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7. 如图,在△ABC中,AD垂直平分BC,点C在AE的垂直平分线上,点B,D,C,E在同一直线上.若AB=4 cm,BD=2 cm,则DE为()
A.8 cm
B.7 cm
C.6 cm
D.5 cm
第7题图 第8题图
A.8 cm
B.7 cm
C.6 cm
D.5 cm
第7题图 第8题图
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合已知的垂直平分线条件，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。首先根据AD垂直平分BC，可推出AB=AC、BD=DC，将已知AB、BD的长度转化为AC、DC的长度；再根据点C在AE的垂直平分线上，推出AC=CE，得到CE的长度；最后DE为DC与CE的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵AD垂直平分BC
∴AB=AC，BD=DC
已知AB=4cm，BD=2cm
∴AC=4cm，DC=2cm
又
∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC=CE
∴CE=4cm
∵点D、C、E在同一直线上
∴DE=DC+CE=2+4=6cm
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题侧重考察线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用性质完成未知线段和已知线段的等量转化，再结合线段和差关系计算，是几何部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的垂直平分线条件，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。首先根据AD垂直平分BC，可推出AB=AC、BD=DC，将已知AB、BD的长度转化为AC、DC的长度；再根据点C在AE的垂直平分线上，推出AC=CE，得到CE的长度；最后DE为DC与CE的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵AD垂直平分BC
∴AB=AC，BD=DC
已知AB=4cm，BD=2cm
∴AC=4cm，DC=2cm
又
∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC=CE
∴CE=4cm
∵点D、C、E在同一直线上
∴DE=DC+CE=2+4=6cm
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题侧重考察线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用性质完成未知线段和已知线段的等量转化，再结合线段和差关系计算，是几何部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
8.如图,点A,B的坐标分别为(2,3),(4,1),在x轴或y轴上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等,则点P的坐标为()
A.(1,0)或(0,-1)
B.(-1,0)或(0,1)
C.(0,3)或(4,0)
D.(2,0)或(0,1)
A.(1,0)或(0,-1)
B.(-1,0)或(0,1)
C.(0,3)或(4,0)
D.(2,0)或(0,1)
答案
A
解析
【分析】
要找到在x轴或y轴上到A、B两点距离相等的点P，可分两种情况讨论：①点P在x轴上，此时P的纵坐标为0；②点P在y轴上，此时P的横坐标为0。再根据“两点距离相等则距离的平方相等”列方程求解，即可得到P的坐标。也可利用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，先求AB的垂直平分线，再求其与坐标轴的交点。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点P在x轴上时，设点P的坐标为$(a,0)$
因为$PA=PB$，所以$PA^2=PB^2$，根据两点间距离公式可得：
$(2-a)^2 + (3-0)^2 = (4-a)^2 + (1-0)^2$
展开得：$4-4a+a^2 +9 = 16-8a+a^2 +1$
化简：$a^2 -4a +13 = a^2 -8a +17$
消去$a^2$，移项得：$4a=4$，解得$a=1$
即此时P点坐标为$(1,0)$
2. 当点P在y轴上时，设点P的坐标为$(0,b)$
同理$PA^2=PB^2$，可得：
$(2-0)^2 + (3-b)^2 = (4-0)^2 + (1-b)^2$
展开得：$4 +9 -6b +b^2 = 16 +1 -2b +b^2$
化简：$b^2 -6b +13 = b^2 -2b +17$
消去$b^2$，移项得：$-4b=4$，解得$b=-1$
即此时P点坐标为$(0,-1)$
综上，点P的坐标为$(1,0)$或$(0,-1)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
两点间距离公式，坐标轴上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是根据P所在坐标轴的特点设出对应的坐标，再利用距离相等的关系列方程求解，计算时注意平方展开不要出错。
【难度系数】
0.7
要找到在x轴或y轴上到A、B两点距离相等的点P，可分两种情况讨论：①点P在x轴上，此时P的纵坐标为0；②点P在y轴上，此时P的横坐标为0。再根据“两点距离相等则距离的平方相等”列方程求解，即可得到P的坐标。也可利用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，先求AB的垂直平分线，再求其与坐标轴的交点。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点P在x轴上时，设点P的坐标为$(a,0)$
因为$PA=PB$，所以$PA^2=PB^2$，根据两点间距离公式可得：
$(2-a)^2 + (3-0)^2 = (4-a)^2 + (1-0)^2$
展开得：$4-4a+a^2 +9 = 16-8a+a^2 +1$
化简：$a^2 -4a +13 = a^2 -8a +17$
消去$a^2$，移项得：$4a=4$，解得$a=1$
即此时P点坐标为$(1,0)$
2. 当点P在y轴上时，设点P的坐标为$(0,b)$
同理$PA^2=PB^2$，可得：
$(2-0)^2 + (3-b)^2 = (4-0)^2 + (1-b)^2$
展开得：$4 +9 -6b +b^2 = 16 +1 -2b +b^2$
化简：$b^2 -6b +13 = b^2 -2b +17$
消去$b^2$，移项得：$-4b=4$，解得$b=-1$
即此时P点坐标为$(0,-1)$
综上，点P的坐标为$(1,0)$或$(0,-1)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
两点间距离公式，坐标轴上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是根据P所在坐标轴的特点设出对应的坐标，再利用距离相等的关系列方程求解，计算时注意平方展开不要出错。
【难度系数】
0.7
9.如图,某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置.
答案
解：
设海盗船、摩天轮、碰碰车的位置分别为点A、B、C。
① 连接AB、AC；
② 分别作线段AB的垂直平分线，线段AC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点即为所求的售票中心的位置。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得该交点到A、B、C三点的距离相等，符合要求。
设海盗船、摩天轮、碰碰车的位置分别为点A、B、C。
① 连接AB、AC；
② 分别作线段AB的垂直平分线，线段AC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点即为所求的售票中心的位置。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得该交点到A、B、C三点的距离相等，符合要求。
解析
【分析】
要找到到三个娱乐项目位置距离相等的售票中心，可结合线段垂直平分线的性质推导思路：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此到任意两个娱乐项目位置距离相等的点，都在这两点连线的垂直平分线上。我们只需作出两组点连线的垂直平分线，它们的交点就同时满足到三个点的距离相等，即为所求的售票中心位置。
【解析】
设海盗船、摩天轮、碰碰车的位置分别为点A、B、C。
① 连接AB、AC；
② 分别作线段AB的垂直平分线、线段AC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点即为所求的售票中心的位置。
依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，该交点既在AB的垂直平分线上（到A、B距离相等），又在AC的垂直平分线上（到A、C距离相等），因此到A、B、C三点的距离相等，符合题目要求。
【答案】
设海盗船、摩天轮、碰碰车的位置分别为点A、B、C。
① 连接AB、AC；
② 分别作线段AB的垂直平分线，线段AC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点即为所求的售票中心的位置。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得该交点到A、B、C三点的距离相等，符合要求。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 垂直平分线作图
3. 尺规作图实际应用
【点评】
本题是几何性质在生活场景中的应用，解题核心是将“到三点距离相等”的实际需求，转化为利用线段垂直平分线性质找交点的作图问题，熟练掌握线段垂直平分线的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要找到到三个娱乐项目位置距离相等的售票中心，可结合线段垂直平分线的性质推导思路：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此到任意两个娱乐项目位置距离相等的点，都在这两点连线的垂直平分线上。我们只需作出两组点连线的垂直平分线，它们的交点就同时满足到三个点的距离相等，即为所求的售票中心位置。
【解析】
设海盗船、摩天轮、碰碰车的位置分别为点A、B、C。
① 连接AB、AC；
② 分别作线段AB的垂直平分线、线段AC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点即为所求的售票中心的位置。
依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，该交点既在AB的垂直平分线上（到A、B距离相等），又在AC的垂直平分线上（到A、C距离相等），因此到A、B、C三点的距离相等，符合题目要求。
【答案】
设海盗船、摩天轮、碰碰车的位置分别为点A、B、C。
① 连接AB、AC；
② 分别作线段AB的垂直平分线，线段AC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点即为所求的售票中心的位置。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得该交点到A、B、C三点的距离相等，符合要求。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 垂直平分线作图
3. 尺规作图实际应用
【点评】
本题是几何性质在生活场景中的应用，解题核心是将“到三点距离相等”的实际需求，转化为利用线段垂直平分线性质找交点的作图问题，熟练掌握线段垂直平分线的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=120°$，若$DE$，$FG$分别垂直平分$AB$，$AC$，$△ AEF$的周长为$10\ \mathrm{cm}$，求$∠ EAF$的度数及$BC$的长。
答案
解：
∵ DE垂直平分AB，
∴ AE = BE，
∴ ∠B = ∠BAE。
∵ FG垂直平分AC，
∴ AF = CF，
∴ ∠C = ∠CAF。
在△ABC中，∠BAC = 120°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 60°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = ∠B + ∠C = 60°，
∴ ∠EAF = ∠BAC - (∠BAE + ∠CAF) = 120° - 60° = 60°。
又∵ BC = BE + EF + FC，且AE=BE，AF=CF，
∴ BC = AE + EF + AF。
∵ △AEF的周长为AE + EF + AF = 10 cm，
∴ BC = 10 cm。
综上，∠EAF的度数为60°，BC的长为10 cm。
∵ DE垂直平分AB，
∴ AE = BE，
∴ ∠B = ∠BAE。
∵ FG垂直平分AC，
∴ AF = CF，
∴ ∠C = ∠CAF。
在△ABC中，∠BAC = 120°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 60°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = ∠B + ∠C = 60°，
∴ ∠EAF = ∠BAC - (∠BAE + ∠CAF) = 120° - 60° = 60°。
又∵ BC = BE + EF + FC，且AE=BE，AF=CF，
∴ BC = AE + EF + AF。
∵ △AEF的周长为AE + EF + AF = 10 cm，
∴ BC = 10 cm。
综上，∠EAF的度数为60°，BC的长为10 cm。
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直平分线条件出发，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，由此可得$AE=BE$、$AF=CF$，再结合等腰三角形等边对等角的性质，得到$∠ BAE=∠ B$、$∠ CAF=∠ C$。接下来求角度：先根据三角形内角和定理算出$△ ABC$中$∠ B+∠ C$的度数，即可得到$∠ BAE+∠ CAF$的度数，用$∠ BAC$减去这个和就能求出$∠ EAF$的度数。求$BC$长度时，把$BC$拆分为$BE+EF+FC$，通过等量代换换成$AE+EF+AF$，刚好对应$△ AEF$的周长，代入已知周长数值即可得到$BC$的长。
【解析】
$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE = BE$，
$\therefore ∠ B = ∠ BAE$。
$\because FG$垂直平分$AC$，
$\therefore AF = CF$，
$\therefore ∠ C = ∠ CAF$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC = 120°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ CAF = ∠ B + ∠ C = 60°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAF) = 120° - 60° = 60°$。
又$\because BC = BE + EF + FC$，且$AE=BE$，$AF=CF$，
$\therefore BC = AE + EF + AF$。
$\because △ AEF$的周长为$AE + EF + AF = 10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$∠ EAF$的度数为$\boxed{60°}$，$BC$的长为$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质 2. 三角形内角和定理 3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线应用的典型基础题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成边和角的等量转化，再结合三角形内角和公式求解，计算量小，侧重对基础性质的掌握和运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的垂直平分线条件出发，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，由此可得$AE=BE$、$AF=CF$，再结合等腰三角形等边对等角的性质，得到$∠ BAE=∠ B$、$∠ CAF=∠ C$。接下来求角度：先根据三角形内角和定理算出$△ ABC$中$∠ B+∠ C$的度数，即可得到$∠ BAE+∠ CAF$的度数，用$∠ BAC$减去这个和就能求出$∠ EAF$的度数。求$BC$长度时，把$BC$拆分为$BE+EF+FC$，通过等量代换换成$AE+EF+AF$，刚好对应$△ AEF$的周长，代入已知周长数值即可得到$BC$的长。
【解析】
$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE = BE$，
$\therefore ∠ B = ∠ BAE$。
$\because FG$垂直平分$AC$，
$\therefore AF = CF$，
$\therefore ∠ C = ∠ CAF$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC = 120°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ CAF = ∠ B + ∠ C = 60°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAF) = 120° - 60° = 60°$。
又$\because BC = BE + EF + FC$，且$AE=BE$，$AF=CF$，
$\therefore BC = AE + EF + AF$。
$\because △ AEF$的周长为$AE + EF + AF = 10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$∠ EAF$的度数为$\boxed{60°}$，$BC$的长为$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质 2. 三角形内角和定理 3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线应用的典型基础题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成边和角的等量转化，再结合三角形内角和公式求解，计算量小，侧重对基础性质的掌握和运用。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$是$AB$上一点,$BD=BC$,过点$D$作$AB$的垂线交$AC$于点$E$,连接$CD$,$BE$交于点$F$.求证:$BE$垂直平分$CD$.
答案
证明：
∵ ∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴ △BCE和△BDE都是直角三角形。
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ BC=BD \end{array} $
∴ Rt△BCE ≌ Rt△BDE（HL），
∴ EC = ED。
又∵ BC = BD，
∴ 点B、点E都在线段CD的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ BE垂直平分CD。
∵ ∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴ △BCE和△BDE都是直角三角形。
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ BC=BD \end{array} $
∴ Rt△BCE ≌ Rt△BDE（HL），
∴ EC = ED。
又∵ BC = BD，
∴ 点B、点E都在线段CD的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ BE垂直平分CD。
解析
【分析】
要证明BE垂直平分CD，可依据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。首先已知BD=BC，说明点B在CD的垂直平分线上，接下来只需证明点E到C、D的距离相等，即EC=ED即可。观察EC和ED分别在Rt△BCE和Rt△BDE中，两个三角形均为直角三角形，有公共斜边BE，且直角边BC=BD，可通过HL定理证明两三角形全等，得到EC=ED，最后根据两点确定一条直线，即可得出BE垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴ △BCE和△BDE都是直角三角形。
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ BC=BD \end{array} $
∴ Rt△BCE ≌ Rt△BDE（HL），
∴ EC = ED。
又
∵ BC = BD，
∴ 点B、点E都在线段CD的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ BE垂直平分CD。
【答案】
BE垂直平分CD
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是先通过直角三角形全等得到对应边相等，再结合线段垂直平分线的判定定理推出结论，能有效考查学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明BE垂直平分CD，可依据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。首先已知BD=BC，说明点B在CD的垂直平分线上，接下来只需证明点E到C、D的距离相等，即EC=ED即可。观察EC和ED分别在Rt△BCE和Rt△BDE中，两个三角形均为直角三角形，有公共斜边BE，且直角边BC=BD，可通过HL定理证明两三角形全等，得到EC=ED，最后根据两点确定一条直线，即可得出BE垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴ △BCE和△BDE都是直角三角形。
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ BC=BD \end{array} $
∴ Rt△BCE ≌ Rt△BDE（HL），
∴ EC = ED。
又
∵ BC = BD，
∴ 点B、点E都在线段CD的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ BE垂直平分CD。
【答案】
BE垂直平分CD
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是先通过直角三角形全等得到对应边相等，再结合线段垂直平分线的判定定理推出结论，能有效考查学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,BE平分$∠ ABC$,点E在AC的垂直平分线上,$EF⊥ BC$于点F,$EG⊥ AB$交BA的延长线于点G.求证:
(1)$AG=CF$.
(2)$BC-AB=2CF$.
(1)$AG=CF$.
(2)$BC-AB=2CF$.
答案
证明：
(1) 连接AE、CE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE。
∵ BE平分∠ABC，EG⊥AB，EF⊥BC，
∴ EG = EF，∠G = ∠EFC = 90°。
在Rt△AGE和Rt△CFE中，
$\{\begin{array}{l} AE=CE \\ EG=EF \end{array} $
∴ Rt△AGE ≌ Rt△CFE (HL)，
∴ AG = CF。
(2) 在Rt△BEG和Rt△BEF中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ EG=EF \end{array} $
∴ Rt△BEG ≌ Rt△BEF (HL)，
∴ BG = BF。
∵ BG = AB + AG，BF = BC - CF，且AG = CF，
∴ AB + CF = BC - CF，
整理得：$BC - AB = 2CF$。
(1) 连接AE、CE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE。
∵ BE平分∠ABC，EG⊥AB，EF⊥BC，
∴ EG = EF，∠G = ∠EFC = 90°。
在Rt△AGE和Rt△CFE中，
$\{\begin{array}{l} AE=CE \\ EG=EF \end{array} $
∴ Rt△AGE ≌ Rt△CFE (HL)，
∴ AG = CF。
(2) 在Rt△BEG和Rt△BEF中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ EG=EF \end{array} $
∴ Rt△BEG ≌ Rt△BEF (HL)，
∴ BG = BF。
∵ BG = AB + AG，BF = BC - CF，且AG = CF，
∴ AB + CF = BC - CF，
整理得：$BC - AB = 2CF$。
解析
【分析】
要证明(1)中$AG=CF$，观察两条线段分别在$Rt△ AGE$和$Rt△ CFE$中，可通过证明两三角形全等推导。首先连接$AE$、$CE$，利用线段垂直平分线的性质得到$AE=CE$，再结合角平分线的性质得到$EG=EF$，即可用HL证明两直角三角形全等，得到$AG=CF$。对于(2)，要推导$BC-AB=2CF$，先证明$Rt△ BEG$和$Rt△ BEF$全等得到$BG=BF$，再将$BG$、$BF$分别用含$AB$、$CF$、$BC$的线段表示，结合(1)的结论代换整理即可得证。
【解析】
(1) 连接$AE$、$CE$。
∵ 点$E$在$AC$的垂直平分线上，
∴ $AE = CE$。
∵ $BE$平分$∠ABC$，$EG⊥AB$，$EF⊥BC$，
∴ $EG = EF$，$∠G = ∠EFC = 90°$。
在$Rt△ AGE$和$Rt△ CFE$中，
$\{\begin{array}{l} AE=CE \\ EG=EF \end{array} $
∴ $Rt△ AGE ≌ Rt△ CFE$ (HL)，
∴ $AG = CF$。
(2) 在$Rt△ BEG$和$Rt△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ EG=EF \end{array} $
∴ $Rt△ BEG ≌ Rt△ BEF$ (HL)，
∴ $BG = BF$。
∵ $BG = AB + AG$，$BF = BC - CF$，且$AG = CF$，
∴ $AB + CF = BC - CF$，
整理得：$BC - AB = 2CF$。
【答案】
(1) $AG=CF$得证；(2) $BC-AB=2CF$得证
【知识点】
1. 角平分线的性质；2. 线段垂直平分线的性质；3. 直角三角形全等判定
【点评】
本题综合考查了角平分线、线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确连接辅助线构造全等三角形，熟练掌握相关性质定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要证明(1)中$AG=CF$，观察两条线段分别在$Rt△ AGE$和$Rt△ CFE$中，可通过证明两三角形全等推导。首先连接$AE$、$CE$，利用线段垂直平分线的性质得到$AE=CE$，再结合角平分线的性质得到$EG=EF$，即可用HL证明两直角三角形全等，得到$AG=CF$。对于(2)，要推导$BC-AB=2CF$，先证明$Rt△ BEG$和$Rt△ BEF$全等得到$BG=BF$，再将$BG$、$BF$分别用含$AB$、$CF$、$BC$的线段表示，结合(1)的结论代换整理即可得证。
【解析】
(1) 连接$AE$、$CE$。
∵ 点$E$在$AC$的垂直平分线上，
∴ $AE = CE$。
∵ $BE$平分$∠ABC$，$EG⊥AB$，$EF⊥BC$，
∴ $EG = EF$，$∠G = ∠EFC = 90°$。
在$Rt△ AGE$和$Rt△ CFE$中，
$\{\begin{array}{l} AE=CE \\ EG=EF \end{array} $
∴ $Rt△ AGE ≌ Rt△ CFE$ (HL)，
∴ $AG = CF$。
(2) 在$Rt△ BEG$和$Rt△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l} BE=BE \\ EG=EF \end{array} $
∴ $Rt△ BEG ≌ Rt△ BEF$ (HL)，
∴ $BG = BF$。
∵ $BG = AB + AG$，$BF = BC - CF$，且$AG = CF$，
∴ $AB + CF = BC - CF$，
整理得：$BC - AB = 2CF$。
【答案】
(1) $AG=CF$得证；(2) $BC-AB=2CF$得证
【知识点】
1. 角平分线的性质；2. 线段垂直平分线的性质；3. 直角三角形全等判定
【点评】
本题综合考查了角平分线、线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确连接辅助线构造全等三角形，熟练掌握相关性质定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
