7. 设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线.已知AB与CD之间的距离是12cm，EF与CD之间的距离是5cm，则AB与EF之间的距离是.

7. 7 cm或17 cm

当EF在AB与CD之间时，AB与EF之间的距离为$12 - 5 = 7\ \mathrm{cm}$；当EF在CD的另一侧时，AB与EF之间的距离为$12 + 5 = 17\ \mathrm{cm}$。
7 cm或17 cm

8. (2025·沭阳期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，且有一点P从点B出发，沿着BD往点D移动，过点P作AB的垂线，交AB于点E，过点P作AD的垂线，交AD于点F，连接EF，则EF长的最小值为.

8. $\frac{24}{5}$ 解析：根据题意，得四边形AEPF为矩形，连接AP，则AP=EF，将求EF长的最小值转化成求AP长的最小值．由于垂线段最短，因此当AP⊥BD时，AP的长取得最小值．此时$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AP$，得AP=$\frac{24}{5}$，
∴ EF长的最小值为$\frac{24}{5}$．

9. (2025·宿迁期中)如图，在□ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使得BF=CE，连接AF，DF.
（1）求证：四边形ADEF是矩形；
（2）若AB=3，DF=4，DF⊥CD，求DE的长.

9. (1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC．
∵ BF=CE，
∴ BF+BE=CE+BE，即EF=BC．
∴ EF=AD，EF//AD．
∴ 四边形ADEF是平行四边形．
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEF=90°．
∴ 四边形ADEF是矩形 (2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=3．
∵ DF⊥CD，
∴ ∠CDF=90°．
∵ DF=4，
∴ CF=$\sqrt{CD^{2}+DF^{2}}$=5．
∵ $S_{△CDF}=\frac{1}{2}CD· DF=\frac{1}{2}CF· DE$，
∴ DE=$\frac{CD· DF}{CF}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$

10. 如图，AC=AB，AD=AE，DE=BC，∠BAD=∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形（用两种不同的矩形判定方法证明）.

10. 证法一：
∵ ∠BAD=∠CAE，
∴ ∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，即∠CAD=∠BAE．又
∵ AC=AB，AD=AE，
∴ △CAD≌△BAE．
∴ ∠CDA=∠BEA，CD=BE．又
∵ DE=BC，
∴ 四边形BCDE是平行四边形．
∴ BE//CD．
∴ ∠CDE+∠BED=180°．
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AED．
∴ ∠CDA-∠ADE=∠BEA-∠AED，即∠CDE=∠BED．
∴ ∠CDE=∠BED=90°．
∴ 四边形BCDE是矩形
证法二：同证法一，得△CAD≌△BAE，
∴ CD=BE．又
∵ DE=BC，
∴ 四边形BCDE是平行四边形．连接BD，CE．
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △BAD≌△CAE．
∴ BD=CE．
∴ 四边形BCDE是矩形