2.如图，$∠ ABC = ∠ CAD = 90°$，$AB = 4$，$AC = AD$，求$△ BAD$的面积.

解：过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E。
∵ ∠CAD=90°，
∴ ∠DAE + ∠CAB = 90°，
又∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠CAB + ∠ACB = 90°，
∴ ∠DAE = ∠ACB。
在△DAE和△ACB中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠ABC = 90° \\∠DAE = ∠ACB \\AD = AC\end{array} $
∴ △DAE ≌ △ACB（AAS），
∴ DE = AB = 4。
∴ $S_{△BAD} = \frac{1}{2} · AB · DE = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。

【分析】
要求△BAD的面积，已知底边AB=4，只需要求出AB边上的高即可。因此我们可以过点D作DE垂直于BA的延长线，DE就是AB边上的高。接下来结合已知条件∠CAD=∠ABC=90°、AC=AD，可通过“同角的余角相等”得到一组相等的角，进而证明△DAE和△ACB全等，得到DE=AB，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E。
∵ ∠CAD=90°，
∴ ∠DAE + ∠CAB = 90°，
又
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠CAB + ∠ACB = 90°，
∴ ∠DAE = ∠ACB。
在△DAE和△ACB中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠ABC = 90° \\∠DAE = ∠ACB \\AD = AC\end{array} $
∴ △DAE ≌ △ACB（AAS），
∴ DE = AB = 4。
∴ $S_{△BAD} = \frac{1}{2} · AB · DE = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，解题关键是合理构造辅助线，通过全等将未知的高转化为已知线段长度，考查了辅助线构造能力和全等性质的运用能力。
【难度系数】
0.6

3.如图,点A,E分别在x轴上,点B在y轴正半轴上,AB=BC,AB⊥BC,过点C作CG⊥OB于点G,交BE于点H,∠OBC−∠ABO=2∠OBE.
(1)求证:CH=BG+OE;
(2)请探究线段OG,OE,GH之间的数量关系.

(1) 证明：
∵ $AB⊥ BC$，$CG⊥ OB$，
∴ $∠ ABC=∠ AOB=∠ CGB=90°$，
∴ $∠ ABO + ∠ OBC=90°$，$∠ BCG + ∠ OBC=90°$，
∴ $∠ ABO=∠ BCG$。
在$△ AOB$和$△ BGC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BGC \\∠ ABO=∠ BCG \\AB=BC\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ BGC(\mathrm{AAS})$，
∴ $AO=BG$，$BO=CG$。
由已知$∠ OBC - ∠ ABO=2∠ OBE$，且$∠ OBC=∠ OBE + ∠ EBC$，代入得：
$∠ OBE + ∠ EBC - ∠ ABO=2∠ OBE$，
整理得$∠ EBC=∠ ABO + ∠ OBE=∠ ABE$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABE=∠ CBE \\BE=BE\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AE=CE$，$∠ AEB=∠ CEB$。
∵ $CG⊥ OB$，$x$轴$⊥ OB$，
∴ $CG// x$轴，
∴ $∠ CHE=∠ AEB$，
∴ $∠ CHE=∠ CEB$，
∴ $CH=CE$。
又∵ $AE=AO + OE$，$AO=BG$，
∴ $AE=BG + OE$，
∴ $CH=BG + OE$。
---
(2) 解：线段关系为 $\boldsymbol{OG=OE + GH}$，推导如下：
∵ $BO=BG + OG$，$CG=CH + GH$，
由$△ AOB≌△ BGC$得$BO=CG$，
∴ $BG + OG=CH + GH$。
将$CH=BG + OE$代入上式：
$BG + OG=BG + OE + GH$，
两边同时减去$BG$，得：
$OG=OE + GH$。

【分析】
(1) 要证明CH=BG+OE这类线段和差等式，通常采用全等转化的思路：首先根据已知的垂直和边相等条件，证明△AOB≌△BGC，得到AO=BG；再利用给出的角的数量关系推导角相等，证明△ABE≌△CBE，得到AE=CE；最后结合CG与x轴平行的性质，推导CH=CE，将AE拆分为AO+OE后代入等量关系即可完成证明。
(2) 探究三条线段的数量关系，可利用第一问全等得到的BO=CG的结论，将BO、CG分别拆分为两段线段的和，再代入第一问得到的CH=BG+OE的结论，消去公共的BG项，即可推出三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB⊥ BC$，$CG⊥ OB$，
∴ $∠ ABC=∠ AOB=∠ CGB=90°$，
∴ $∠ ABO + ∠ OBC=90°$，$∠ BCG + ∠ OBC=90°$，
∴ $∠ ABO=∠ BCG$。
在$△ AOB$和$△ BGC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BGC \\∠ ABO=∠ BCG \\AB=BC\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ BGC(\mathrm{AAS})$，
∴ $AO=BG$，$BO=CG$。
由已知$∠ OBC - ∠ ABO=2∠ OBE$，且$∠ OBC=∠ OBE + ∠ EBC$，代入得：
$∠ OBE + ∠ EBC - ∠ ABO=2∠ OBE$，
整理得$∠ EBC=∠ ABO + ∠ OBE=∠ ABE$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABE=∠ CBE \\BE=BE\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AE=CE$，$∠ AEB=∠ CEB$。
∵ $CG⊥ OB$，$x$轴$⊥ OB$，
∴ $CG// x$轴，
∴ $∠ CHE=∠ AEB$，
∴ $∠ CHE=∠ CEB$，
∴ $CH=CE$。
又
∵ $AE=AO + OE$，$AO=BG$，
∴ $AE=BG + OE$，
∴ $CH=BG + OE$。
(2) 解：
∵ $BO=BG + OG$，$CG=CH + GH$，
由$△ AOB≌△ BGC$得$BO=CG$，
∴ $BG + OG=CH + GH$。
将$CH=BG + OE$代入上式：
$BG + OG=BG + OE + GH$，
两边同时减去$BG$，得：
$OG=OE + GH$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{OG=OE+GH}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，平行线的性质，线段和差证明
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题的关键是通过垂直关系、角的数量关系推导角相等，进而构造全等三角形完成线段的等量代换，考查了学生对全等判定定理的掌握程度和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6

4.【问题情境】如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点D,可知$∠ BAD=∠ C$（不需要证明）.
【特例探究】如图2,$∠ MAN=90°$,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在$∠ MAN$的边AM,AN上,且$AB=AC$,$BD⊥ AE$于点D,$CF⊥ AE$于点F.求证:$△ ABD≌△ CAF$.
【拓展应用】如图3,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB＞BC$,点D在边BC上,点E,F在线段AD上,$∠1=∠2=∠ BAC$.
(1)求证:$△ ABE≌△ CAF$;
(2)若$CD=2BD$,$△ ABC$的面积为15,则$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和为.

$\boldsymbol{5}$

【分析】
1. 特例探究：要证$△ ABD≌△ CAF$，已知$AB=AC$，由$BD⊥ AE$、$CF⊥ AE$可得两个直角相等，再通过同角的余角相等推出一组角相等，即可用AAS判定全等。
2. 拓展应用(1)：要证$△ ABE≌△ CAF$，已知$AB=AC$，利用角的和差关系，由$∠1=∠ BAC$推出两组对应角相等，即可用ASA判定全等。
3. 拓展应用(2)：由全等性质可得$△ ABE$和$△ CAF$面积相等，将所求面积和转化为$△ ABD$的面积；再根据$CD=2BD$，结合同高三角形面积比等于底的比，即可求出$△ ABD$的面积，得到最终结果。
【解析】
特例探究证明：
$\because BD⊥ AE$，$CF⊥ AE$，$\therefore ∠ ADB=∠ CFA=90°$，
$\because ∠ MAN=90°$，$\therefore ∠ BAD+∠ CAF=90°$，
又$\because ∠ ABD+∠ BAD=90°$，$\therefore ∠ ABD=∠ CAF$，
在$△ ABD$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CFA \\∠ ABD=∠ CAF \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAF(\mathrm{AAS})$。
拓展应用(1)证明：
$\because ∠1=∠ BAC$，且$∠1=∠ ABE+∠ BAE$，$∠ BAC=∠ BAE+∠ CAF$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CAF$，
同理可得$∠ BAE=∠ ACF$，
在$△ ABE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ ABE=∠ CAF \\AB=AC \\∠ BAE=∠ ACF\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CAF(\mathrm{ASA})$。
拓展应用(2)求解：
$\because △ ABE≌△ CAF$，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ CAF}$，
$\therefore S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$，
$\because CD=2BD$，$\therefore BC=BD+CD=3BD$，
$△ ABD$和$△ ABC$同高，底的比为$BD:BC=1:3$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×15=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角的和差关系
3. 三角形面积比例
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的几何探究题，核心考查"一线三等角"全等模型的应用，解题时需要熟练通过角的等量代换寻找全等条件，结合面积比例性质简化计算，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

例 (1)【问题提出】如图 1，$△ ABC$ 和$△ EDC$ 都是等边三角形，点 $B$，$D$，$E$ 在同一条直线上，连接 $AE$.

①$∠ AEC$ 的度数为;
② 线段 $AE$，$BD$ 之间的数量关系为;
(2)【拓展探究】如图 2，$△ ABC$ 和$△ EDC$ 都是等腰直角三角形，$∠ ACB＝∠ DCE＝90°$，点 $B$，$D$，$E$ 在同一条直线上，$CM$ 为$△ EDC$ 中 $DE$ 边上的高，连接 $AE$，试求$∠ AEB$ 的度数及判断线段 $CM$，$AE$，$BM$ 之间的数量关系，并说明理由；
(3)【问题解决】如图 3，$△ ABC$ 和$△ EDC$ 都是等腰三角形，$∠ ACB＝∠ DCE＝36°$，点 $B$，$D$，$E$ 在同一条直线上，请直接写出$∠ EAB＋∠ ECB$ 的度数.
解:(1)①$120°$ ②$AE＝BD$
(2)$∠ AEB＝90°$, $CM＋AE＝BM$.理由如下:
$\because △ ABC$ 和$△ EDC$ 都是等腰直角三角形，
$\therefore CE＝CD$，$CA＝CB$，$∠ EDC＝∠ ACB＝90°$，
$\therefore ∠ ECD－∠ ACD＝∠ ACB－∠ ACD$. 即$∠ ECA＝∠ DCB$.
$\therefore △ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA＝∠ CDB$，$AE＝BD$.
$\because △ DCE$ 是等腰直角三角形，$∠ ECD＝90°$，
$\therefore ∠ CED＝∠ CDE＝45°$, $\therefore ∠ CEA＝∠ CDB＝135°$.
$\therefore ∠ AEB＝∠ CEA－∠ CED＝90°$.
$\because CM$ 为$△ DCE$ 中 $DE$ 边上的高，
$\therefore CM＝EM＝MD$.
$\therefore BM＝BD＋MD＝AE＋CM$.
(3)$\because △ DCE$ 是等腰三角形，$∠ DCE＝36°$，
$\therefore ∠ CDE＝72°$. $\therefore ∠ CDB＝108°$.
同(2)可得$△ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA＝∠ CDB＝108°$.
$\therefore ∠ EAC＋∠ ECA＝72°$.
$\because △ ABC$ 是等腰三角形，$∠ ACB＝36°$.
$\therefore ∠ CAB＝72°$.
$\therefore ∠ EAB＋∠ ECB＝∠ EAC＋∠ CAB＋∠ ECA＋∠ ACB＝72°＋72°＋36°＝180°$，
即$∠ EAB＋∠ ECB＝180°$.

解：(1)①$120°$
②$AE=BD$
(2) $∠ AEB=90°$，$CM+AE=BM$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ EDC$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\therefore CE=CD$，$CA=CB$，
$\therefore ∠ ECD - ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ ACD$，即$∠ ECA=∠ DCB$。
在$△ ECA$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}CE=CD \\∠ ECA=∠ DCB \\CA=CB\end{cases}$
$\therefore △ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA=∠ CDB$，$AE=BD$。
$\because △ DCE$是等腰直角三角形，$∠ ECD=90°$，
$\therefore ∠ CED=∠ CDE=45°$，
$\therefore ∠ CDB=180°-∠ CDE=135°$，
$\therefore ∠ CEA=135°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ CEA-∠ CED=90°$。
$\because CM$为$△ DCE$中$DE$边上的高，
$\therefore CM=EM=MD$，
$\therefore BM=BD+MD=AE+CM$，即$CM+AE=BM$。
(3) $\because △ DCE$是等腰三角形，$∠ DCE=36°$，
$\therefore ∠ CDE=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
$\therefore ∠ CDB=180°-∠ CDE=108°$。
同(2)可证$△ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA=∠ CDB=108°$，
$\therefore ∠ EAC+∠ ECA=180°-∠ CEA=72°$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，$∠ ACB=36°$，
$\therefore ∠ CAB=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
$\therefore ∠ EAB+∠ ECB=∠ EAC+∠ CAB+∠ ECA+∠ ACB=72°+72°+36°=180°$，
即$∠ EAB+∠ ECB=180°$。

【分析】
本题为“手拉手”全等模型的递进考查题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，得到CE=CD、CA=CB，通过角的和差推导得∠ECA=∠DCB，用SAS证明△ECA≌△DCB，再结合全等性质和等边三角形的角的特征，即可求解∠AEC的度数和AE、BD的数量关系。
2. 第(2)问：类比第(1)问的全等证明思路，先利用等腰直角三角形的性质证明△ECA≌△DCB，得到对应角、对应边相等，再结合等腰直角三角形底角为45°、斜边上的高等于斜边的一半的性质，即可求出∠AEB的度数和三条线段的数量关系。
3. 第(3)问：沿用前两问的全等证明方法，先证△ECA≌△DCB得到对应角相等，再结合等腰三角形内角和求出相关角的度数，将待求的两个角拆分为已知角的和，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1)①$\because △ ABC$和$△ EDC$都是等边三角形，$\therefore CE=CD$，$CA=CB$，$∠ ECD=∠ ACB=∠ CED=60°$，$\therefore ∠ ECD-∠ ACD=∠ ACB-∠ ACD$，即$∠ ECA=∠ DCB$，$\therefore △ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ AEC=∠ BDC$，$AE=BD$。$\because$点$B,D,E$共线，$∠ CDE=60°$，$\therefore ∠ BDC=180°-60°=120°$，$\therefore ∠ AEC=120°$。
②由上述全等证明可得$AE=BD$。
(2) $∠ AEB=90°$，$CM+AE=BM$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ EDC$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\therefore CE=CD$，$CA=CB$，
$\therefore ∠ ECD - ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ ACD$，即$∠ ECA=∠ DCB$。
在$△ ECA$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}CE=CD \\ ∠ ECA=∠ DCB \\ CA=CB\end{cases}$
$\therefore △ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA=∠ CDB$，$AE=BD$。
$\because △ DCE$是等腰直角三角形，$∠ ECD=90°$，
$\therefore ∠ CED=∠ CDE=45°$，
$\therefore ∠ CDB=180°-∠ CDE=135°$，
$\therefore ∠ CEA=135°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ CEA-∠ CED=135°-45°=90°$。
$\because CM$为$△ DCE$中$DE$边上的高，
$\therefore CM=EM=MD$，
$\therefore BM=BD+MD=AE+CM$，即$CM+AE=BM$。
(3) $\because △ DCE$是等腰三角形，$∠ DCE=36°$，
$\therefore ∠ CDE=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
$\therefore ∠ CDB=180°-∠ CDE=108°$。
同(2)可证$△ ECA≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA=∠ CDB=108°$，
$\therefore ∠ EAC+∠ ECA=180°-∠ CEA=72°$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，$∠ ACB=36°$，
$\therefore ∠ CAB=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
$\therefore ∠ EAB+∠ ECB=∠ EAC+∠ CAB+∠ ECA+∠ ACB=72°+72°+36°=180°$，
即$∠ EAB+∠ ECB=180°$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{120°}$；②$\boldsymbol{AE=BD}$
(2)$\boldsymbol{∠ AEB=90°}$，$\boldsymbol{CM+AE=BM}$
(3)$\boldsymbol{180°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型的应用题目，从特殊到一般逐层递进，解题核心是抓住两组等线段的公共夹角证明三角形全等，再结合特殊三角形的性质完成角度和线段的转化，能有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65