1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，下列结论不一定成立的是()

A.$AB = AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC = BD$
D.$∠ DAC=∠ BAC$

1. C

证明：在菱形$ABCD$中，
菱形的四条边相等，所以$AB = AD$，A选项成立；
菱形的对角线互相垂直，所以$AC⊥ BD$，B选项成立；
菱形的对角线不一定相等，只有当菱形是正方形时对角线才相等，C选项不一定成立；
菱形的对角线平分一组对角，所以$∠ DAC=∠ BAC$，D选项成立。
结论：不一定成立的是C。
C

2. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，连接 $AC$，$BD$.若 $∠ 1 = 20^{\circ}$，则 $∠ 2$ 的度数为()

A.$20^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

2. C

解：
∵四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD// BC$，$AB = BC$，
$\therefore ∠ 1=∠ BCA = 20^{\circ}$，
$\because AB = BC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BCA = 20^{\circ}$，
$\therefore ∠ ABC=180^{\circ}-∠ BAC-∠ BCA=140^{\circ}$，
$\because$菱形对角线平分一组对角，
$\therefore ∠ 2=\frac{1}{2}∠ ADC$，
又$\because ∠ ADC=∠ ABC = 140^{\circ}$，
$\therefore ∠ 2=\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$。
答案：C

3. (2025·沭阳段考)如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 为 $CD$ 的中点，连接 $OE$.若 $OE = 2$，则菱形 $ABCD$ 的周长为.

3. 16

解：
∵菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，
∴$O$为$AC$中点，$AD = CD$。
∵$E$为$CD$的中点，
∴$OE$是$△ ACD$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AD$。
∵$OE = 2$，
∴$AD=4$，
∴菱形$ABCD$的周长为$4AD = 16$。
16

4. (2025·福建)如图，菱形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，$EF$ 过点 $O$ 且与边 $AB$，$CD$ 分别相交于点 $E$，$F$.若 $OA = 2$，$OD = 1$，则 $△ AOE$ 与 $△ DOF$ 的面积之和为.

4. 1

证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB // CD$，$AC ⊥ BD$，$OA = OC = 2$，$OB = OD = 1$，
∴$∠ OAE = ∠ OCF$，$∠ OEA = ∠ OFC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases} ∠ OAE = ∠ OCF \\∠ OEA = ∠ OFC \\OA = OC \end{cases}$，
∴$△ AOE ≌ △ COF$（AAS），
∴$S_{△ AOE} = S_{△ COF}$。
$S_{△ AOE} + S_{△ DOF} = S_{△ COF} + S_{△ DOF} = S_{△ COD}$。
∵$S_{△ COD} = \frac{1}{2} × OC × OD = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$，
∴$△ AOE$与$△ DOF$的面积之和为$1$。
1

5. （2025·宿豫期中）如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ B = 60^{\circ}$，点 $E$，$F$ 分别在 $AB$，$AD$ 上，$△ CEF$ 是等边三角形.求证：$BE = AF$.

5.
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AB = BC = CD = AD$，$AC$ 平分 $∠ BCD$，$AD // BC$．
∵ $∠ B = 60^{\circ}$，
∴ $△ ABC$ 是等边三角形．
∴ $BC = AC$，$∠ B = ∠ BCA = ∠ CAF = 60^{\circ}$．
∵ $△ CEF$ 是等边三角形，
∴ $CE = CF$，$∠ ECF = 60^{\circ}$．
∴ $∠ BCE = 60^{\circ} - ∠ ECA = ∠ ACF$．
∴ $△ BCE ≌ △ ACF$．
∴ $BE = AF$

6. (2024·沭阳期中)如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$.若 $AC = 6$，$BD = 8$，$AM⊥ BC$ 于点 $M$，则线段 $AM$ 的长为()

A.$2.4$
B.$4.8$
C.$5$
D.$5.6$

6. B

解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC = 6$，$BD = 8$，
∴$AC⊥BD$，$OA=\frac{1}{2}AC = 3$，$OB=\frac{1}{2}BD = 4$，
在$Rt△ AOB$中，$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
∴$BC = AB = 5$，
菱形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×6×8 = 24$，
又
∵菱形面积$=BC· AM$，
∴$5AM=24$，解得$AM=\frac{24}{5}=4.8$。
B

7. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AC = 4$，$BD = 16$，将 $△ ABO$ 沿 $AC$ 方向平移，得到 $△ A'B'O'$.当点 $A'$ 与点 $C$ 重合时，点 $A$ 与点 $B'$ 之间的距离为()

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

7. C