8. 如图所示，将 $□ ABCD$ 的边 $DC$ 延长到点 $E$，使 $CE = DC$，连接 $AE$，交 $BC$ 于点 $F$.
(1) 求证：$△ ABF≌△ ECF$；
(2) 若 $∠ AFC = 2∠ D$，连接 $AC$，$BE$，求证：四边形 $ABEC$ 是矩形.

8. 提示: (1) 先证明四边形$ABEC$是平行四边形 (2) 通过$∠ AFC = 2∠ D = 2∠ ABF = ∠ ABF + ∠ BAF$证明$AF = BF$，则$AE = BC$，进而证得矩形

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // DC$，$AB = DC$，
∵ $CE = DC$，
∴ $AB = CE$，
又 $AB // CE$，
∴ 四边形 $ABEC$ 是平行四边形，
∴ $AF = EF$，$BF = CF$，
在 $△ ABF$ 和 $△ ECF$ 中，
$\begin{cases} AB = EC \\ ∠ AFB = ∠ EFC \\ BF = CF \end{cases}$，
∴ $△ ABF ≌ △ ECF$（SAS）。
(2) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $∠ ABC = ∠ D$，
∵ $∠ AFC = 2∠ D$，且 $∠ AFC = ∠ ABC + ∠ BAF$，
∴ $2∠ ABC = ∠ ABC + ∠ BAF$，
∴ $∠ ABC = ∠ BAF$，
∴ $AF = BF$，
∵ 四边形 $ABEC$ 是平行四边形，
∴ $AE = 2AF$，$BC = 2BF$，
∴ $AE = BC$，
∴ 四边形 $ABEC$ 是矩形。

9. 如图所示，四边形 $ABCD$ 为正方形，$E$ 为对角线 $AC$ 上一点，连接 $DE$，$BE$，过点 $E$ 作 $EF⊥ DE$，交边 $BC$ 于点 $F$，以 $DE$，$EF$ 为邻边作矩形 $DEFG$，求证：四边形 $DEFG$ 是正方形.

9. 提示: 过点$E$分别向$BC$和$CD$作垂线段，通过三角形全等证明$ED = EF$，从而矩形$DEFG$为正方形

证明：过点$E$作$EM ⊥ BC$于点$M$，$EN ⊥ CD$于点$N$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$是对角线，
∴ $EM = EN$，$∠ EMC = ∠ ENC = 90°$，$∠ BCD = 90°$，
∴ 四边形$EMCN$是矩形，$∠ MEN = 90°$。
∵ $EF ⊥ DE$，
∴ $∠ DEF = 90°$，
∴ $∠ DEN + ∠ NEF = 90°$。
又
∵ $∠ MEF + ∠ NEF = 90°$，
∴ $∠ DEN = ∠ MEF$。
在$△ DEN$和$△ FEM$中，
$\begin{cases}∠ DEN = ∠ FEM \\EN = EM \\∠ END = ∠ EMF = 90°\end{cases}$
∴ $△ DEN ≌ △ FEM(\mathrm{ASA})$，
∴ $DE = EF$。
∵ 四边形$DEFG$是矩形，且$DE = EF$，
∴ 四边形$DEFG$是正方形。