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例1 如图，已知$△ ABC$和直线$MN$，求作$△ A'B'C'$，使$△ A'B'C'$与$△ ABC$关于直线$MN$对称。
【思路导析】首先作出点$A,B,C$关于直线$MN$的对称点$A',B',C'$，使直线$MN$为线段$AA',BB',CC'$的垂直平分线，然后连接$A'B',B'C',A'C'$，得$△ A'B'C'$。
【请你作图】
【思路导析】首先作出点$A,B,C$关于直线$MN$的对称点$A',B',C'$，使直线$MN$为线段$AA',BB',CC'$的垂直平分线，然后连接$A'B',B'C',A'C'$，得$△ A'B'C'$。
【请你作图】
答案
解：作法：
1. 过点A作AO⊥直线MN，垂足为O，延长AO到点A'，使OA' = OA，得到点A关于直线MN的对称点A'；
2. 用同样的方法，分别作出点B、点C关于直线MN的对称点B'、C'；
3. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'。
则△A'B'C'就是所求作的与△ABC关于直线MN对称的三角形。
1. 过点A作AO⊥直线MN，垂足为O，延长AO到点A'，使OA' = OA，得到点A关于直线MN的对称点A'；
2. 用同样的方法，分别作出点B、点C关于直线MN的对称点B'、C'；
3. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'。
则△A'B'C'就是所求作的与△ABC关于直线MN对称的三角形。
解析
【分析】
要作与△ABC关于直线MN对称的三角形，依据轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，因此只需先确定△ABC三个顶点关于直线MN的对称点，再顺次连接各对称点即可得到所求图形。思考步骤如下：①先掌握作单个点关于直线对称点的操作方法：过点作对称轴的垂线，在垂足的另一侧截取与该点到垂足的距离相等的线段，线段端点即为对称点；②分别作出A、B、C三点的对称点A'、B'、C'；③顺次连接三个对称点，得到的三角形即为所求。
【解析】
作法如下：
1. 过点A作AO⊥直线MN，垂足为O，延长AO到点A'，使OA' = OA，得到点A关于直线MN的对称点A'；
2. 用同样的方法，分别作出点B、点C关于直线MN的对称点B'、C'；
3. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'。
【答案】
按照上述作法得到的△A'B'C'就是所求作的与△ABC关于直线MN对称的三角形。
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 作轴对称图形
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题是作轴对称图形的基础题，核心是掌握点关于直线对称点的作法，熟练掌握该方法后，可推广到作任意多边形关于已知直线的对称图形。
【难度系数】
0.8
要作与△ABC关于直线MN对称的三角形，依据轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，因此只需先确定△ABC三个顶点关于直线MN的对称点，再顺次连接各对称点即可得到所求图形。思考步骤如下：①先掌握作单个点关于直线对称点的操作方法：过点作对称轴的垂线，在垂足的另一侧截取与该点到垂足的距离相等的线段，线段端点即为对称点；②分别作出A、B、C三点的对称点A'、B'、C'；③顺次连接三个对称点，得到的三角形即为所求。
【解析】
作法如下：
1. 过点A作AO⊥直线MN，垂足为O，延长AO到点A'，使OA' = OA，得到点A关于直线MN的对称点A'；
2. 用同样的方法，分别作出点B、点C关于直线MN的对称点B'、C'；
3. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'。
【答案】
按照上述作法得到的△A'B'C'就是所求作的与△ABC关于直线MN对称的三角形。
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 作轴对称图形
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题是作轴对称图形的基础题，核心是掌握点关于直线对称点的作法，熟练掌握该方法后，可推广到作任意多边形关于已知直线的对称图形。
【难度系数】
0.8
例2 如图，长方形ABCD是台球桌面，有黑白两球分别位于点M，N，试问：怎样撞击黑球M，才能使黑球碰撞台边AB反弹后击中白球N？
【思路导析】要撞击黑球M，使黑球M先碰撞台边AB上的点（假设为点O）反弹后再击中白球N，需$∠ AOM = ∠ BON$，因此可作点M关于AB的对称点$M'$，连接$M'$，N交AB于点O，则点O即为所求的点。
【请你作图】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】要撞击黑球M，使黑球M先碰撞台边AB上的点（假设为点O）反弹后再击中白球N，需$∠ AOM = ∠ BON$，因此可作点M关于AB的对称点$M'$，连接$M'$，N交AB于点O，则点O即为所求的点。
【请你作图】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
作法如下：
1. 过点M作AB的垂线，设垂足为点P，延长MP到点M'，使PM' = MP，得到点M关于直线AB的对称点M'；
2. 连接M'N，交AB于点O；
3. 沿射线MO的方向撞击黑球M，黑球M碰撞台边AB上的点O反弹后，将沿ON方向运动，击中白球N。
点O即为黑球碰撞台边AB的撞击点。
作法如下：
1. 过点M作AB的垂线，设垂足为点P，延长MP到点M'，使PM' = MP，得到点M关于直线AB的对称点M'；
2. 连接M'N，交AB于点O；
3. 沿射线MO的方向撞击黑球M，黑球M碰撞台边AB上的点O反弹后，将沿ON方向运动，击中白球N。
点O即为黑球碰撞台边AB的撞击点。
解析
【分析】
解决本题的核心是结合台球反弹时入射角等于反射角的规律，对应到数学关系中就是碰撞点O需满足∠AOM=∠BON。我们可以利用轴对称的性质转化角度关系：作点M关于AB的对称点M'后，M'和M到AB上任意点的连线与AB的夹角相等，即∠AOM=∠AOM'，此时要满足∠AOM=∠BON，只需∠AOM'=∠BON，即M'、O、N三点共线，据此找到M'N与AB的交点就是所求的碰撞点。
【解析】
解题步骤如下：
1. 过点M作AB的垂线，设垂足为点P，延长MP到点M'，使PM' = MP，得到点M关于直线AB的对称点M'；
2. 连接M'N，交AB于点O，该点就是黑球碰撞台边AB的撞击点；
3. 沿射线MO的方向撞击黑球M，黑球碰撞AB上的点O后反弹，会沿ON方向运动，刚好击中白球N。
【答案】
作法如下：
1. 过点M作AB的垂线，设垂足为点P，延长MP到点M'，使PM' = MP，得到点M关于直线AB的对称点M'；
2. 连接M'N，交AB于点O；
3. 沿射线MO的方向撞击黑球M，黑球M碰撞台边AB上的点O反弹后，将沿ON方向运动，击中白球N。
点O即为黑球碰撞台边AB的撞击点。
【知识点】
轴对称的性质，轴对称作图，两点确定一条直线
【点评】
本题是轴对称性质的典型实际应用，将台球反弹的生活问题转化为数学的轴对称问题求解，体现了转化的数学思想，熟练掌握作对称点的方法、轴对称对应角相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是结合台球反弹时入射角等于反射角的规律，对应到数学关系中就是碰撞点O需满足∠AOM=∠BON。我们可以利用轴对称的性质转化角度关系：作点M关于AB的对称点M'后，M'和M到AB上任意点的连线与AB的夹角相等，即∠AOM=∠AOM'，此时要满足∠AOM=∠BON，只需∠AOM'=∠BON，即M'、O、N三点共线，据此找到M'N与AB的交点就是所求的碰撞点。
【解析】
解题步骤如下：
1. 过点M作AB的垂线，设垂足为点P，延长MP到点M'，使PM' = MP，得到点M关于直线AB的对称点M'；
2. 连接M'N，交AB于点O，该点就是黑球碰撞台边AB的撞击点；
3. 沿射线MO的方向撞击黑球M，黑球碰撞AB上的点O后反弹，会沿ON方向运动，刚好击中白球N。
【答案】
作法如下：
1. 过点M作AB的垂线，设垂足为点P，延长MP到点M'，使PM' = MP，得到点M关于直线AB的对称点M'；
2. 连接M'N，交AB于点O；
3. 沿射线MO的方向撞击黑球M，黑球M碰撞台边AB上的点O反弹后，将沿ON方向运动，击中白球N。
点O即为黑球碰撞台边AB的撞击点。
【知识点】
轴对称的性质，轴对称作图，两点确定一条直线
【点评】
本题是轴对称性质的典型实际应用，将台球反弹的生活问题转化为数学的轴对称问题求解，体现了转化的数学思想，熟练掌握作对称点的方法、轴对称对应角相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
例3 如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,求△CEF的面积.
【思路导析】关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用.解题时,①应抓住折叠前后的图形全等;②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图,找出对应关系.
【示范解答】从△ADE折叠前后的图形如下图中可知,DE=BC=AD=6,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴∠AED=45°,
∴∠FEC=45°.
又∵∠C=90°,
∴△FCE是等腰直角三角形.
∵EC=DC-DE=AB-AD=4,
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}×4×4=8.$
【思路导析】关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用.解题时,①应抓住折叠前后的图形全等;②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图,找出对应关系.
【示范解答】从△ADE折叠前后的图形如下图中可知,DE=BC=AD=6,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴∠AED=45°,
∴∠FEC=45°.
又∵∠C=90°,
∴△FCE是等腰直角三角形.
∵EC=DC-DE=AB-AD=4,
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}×4×4=8.$
答案
解：
由折叠的性质，第一次折叠后AD边落在AB边上，得：
$AD = 6$，$DE = AD = 6$，$∠ ADE = 90°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，$∠ AED = 45°$。
由矩形性质得$DC = AB = 10$，$∠ C = 90°$，
$\therefore EC = DC - DE = 10 - 6 = 4$。
将$△ AED$以$DE$为折痕向右折叠，得$∠ AED$仍为$45°$，
又$\because ∠ DEC = 90°$，
$\therefore ∠ FEC = ∠ DEC - ∠ AED = 90° - 45° = 45°$，
$\therefore ∠ EFC = 90° - ∠ FEC = 45°$，
$\therefore △ CEF$是等腰直角三角形，$CF = EC = 4$，
$\therefore S_{△ CEF} = \frac{1}{2} × EC × CF = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
答：$△ CEF$的面积为8。
由折叠的性质，第一次折叠后AD边落在AB边上，得：
$AD = 6$，$DE = AD = 6$，$∠ ADE = 90°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，$∠ AED = 45°$。
由矩形性质得$DC = AB = 10$，$∠ C = 90°$，
$\therefore EC = DC - DE = 10 - 6 = 4$。
将$△ AED$以$DE$为折痕向右折叠，得$∠ AED$仍为$45°$，
又$\because ∠ DEC = 90°$，
$\therefore ∠ FEC = ∠ DEC - ∠ AED = 90° - 45° = 45°$，
$\therefore ∠ EFC = 90° - ∠ FEC = 45°$，
$\therefore △ CEF$是等腰直角三角形，$CF = EC = 4$，
$\therefore S_{△ CEF} = \frac{1}{2} × EC × CF = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
答：$△ CEF$的面积为8。
解析
【分析】
本题是图形折叠类的几何计算题，解题核心是利用折叠前后图形全等，对应边、对应角相等的性质推导相关量。思考时先从第一次折叠入手，推导△ADE的形状和相关角度；再结合矩形的性质求出EC的长度；接着分析第二次折叠后角度的不变性，判断△CEF的形状，最后代入面积公式求解即可。
【解析】
由折叠的性质，第一次折叠后AD边落在AB边上，得：
$AD = 6$，$DE = AD = 6$，$∠ ADE = 90°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，$∠ AED = 45°$。
由矩形性质得$DC = AB = 10$，$∠ C = 90°$，
$\therefore EC = DC - DE = 10 - 6 = 4$。
将$△ AED$以$DE$为折痕向右折叠，得$∠ AED$仍为$45°$，
又$\because ∠ DEC = 90°$，
$\therefore ∠ FEC = ∠ DEC - ∠ AED = 90° - 45° = 45°$，
$\therefore ∠ EFC = 90° - ∠ FEC = 45°$，
$\therefore △ CEF$是等腰直角三角形，$CF = EC = 4$，
$\therefore S_{△ CEF} = \frac{1}{2} × EC × CF = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
1. 折叠的性质 2. 矩形的性质 3. 等腰直角三角形判定
【点评】
本题是轴对称应用的典型基础题，解题关键是准确把握折叠前后不变的边与角，结合特殊几何图形的性质推导所求三角形的形状与边长，主要考察学生对折叠性质的应用能力和基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是图形折叠类的几何计算题，解题核心是利用折叠前后图形全等，对应边、对应角相等的性质推导相关量。思考时先从第一次折叠入手，推导△ADE的形状和相关角度；再结合矩形的性质求出EC的长度；接着分析第二次折叠后角度的不变性，判断△CEF的形状，最后代入面积公式求解即可。
【解析】
由折叠的性质，第一次折叠后AD边落在AB边上，得：
$AD = 6$，$DE = AD = 6$，$∠ ADE = 90°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，$∠ AED = 45°$。
由矩形性质得$DC = AB = 10$，$∠ C = 90°$，
$\therefore EC = DC - DE = 10 - 6 = 4$。
将$△ AED$以$DE$为折痕向右折叠，得$∠ AED$仍为$45°$，
又$\because ∠ DEC = 90°$，
$\therefore ∠ FEC = ∠ DEC - ∠ AED = 90° - 45° = 45°$，
$\therefore ∠ EFC = 90° - ∠ FEC = 45°$，
$\therefore △ CEF$是等腰直角三角形，$CF = EC = 4$，
$\therefore S_{△ CEF} = \frac{1}{2} × EC × CF = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
1. 折叠的性质 2. 矩形的性质 3. 等腰直角三角形判定
【点评】
本题是轴对称应用的典型基础题，解题关键是准确把握折叠前后不变的边与角，结合特殊几何图形的性质推导所求三角形的形状与边长，主要考察学生对折叠性质的应用能力和基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
