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4. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，两直角边$AB$，$BC$的和为$8$。设$BC=x$。
（1）求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S$关于$x$的函数表达式及$x$的取值范围。
（2）当$x=1,4,6$时，求$S$的值。
（1）求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S$关于$x$的函数表达式及$x$的取值范围。
（2）当$x=1,4,6$时，求$S$的值。
答案
（1）$S=-\frac{1}{2}x^2+4x \ (0＜x＜8)$ （2）$\frac{7}{2},8,6$
解析
【分析】
（1）首先根据BC的长度为x，结合两直角边AB、BC的和为8，先表示出另一条直角边AB的长度；再利用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）列出面积S关于x的关系式，整理为标准的函数形式；最后根据边长为正的实际意义，求出x的取值范围。
（2）第二问直接将给定的x值依次代入第一问得到的函数表达式，分别计算即可得到对应的S值。
【解析】
（1）解：已知$BC=x$，$AB+BC=8$，因此$AB=8-x$。
因为$∠B=90°$，根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}x(8-x)$
整理得$S=-\frac{1}{2}x^2+4x$。
由于三角形边长为正数，因此$\begin{cases}x＞0 \\ 8-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜8$。
（2）解：将$x=1、4、6$分别代入$S=-\frac{1}{2}x^2+4x$计算：
当$x=1$时，$S=-\frac{1}{2}×1^2+4×1=\frac{7}{2}$；
当$x=4$时，$S=-\frac{1}{2}×4^2+4×4=8$；
当$x=6$时，$S=-\frac{1}{2}×6^2+4×6=6$。
【答案】
（1）$S=-\frac{1}{2}x^2+4x \ (0＜x＜8)$ （2）$\frac{7}{2},8,6$
【知识点】
直角三角形面积计算、二次函数列表达式、自变量取值范围
【点评】
本题属于二次函数的基础实际应用题，解题关键是结合几何性质梳理变量间的数量关系，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值限制，整体解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
（1）首先根据BC的长度为x，结合两直角边AB、BC的和为8，先表示出另一条直角边AB的长度；再利用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）列出面积S关于x的关系式，整理为标准的函数形式；最后根据边长为正的实际意义，求出x的取值范围。
（2）第二问直接将给定的x值依次代入第一问得到的函数表达式，分别计算即可得到对应的S值。
【解析】
（1）解：已知$BC=x$，$AB+BC=8$，因此$AB=8-x$。
因为$∠B=90°$，根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}x(8-x)$
整理得$S=-\frac{1}{2}x^2+4x$。
由于三角形边长为正数，因此$\begin{cases}x＞0 \\ 8-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜8$。
（2）解：将$x=1、4、6$分别代入$S=-\frac{1}{2}x^2+4x$计算：
当$x=1$时，$S=-\frac{1}{2}×1^2+4×1=\frac{7}{2}$；
当$x=4$时，$S=-\frac{1}{2}×4^2+4×4=8$；
当$x=6$时，$S=-\frac{1}{2}×6^2+4×6=6$。
【答案】
（1）$S=-\frac{1}{2}x^2+4x \ (0＜x＜8)$ （2）$\frac{7}{2},8,6$
【知识点】
直角三角形面积计算、二次函数列表达式、自变量取值范围
【点评】
本题属于二次函数的基础实际应用题，解题关键是结合几何性质梳理变量间的数量关系，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值限制，整体解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
5. 已知两个变量$x,y$之间的关系式为$y=(a-2)x^2+(b+2)x-3$。
（1）当$a,b$满足什么条件时，$y$是关于$x$的二次函数？
（2）当$a,b$满足什么条件时，$y$是关于$x$的一次函数？
（1）当$a,b$满足什么条件时，$y$是关于$x$的二次函数？
（2）当$a,b$满足什么条件时，$y$是关于$x$的一次函数？
答案
（1）$a≠2,b$取任意实数 （2）$a=2,b≠-2$
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数、二次函数的判定规则：函数的类型由最高次项的次数和对应系数决定。第(1)问要得到二次函数，核心是保证x的最高次数为2，即二次项系数不能为0，一次项系数无限制；第(2)问要得到一次函数，核心是x的最高次数为1，即要消去二次项（二次项系数为0），同时保证一次项存在（一次项系数不为0），按这个逻辑列不等式求解即可。
【解析】
（1）根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数为二次函数。
本题中二次项系数为$a-2$，因此需满足$a-2≠0$，解得$a≠2$；一次项系数的取值不影响二次函数的判定，因此$b$可取任意实数。
（2）根据一次函数的定义：形如$y=kx+m$（$k、m$为常数，且$k≠0$）的函数为一次函数。
要使$y$是关于$x$的一次函数，需满足二次项系数为0且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}a-2=0\\b+2≠0\end{cases}$
分别解得$a=2$，$b≠-2$。
【答案】
（1）$a≠2,b$取任意实数 （2）$a=2,b≠-2$
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对一次函数、二次函数成立条件的理解，解题的关键是牢记不同函数中最高次项系数的限制要求，避免遗漏一次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数、二次函数的判定规则：函数的类型由最高次项的次数和对应系数决定。第(1)问要得到二次函数，核心是保证x的最高次数为2，即二次项系数不能为0，一次项系数无限制；第(2)问要得到一次函数，核心是x的最高次数为1，即要消去二次项（二次项系数为0），同时保证一次项存在（一次项系数不为0），按这个逻辑列不等式求解即可。
【解析】
（1）根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数为二次函数。
本题中二次项系数为$a-2$，因此需满足$a-2≠0$，解得$a≠2$；一次项系数的取值不影响二次函数的判定，因此$b$可取任意实数。
（2）根据一次函数的定义：形如$y=kx+m$（$k、m$为常数，且$k≠0$）的函数为一次函数。
要使$y$是关于$x$的一次函数，需满足二次项系数为0且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}a-2=0\\b+2≠0\end{cases}$
分别解得$a=2$，$b≠-2$。
【答案】
（1）$a≠2,b$取任意实数 （2）$a=2,b≠-2$
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对一次函数、二次函数成立条件的理解，解题的关键是牢记不同函数中最高次项系数的限制要求，避免遗漏一次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示是一个运算程序图，如果输入x的值为2，则输出y的结果是
22
。答案
22
解析
【分析】
解题时首先要理清运算程序的逻辑：先输入x，代入二次函数解析式计算y的值，判断y是否大于10，若大于10直接输出y；若不大于10，则将x的值加2后再次代入计算，重复判断步骤，直到y＞10时输出结果即可。已知初始输入x=2，按该流程逐步计算即可。
【解析】
第一步：初始输入x=2，代入$y=x^2+x+2$得：
$y = 2^2 + 2 + 2 = 4 + 2 + 2 = 8$
∵$8 ＜ 10$，不满足输出条件，
∴将x加2，得新的x值为$2+2=4$。
第二步：将$x=4$代入$y=x^2+x+2$得：
$y = 4^2 + 4 + 2 = 16 + 4 + 2 = 22$
∵$22 ＞ 10$，满足输出条件，
∴输出y的值。
【答案】
22
【知识点】
二次函数求值，程序运算逻辑，代数式计算
【点评】
本题考查对运算程序规则的理解和代数式代入计算的能力，解题关键是读懂程序的循环逻辑，代入数值计算时要细心，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理清运算程序的逻辑：先输入x，代入二次函数解析式计算y的值，判断y是否大于10，若大于10直接输出y；若不大于10，则将x的值加2后再次代入计算，重复判断步骤，直到y＞10时输出结果即可。已知初始输入x=2，按该流程逐步计算即可。
【解析】
第一步：初始输入x=2，代入$y=x^2+x+2$得：
$y = 2^2 + 2 + 2 = 4 + 2 + 2 = 8$
∵$8 ＜ 10$，不满足输出条件，
∴将x加2，得新的x值为$2+2=4$。
第二步：将$x=4$代入$y=x^2+x+2$得：
$y = 4^2 + 4 + 2 = 16 + 4 + 2 = 22$
∵$22 ＞ 10$，满足输出条件，
∴输出y的值。
【答案】
22
【知识点】
二次函数求值，程序运算逻辑，代数式计算
【点评】
本题考查对运算程序规则的理解和代数式代入计算的能力，解题关键是读懂程序的循环逻辑，代入数值计算时要细心，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$（$b,c$为常数），当$x=-3$与$x=1$时，其函数值$y$都为2。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）当$x=-1$时，求对应的函数值$y$。
（3）当函数值$y$为$-1$时，求对应的$x$的值。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）当$x=-1$时，求对应的函数值$y$。
（3）当函数值$y$为$-1$时，求对应的$x$的值。
答案
（1）由$\begin{cases}9-3b+c=2,\\1+b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-1,\end{cases}$所以这个二次函数的表达式为$y=x^2+2x-1$。
（2）当$x=-1$时，$y=-2$。
（3）当函数值$y=-1$时，$x^2+2x-1=-1$，解得$x_1=-2,x_2=0$。
（2）当$x=-1$时，$y=-2$。
（3）当函数值$y=-1$时，$x^2+2x-1=-1$，解得$x_1=-2,x_2=0$。
解析
【分析】
（1）要确定二次函数的表达式，已知函数经过(-3,2)和(1,2)两个点，将两点坐标代入二次函数一般式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，就能确定函数解析式。
（2）求x=-1对应的函数值，只需将x=-1代入第（1）问求出的解析式中直接计算即可。
（3）求y=-1对应的x值，将y=-1代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的取值。
【解析】
（1）将$x=-3,y=2$和$x=1,y=2$分别代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}9-3b+c=2\\1+b+c=2\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去c，得$8-4b=0$，解得$b=2$。
将$b=2$代入$1+b+c=2$，得$1+2+c=2$，解得$c=-1$。
所以二次函数的表达式为$y=x^2+2x-1$。
（2）把$x=-1$代入$y=x^2+2x-1$，得：
$y=(-1)^2+2×(-1)-1=1-2-1=-2$
（3）当$y=-1$时，代入解析式得：
$x^2+2x-1=-1$
整理得$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=-2,x_2=0$。
【答案】
（1）$y=x^2+2x-1$；（2）$y=-2$；（3）$x_1=-2,x_2=0$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数求值，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，考查核心为二次函数的基本运算，解题关键是熟练掌握代入法的运用，以及方程组、一元二次方程的解法，整体运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
（1）要确定二次函数的表达式，已知函数经过(-3,2)和(1,2)两个点，将两点坐标代入二次函数一般式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，就能确定函数解析式。
（2）求x=-1对应的函数值，只需将x=-1代入第（1）问求出的解析式中直接计算即可。
（3）求y=-1对应的x值，将y=-1代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的取值。
【解析】
（1）将$x=-3,y=2$和$x=1,y=2$分别代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}9-3b+c=2\\1+b+c=2\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去c，得$8-4b=0$，解得$b=2$。
将$b=2$代入$1+b+c=2$，得$1+2+c=2$，解得$c=-1$。
所以二次函数的表达式为$y=x^2+2x-1$。
（2）把$x=-1$代入$y=x^2+2x-1$，得：
$y=(-1)^2+2×(-1)-1=1-2-1=-2$
（3）当$y=-1$时，代入解析式得：
$x^2+2x-1=-1$
整理得$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=-2,x_2=0$。
【答案】
（1）$y=x^2+2x-1$；（2）$y=-2$；（3）$x_1=-2,x_2=0$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数求值，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，考查核心为二次函数的基本运算，解题关键是熟练掌握代入法的运用，以及方程组、一元二次方程的解法，整体运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
