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8. (2025·宿迁段考)如图，$O$ 是坐标原点，菱形 $ABOC$ 的顶点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上，顶点 $C$ 的坐标为 $(3,4)$，则顶点 $A$ 的坐标为
$(-2,4)$
.答案
8. $(-2,4)$
解析
解：
∵四边形$ABOC$是菱形，
∴$AC// BO$，$AC = BO$，$CO = BO$。
∵点$C$的坐标为$(3,4)$，
∴$CO=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
∴$BO = 5$，则点$B$的坐标为$(-5,0)$。
∵$AC// BO$，$AC = BO = 5$，点$C$的坐标为$(3,4)$，
∴点$A$的横坐标为$3 - 5=-2$，纵坐标为$4$，
∴顶点$A$的坐标为$(-2,4)$。
$(-2,4)$
∵四边形$ABOC$是菱形，
∴$AC// BO$，$AC = BO$，$CO = BO$。
∵点$C$的坐标为$(3,4)$，
∴$CO=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
∴$BO = 5$，则点$B$的坐标为$(-5,0)$。
∵$AC// BO$，$AC = BO = 5$，点$C$的坐标为$(3,4)$，
∴点$A$的横坐标为$3 - 5=-2$，纵坐标为$4$，
∴顶点$A$的坐标为$(-2,4)$。
$(-2,4)$
9. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，$DE⊥ BC$ 于点 $E$，连接 $OE$.若 $∠ ABC = 140^{\circ}$，则 $∠ OED$ 的度数为
$20^{\circ}$
.答案
9. $20^{\circ}$
解析
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $O$ 为 $BD$ 中点，$∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = 70^{\circ}$。
∵ $DE⊥BC$，
∴ $△DEB$ 为直角三角形，$OE = \frac{1}{2}BD = OB$，
∴ $∠OEB = ∠OBE = 70^{\circ}$。
∵ $∠DEB = 90^{\circ}$，
∴ $∠OED = ∠DEB - ∠OEB = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$。
$20^{\circ}$
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $O$ 为 $BD$ 中点，$∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = 70^{\circ}$。
∵ $DE⊥BC$，
∴ $△DEB$ 为直角三角形，$OE = \frac{1}{2}BD = OB$，
∴ $∠OEB = ∠OBE = 70^{\circ}$。
∵ $∠DEB = 90^{\circ}$，
∴ $∠OED = ∠DEB - ∠OEB = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$。
$20^{\circ}$
10. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$∠ CAB=∠ ACB$，过点 $B$ 作 $BE⊥ AB$，交 $AC$ 于点 $E$.
（1）求证：$AC⊥ BD$；
（2）若 $AB = 10$，$AC = 16$，求 $OE$ 的长.
（1）求证：$AC⊥ BD$；
（2）若 $AB = 10$，$AC = 16$，求 $OE$ 的长.
答案
10. （1）
∵ $∠ CAB = ∠ ACB$，
∴ $AB = CB$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $□ ABCD$ 是菱形．
∴ $AC ⊥ BD$ （2）设 $OE = x$．
∵ $□ ABCD$ 是菱形，$AC = 16$，
∴ $OA = \dfrac{1}{2}AC = 8$．
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $∠ AOB = ∠ BOE = 90^{\circ}$．
∴ 在 $Rt△ AOB$ 中，$OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$．
∴ 在 $Rt△ EOB$ 中，$BE^{2} = OE^{2} + OB^{2} = x^{2} + 6^{2}$．
∵ $BE ⊥ AB$，
∴ $∠ EBA = 90^{\circ}$．
∴ 在 $Rt△ ABE$ 中，$BE^{2} = AE^{2} - AB^{2} = (8 + x)^{2} - 10^{2}$．
∴ $x^{2} + 6^{2} = (8 + x)^{2} - 10^{2}$，解得 $x = \dfrac{9}{2}$．
∴ $OE$ 的长为 $\dfrac{9}{2}$
∵ $∠ CAB = ∠ ACB$，
∴ $AB = CB$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $□ ABCD$ 是菱形．
∴ $AC ⊥ BD$ （2）设 $OE = x$．
∵ $□ ABCD$ 是菱形，$AC = 16$，
∴ $OA = \dfrac{1}{2}AC = 8$．
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $∠ AOB = ∠ BOE = 90^{\circ}$．
∴ 在 $Rt△ AOB$ 中，$OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$．
∴ 在 $Rt△ EOB$ 中，$BE^{2} = OE^{2} + OB^{2} = x^{2} + 6^{2}$．
∵ $BE ⊥ AB$，
∴ $∠ EBA = 90^{\circ}$．
∴ 在 $Rt△ ABE$ 中，$BE^{2} = AE^{2} - AB^{2} = (8 + x)^{2} - 10^{2}$．
∴ $x^{2} + 6^{2} = (8 + x)^{2} - 10^{2}$，解得 $x = \dfrac{9}{2}$．
∴ $OE$ 的长为 $\dfrac{9}{2}$
11. 如图，矩形 $EFGH$ 的顶点 $E$，$G$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $AD$，$BC$ 上，顶点 $F$，$H$ 在菱形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上.
（1）求证：$BG = DE$；
（2）若 $E$ 为 $AD$ 的中点，$FH = 4$，求菱形 $ABCD$ 的周长.
（1）求证：$BG = DE$；
（2）若 $E$ 为 $AD$ 的中点，$FH = 4$，求菱形 $ABCD$ 的周长.
答案
11. （1）
∵ 四边形 $EFGH$ 为矩形，
∴ $EH = FG$，$EH // GF$．
∴ $∠ GFH = ∠ EHF$．
∵ $∠ BFG = 180° - ∠ GFH$，$∠ DHE = 180° - ∠ EHF$，
∴ $∠ BFG = ∠ DHE$．
∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
∴ $AD // BC$．
∴ $∠ GBF = ∠ EDH$．在 $△ BGF$ 和 $△ DEH$ 中，$\begin{cases} ∠ GBF = ∠ EDH, \\ ∠ BFG = ∠ DHE, \\ GF = EH, \end{cases}$
∴ $△ BGF ≌ △ DEH$．
∴ $BG = DE$
（2）连接 $EG$．
∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$．
∵ $E$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $AE = ED$．
∵ $BG = DE$，
∴ $AE // BG$ 且 $AE = BG$．
∴ 四边形 $AEGB$ 为平行四边形．
∴ $AB = EG$．
∵ 在矩形 $EFGH$ 中，$EG = FH = 4$，
∴ $AB = 4$．
∴ 菱形 $ABCD$ 的周长为 $4AB = 16$
∵ 四边形 $EFGH$ 为矩形，
∴ $EH = FG$，$EH // GF$．
∴ $∠ GFH = ∠ EHF$．
∵ $∠ BFG = 180° - ∠ GFH$，$∠ DHE = 180° - ∠ EHF$，
∴ $∠ BFG = ∠ DHE$．
∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
∴ $AD // BC$．
∴ $∠ GBF = ∠ EDH$．在 $△ BGF$ 和 $△ DEH$ 中，$\begin{cases} ∠ GBF = ∠ EDH, \\ ∠ BFG = ∠ DHE, \\ GF = EH, \end{cases}$
∴ $△ BGF ≌ △ DEH$．
∴ $BG = DE$
（2）连接 $EG$．
∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$．
∵ $E$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $AE = ED$．
∵ $BG = DE$，
∴ $AE // BG$ 且 $AE = BG$．
∴ 四边形 $AEGB$ 为平行四边形．
∴ $AB = EG$．
∵ 在矩形 $EFGH$ 中，$EG = FH = 4$，
∴ $AB = 4$．
∴ 菱形 $ABCD$ 的周长为 $4AB = 16$
