1.已知线段$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AB$所在的直线上有一点$C$，且$BC=6\ \mathrm{cm}$，则线段$AC$的长为（）

A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$18\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$或$6\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$或$18\ \mathrm{cm}$

D

分两种情况计算：①当点C在线段AB上时，$AC=AB-BC=12-6=6\ \mathrm{cm}$；②当点C在线段AB的延长线上时，$AC=AB+BC=12+6=18\ \mathrm{cm}$。因此线段AC的长为$6\ \mathrm{cm}$或$18\ \mathrm{cm}$。

2.已知∠AOB=60°,∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB,射线OD平分∠BOC,则∠COD的度数为（）

A.20°
B.40°
C.20°或30°
D.20°或40°

D

先计算∠AOC的度数：
已知∠AOB=60°，则∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=$\frac{1}{3}×60°=20°$，分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB内部时：
∠BOC=∠AOB - ∠AOC=60°-20°=40°，
因为OD平分∠BOC，所以∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=20°；
2. 当射线OC在∠AOB外部时：
∠BOC=∠AOB + ∠AOC=60°+20°=80°，
因为OD平分∠BOC，所以∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=40°。
综上，∠COD的度数为20°或40°。

3.若$∠ AOC = 100°$，$∠ BOC = 30°$，$OM$，$ON$分别是$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线，则$∠ MON$的度数为.

解：
∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴ $∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$，
$∠ NOC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$。
分两种情况讨论：
① 当射线OB在$∠ AOC$内部时，
$∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = 50° - 15° = 35°$；
② 当射线OB在$∠ AOC$外部时，
$∠ MON = ∠ MOC + ∠ NOC = 50° + 15° = 65°$。
综上，$∠ MON$的度数为$65°$或$35°$。

4.如图,线段AB表示一条已对折的绳子,现从P点处将绳子剪断,剪断后的各段绳子中最长的一段为30 cm.若$AP=\frac{2}{3}BP$,求原来的绳长.

解：设$BP=3x\ \mathrm{cm}$，由$AP=\frac{2}{3}BP$得$AP=2x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当折点为点$B$时，剪断后三段绳子的长度分别为$AP$、$AP$、$2BP$，此时最长段为$2BP$。
由题意得$2BP=30$，即$6x=30$，
解得$x=5$。
原来的绳长为$2AP+2BP=4x+6x=10x=50\ \mathrm{cm}$。
② 当折点为点$A$时，剪断后三段绳子的长度分别为$2AP$、$BP$、$BP$，此时最长段为$2AP$。
由题意得$2AP=30$，即$4x=30$，
解得$x=7.5$。
原来的绳长为$2AP+2BP=4x+6x=10x=75\ \mathrm{cm}$。
综上，原来的绳长为$\boldsymbol{50\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{75\ \mathrm{cm}}$。

5.已知$∠ AOB=60°$，自$O$点引射线$OC$，若$∠ AOC:∠ COB=2:3$.求$OC$与$∠ AOB$的平分线$OD$所成的角的度数.

解：分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
∵ ∠AOC:∠COB = 2:3，∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 60°，
∴ ∠AOC = 60° × $\frac{2}{2+3}$ = 24°，
∵ OD是∠AOB的平分线，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°，
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 30° - 24° = 6°。
② 当射线OC在∠AOB的外部时：
设∠AOC = 2x，∠COB = 3x，由题意得3x - 2x = 60°，
解得x = 60°，
∴ ∠AOC = 120°，
∴ ∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 120° + 30° = 150°。
综上，OC与∠AOB的平分线OD所成的角的度数为6°或150°。