x=t+3时,n=-(t+3)²+6(t+3)-5=-t²+4,
∴ m-n=-t²+6t-5-(-t²+4)=6t-9,
∴ 6t-9=3,解得t=2,不合题意,舍去.
综上所述,t=3-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$.
5. 已知二次函数$y=x^2-(a+1)x+5$，当$-6≤ x≤3$时，$y$在$x=3$时取得最大值，则$a$的取值范围是（
A.$a≤-13$
B.$a≥-13$
C.$a≤-4$
D.$-13≤ a≤-4$
C
）A.$a≤-13$
B.$a≥-13$
C.$a≤-4$
D.$-13≤ a≤-4$
答案
5. C 解析:当-6≤x≤3时,y在x=3时取得最大值,结合图象可得,$-\frac{(a+1)}{2}$≤$\frac{-6+3}{2}$,解得a≤-4.故选C.
6. 已知关于$x$的二次函数$y=-(x-k)^2 +11$，当$1≤ x≤4$时，函数有最小值$2k$，则$k$的值为________.
答案
6. 1或$\sqrt{10}$ 解析:由题意,易得函数图象对称轴为直线x=k.分情况讨论:①当k≤1时,当x=4时函数取得最小值,-k²+8k-16+11=2k,解得k₁=1,k₂=5(舍去);②当k≥4时,当x=1时函数取得最小值,-(1-k)²+11=2k,解得k=±$\sqrt{10}$(舍去);③当1＜k＜4时,当x=4或x=1时函数取得最小值,则k=$\sqrt{10}$.综上所述,k的值为1或$\sqrt{10}$.
7. (1)当$|x+1| ≤ 6$时，试求函数$y = x|x| - 2x + 1$的最大值；
(2)当$-2 ≤ x ≤ 1$时，二次函数$y = -(x - m)^2 + m^2 + 1$有最大值4，求实数$m$的值.
(2)当$-2 ≤ x ≤ 1$时，二次函数$y = -(x - m)^2 + m^2 + 1$有最大值4，求实数$m$的值.
答案
7. (1) 由|x+1|≤6,得-6≤x+1≤6,解得-7≤x≤5.当-7≤x＜0时,y=x·(-x)-2x+1=-x²-2x+1.
∴ 当x=-1时,y有最大值为2;当0≤x≤5时,y=x·x-2x+1=x²-2x+1.
∴ 当x=5时,y有最大值为16.综上所述,y的最大值为16.
(2) 由题知,二次函数图象的对称轴为直线x=m,且开口向下.又
∵ -2≤x≤1,
∴ 当m≤-2时,x=-2时,y取得最大值.
∴ -(-2-m)²+m²+1=4,解得m=$-\frac{7}{4}$(不符合题意,舍去).当-2＜m＜1时,x=m时,y取得最大值.
∴ m²+1=4,解得m=±$\sqrt{3}$.又m=$\sqrt{3}$＞1,故舍去.
∴ m=-$\sqrt{3}$.当m≥1时,x=1时,y取得最大值.
∴ -(1-m)²+m²+1=4,解得m=2.综上所述,m的值为2或-$\sqrt{3}$.
∴ 当x=-1时,y有最大值为2;当0≤x≤5时,y=x·x-2x+1=x²-2x+1.
∴ 当x=5时,y有最大值为16.综上所述,y的最大值为16.
(2) 由题知,二次函数图象的对称轴为直线x=m,且开口向下.又
∵ -2≤x≤1,
∴ 当m≤-2时,x=-2时,y取得最大值.
∴ -(-2-m)²+m²+1=4,解得m=$-\frac{7}{4}$(不符合题意,舍去).当-2＜m＜1时,x=m时,y取得最大值.
∴ m²+1=4,解得m=±$\sqrt{3}$.又m=$\sqrt{3}$＞1,故舍去.
∴ m=-$\sqrt{3}$.当m≥1时,x=1时,y取得最大值.
∴ -(1-m)²+m²+1=4,解得m=2.综上所述,m的值为2或-$\sqrt{3}$.
8. 已知二次函数$y=x^2 - 2mx + 2$，自变量$x$的取值范围是$1≤ x≤ m(m＞1)$。若该函数的最小值为$-1$，则$m$的值为
$\sqrt{3}$
。答案
8. $\sqrt{3}$ 解析:y=x²-2mx+2=(x-m)²+2-m²,对称轴为直线x=m,
∵ 1≤x≤m,
∴ 当x=m时,y取最小值,
∴ 2-m²=-1,解得m=$\sqrt{3}$(负值已舍去).
∵ 1≤x≤m,
∴ 当x=m时,y取最小值,
∴ 2-m²=-1,解得m=$\sqrt{3}$(负值已舍去).
9. (2025·南京校级月考)当$a ≤ x ≤ a+2$时，二次函数$y = x^2 + 2ax - 3$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，则实数$a$的值为
$-\frac{1}{4}$或$-\frac{3}{4}$
。答案
9. $-\frac{1}{4}$或$-\frac{3}{4}$ 解析:
∵ y=x²+2ax-3=(x+a)²-a²-3,
∴ 二次函数图象的对称轴为直线x=-a,在对称轴右侧,y的值随着x的值增大而增大;在对称轴左侧,y的值随着x的值增大而减小.
①当-a＜a,即a＞0时,则最小值为y=a²+2a²-3=3a²-3,最大值为y=(a+2)²+2a(a+2)-3=3a²+8a+1.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²+8a+1-(3a²-3)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{7}{32}$(舍);
②当a≤-a≤a+2,即-1≤a≤0时,若$-\frac{1}{2}$≤a≤0,则最小值为y=-a²-3,最大值为y=(a+2)²+2a(a+2)-3=3a²+8a+1.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²+8a+1-(-a²-3)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{7}{4}$(舍)或a=$-\frac{1}{4}$.若-1≤a＜$-\frac{1}{2}$,则最小值为y=-a²-3,最大值为y=a²+2a²-3=3a²-3.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²-3-(-a²-3)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{3}{4}$或a=$\frac{3}{4}$(舍);
③当a+2＜-a,即a＜-1时,则最大值为y=a²+2a²-3=3a²-3,最小值为y=(a+2)²+2a(a+2)-3=3a²+8a+1.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²-3-(3a²+8a+1)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{25}{32}$(舍).
综上所述,a=$-\frac{3}{4}$或a=$-\frac{1}{4}$.
∵ y=x²+2ax-3=(x+a)²-a²-3,
∴ 二次函数图象的对称轴为直线x=-a,在对称轴右侧,y的值随着x的值增大而增大;在对称轴左侧,y的值随着x的值增大而减小.
①当-a＜a,即a＞0时,则最小值为y=a²+2a²-3=3a²-3,最大值为y=(a+2)²+2a(a+2)-3=3a²+8a+1.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²+8a+1-(3a²-3)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{7}{32}$(舍);
②当a≤-a≤a+2,即-1≤a≤0时,若$-\frac{1}{2}$≤a≤0,则最小值为y=-a²-3,最大值为y=(a+2)²+2a(a+2)-3=3a²+8a+1.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²+8a+1-(-a²-3)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{7}{4}$(舍)或a=$-\frac{1}{4}$.若-1≤a＜$-\frac{1}{2}$,则最小值为y=-a²-3,最大值为y=a²+2a²-3=3a²-3.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²-3-(-a²-3)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{3}{4}$或a=$\frac{3}{4}$(舍);
③当a+2＜-a,即a＜-1时,则最大值为y=a²+2a²-3=3a²-3,最小值为y=(a+2)²+2a(a+2)-3=3a²+8a+1.
∵ 函数y=x²+2ax-3的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,
∴ 3a²-3-(3a²+8a+1)=$\frac{9}{4}$,解得a=$-\frac{25}{32}$(舍).
综上所述,a=$-\frac{3}{4}$或a=$-\frac{1}{4}$.
