一、选择题
1. 如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 $ABCD$，若测得点 $A$，$C$ 之间的距离为 $6\mathrm{cm}$，点 $B$，$D$ 之间的距离为 $8\mathrm{cm}$，则线段 $AB$ 的长为().

A.$5\mathrm{cm}$
B.$4.8\mathrm{cm}$
C.$4.6\mathrm{cm}$
D.$4\mathrm{cm}$

1. A

解：
∵两张等宽的纸条交叉重叠，
∴四边形$ABCD$两组对边分别平行，即$ABCD$是平行四边形。
∵纸条等宽，
∴平行四边形$ABCD$的邻边高相等，
∴$AB = BC$，即$ABCD$是菱形。
∵菱形对角线互相垂直平分，$AC = 6\mathrm{cm}$，$BD = 8\mathrm{cm}$，
∴对角线一半长分别为$3\mathrm{cm}$、$4\mathrm{cm}$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5\mathrm{cm}$。
答案：A

2. 如图所示，在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在 $AO$，$DO$ 上，且 $EF// AD$. 若 $∠ FAC = 15^{\circ}$，则 $∠ AED$ 的度数为().

A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$115^{\circ}$

2. C

证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC⊥BD$，$∠OAD = 45^{\circ}$，$AD// BC$，$OA = OD$。
∵$EF// AD$，
∴$∠OEF = ∠OAD = 45^{\circ}$，$∠OFE = ∠ODA = 45^{\circ}$，
∴$OE = OF$。
∵$∠FAC = 15^{\circ}$，
∴$∠EAD = ∠OAD - ∠FAC = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$。
∵$OA = OD$，$OE = OF$，
∴$OA - OE = OD - OF$，即$AE = DF$。
在$△ AED$和$△ DFA$中，
$\begin{cases} AE = DF \\ ∠EAD = ∠FDA = 30^{\circ} \\ AD = DA \end{cases}$，
∴$△ AED ≌ △ DFA(SAS)$，
∴$∠AED = ∠DFA$。
∵$∠DFA = ∠FAC + ∠ADF = 15^{\circ} + 90^{\circ} = 105^{\circ}$，
∴$∠AED = 105^{\circ}$。
答案：C

3. 如图所示，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 作 $OE⊥ AC$ 交 $AD$ 于点 $E$，若 $AB = 4$，$BC = 8$，则 $AE$ 的长为().

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$\sqrt{10}$

3. C

解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC=8$，$CD=AB=4$，$O$为$AC$中点，$∠ ADC=90°$。
$\because OE⊥ AC$，
$\therefore OE$垂直平分$AC$，$\therefore AE=CE$。
设$AE=CE=x$，则$DE=AD - AE=8 - x$。
在$Rt△ CDE$中，$CE^2=CD^2 + DE^2$，
即$x^2=4^2+(8 - x)^2$，
$x^2=16 + 64 - 16x + x^2$，
$16x=80$，
$x=5$。
$\therefore AE=5$。
C

二、填空题
4. 一个矩形的对角线长为 $6$，对角线与一边的夹角是 $45^{\circ}$，那么矩形的面积为.

4. 18

设矩形的长和宽分别为$a$、$b$，对角线为$c$。
因为矩形对角线与一边的夹角是$45^{\circ}$，所以矩形的长和宽与对角线构成等腰直角三角形，即$a = b$。
由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，又$c = 6$，$a = b$，则$2a^{2}=6^{2}$，$2a^{2}=36$，$a^{2}=18$。
矩形面积$S=ab=a^{2}=18$。
18

5. 一个矩形被两条对角线分成四个小三角形，若它们的周长和为 $86\mathrm{cm}$，矩形的对角线长为 $13\mathrm{cm}$，则矩形周长是$\mathrm{cm}$.

5. 34

设矩形的长为$a$，宽为$b$。
矩形两条对角线相等且互相平分，对角线长为$13\mathrm{cm}$，则每条对角线的一半为$\frac{13}{2}\mathrm{cm}$。
四个小三角形的周长和为$86\mathrm{cm}$，每个小三角形的周长为两邻边的一半与一条边之和，四个小三角形的周长和等于矩形的周长加上$4$条对角线的长（因为每条对角线被分成两段，四个三角形共包含$4$条对角线长），即：
$2(a + b) + 4×13 = 86$
$2(a + b) + 52 = 86$
$2(a + b) = 86 - 52$
$2(a + b) = 34$
矩形周长为$34\mathrm{cm}$。
34

6. 菱形的周长为 $4$，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为.

6. $\frac{1}{2}$

菱形的周长为4，所以边长为$4÷4 = 1$。
菱形的对角线互相平分，一边中点到两条对角线交点的距离是菱形边长的一半，即$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

三、解答题
7. 如图所示，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的垂直平分线与边 $AB$，$CD$ 的交点为 $E$，$F$. 求证：四边形 $AFCE$ 是菱形.

7. 提示: 可先证$△ AOE ≌ △ COF$，则$AE = CF$，易得四边形$AFCE$是平行四边形，又由对角线互相垂直证得菱形

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB // CD$，$∠ OAE = ∠ OCF$。
∵$EF$是$AC$的垂直平分线，
∴$OA = OC$，$EF ⊥ AC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases} ∠ OAE = ∠ OCF \\OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \end{cases}$，
∴$△ AOE ≌ △ COF$（ASA），
∴$AE = CF$。
∵$AE // CF$且$AE = CF$，
∴四边形$AFCE$是平行四边形。
又
∵$EF ⊥ AC$，
∴四边形$AFCE$是菱形。