1. (2025·新乡期中)已知抛物线的顶点坐标为$(-2,-5)$，与$y$轴交于点$(0,-9)$，则抛物线表达式为 ()

A.$y=(x+2)^2 -5$
B.$y=(x-2)^2 -5$
C.$y=-(x-2)^2 -5$
D.$y=-(x+2)^2 -5$

1. D 解析:设抛物线的表达式为 $y=a(x+2)^2-5$. 将点 $(0,-9)$代入,得 $4a-5=-9$,解得 $a=-1$,$\therefore y=-(x+2)^2-5$.故选 D.

2. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点$A(-2,0)$,$B(6,0)$,与y轴交于点$C(0,6)$,则该抛物线的表达式是 ()

A.$y=(x+2)(x-6)$
B.$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)(x-6)$
C.$y=(x-2)(x+6)$
D.$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)(x+6)$

2. B 解析:$\because$ 抛物线与 $x$ 轴交于点 $A(-2,0)$,$B(6,0)$,$\therefore$ 设该抛物线的表达式为 $y=a(x+2)(x-6)$.$\because$ 与 $y$ 轴交于点 $C$$(0,6)$,代入得 $6=a(0+2)(0-6)$,解得 $a=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ 该抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)(x-6)$.故选 B.

3. (2026·无锡校级月考)二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数,$a≠0$)的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表:
$x$ $···$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $···$
$y$ $···$ $\frac{5}{2}$ $4$ $\frac{9}{2}$ $4$ $m$
(1)直接写出:$c=$,$m=$;
(2)该二次函数的表达式为.

3. (1) 4 $\dfrac{5}{2}$ 解析:当 $x=0$ 时,$y=c=4$,$\therefore c=4$. $\because$ 当 $x=-2$ 和$x=0$ 时均有 $y=4$,$\therefore$ 对称轴为直线 $x=-1$. $\because -3$ 与 1 关于直线 $x=-1$ 对称,$\therefore m=\dfrac{5}{2}$.
(2) $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+\dfrac{9}{2}$ 解析:设 $y=a(x+1)^2+\dfrac{9}{2}$. 将点 $(0,4)$代入,得 $a+\dfrac{9}{2}=4$,解得 $a=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+\dfrac{9}{2}$.

4. (2025·广东中考)已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是.(写出一个即可)

4. $y=-x^2+x+2$(答案不唯一) 解析:$\because$ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象经过点 $(c,0)$,$\therefore 0=-c^2+bc+c$.$\because$ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象不经过原点,$\therefore c≠0$,则 $c-b=1$,若取 $b=1$,则 $c=2$,$\therefore$ 该二次函数的表达式可以是 $y=-x^2+x+2$.

5. (2026·上海校级月考)抛物线$y=-2x^2+3$经过平移后的图象经过原点，且其对称轴为直线$x=2$，那么平移后所得抛物线的表达式为。

5. $y=-2x^2+8x$ 解析:$\because$ 抛物线 $y=-2x^2+3$ 经过平移后的图象经过原点,$\therefore$ 设经过平移后的抛物线为 $y=-2x^2+bx$.$\because$ 其对称轴为直线 $x=2$,$\therefore -\dfrac{b}{2×(-2)}=2$,$\therefore b=8$,$\therefore$ 平移后的抛物线为 $y=-2x^2+8x$.

6. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式.
(1) 抛物线经过$(2,0),(1,3),(0,8)$三点；
(2) 已知一个二次函数有最大值4,当$x＞5$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜5$时,$y$随$x$的增大而增大,且该函数图象经过点$(2,1)$；
(3) 如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象过点$B(0,-2)$,它与反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象交于点$A(m,4)$.

6. (1) $\because$ 抛物线经过点 $(0,8)$,$\therefore$ 可设抛物线的表达式为 $y=ax^2+bx+8$. 将 $(2,0)$,$(1,3)$ 代入,得 $\begin{cases}0=4a+2b+8,\\3=a+b+8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=-6,\end{cases}$$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=x^2-6x+8$.
(2)由题意得,二次函数图象的顶点坐标为 $(5,4)$,设表达式为 $y=a(x-5)^2+4$,把 $(2,1)$ 代入,得 $1=9a+4$,解得 $a=-\dfrac{1}{3}$,$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2+4 (或 y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x-\dfrac{13}{3})$.
(3) 把点 $A(m,4)$ 代入反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}$,得 $4=-\dfrac{8}{m}$,$\therefore m=-2$. 把点 $A(-2,4)$,$B(0,-2)$ 代入二次函数 $y=x^2+bx+c$,得 $\begin{cases}4-2b+c=4,\\c=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-1,\\c=-2,\end{cases}$$\therefore$ 这个二次函数的表达式为 $y=x^2-x-2$.

7. (2026·梅州期末)如图,抛物线$y=ax^2+c$经过等腰直角三角形ABO的两个顶点A,B,点A在y轴上,点B在第四象限且$∠ ABO=90°$,则ac的值为 ()


A.-4
B.-3
C.-2
D.-1

7. C 解析:$\because y=ax^2+c$,$\therefore$ 当 $x=0$ 时,$y=c$,$\therefore A(0,c)$,$\therefore OA=-c$. 如图,过点 $B$ 作 $BC⊥ OA$ 于点 $C$.$\because △ OBA$ 是等腰直角三角形且 $∠ ABO=90°$,$\therefore BC=\dfrac{1}{2}OA=OC=-\dfrac{c}{2}$,$\because$ 点 $B$ 在第四象限,$\therefore$ 点 $B$ 坐标为 $(-\dfrac{c}{2},\dfrac{c}{2})$.$\because$ 点 $B$ 在抛物线上,$\therefore \dfrac{c}{2}=a·\dfrac{c^2}{4}+c$,$\therefore ac^2=-2c$,$\therefore ac=-2$.故选 C.