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1. 下列函数中，属于二次函数的是(
A.$y=x^2+\frac{1}{x}$
B.$y=\frac{1}{2}x(x-1)$
C.$y=-2x-1$
D.$y=x(x^2+1)$
B
)。A.$y=x^2+\frac{1}{x}$
B.$y=\frac{1}{2}x(x-1)$
C.$y=-2x-1$
D.$y=x(x^2+1)$
答案
B
解析
【分析】
判断函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的核心判定条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先将各选项表达式化简，再对照三个条件逐一排查即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$y=x^2+\frac{1}{x}$中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数要求，排除；
B选项：将$y=\frac{1}{2}x(x-1)$展开得$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$，满足整式、最高次数为2、二次项系数$\frac{1}{2}≠0$的条件，属于二次函数；
C选项：$y=-2x-1$自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求，排除；
D选项：将$y=x(x^2+1)$展开得$y=x^3+x$，自变量最高次数为3，是三次函数，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念；多项式的次数
【点评】
本题属于二次函数识别的基础题型，解题关键是牢记二次函数的判定规则，注意要先化简表达式再判断最高次数，同时避免误选含分式的选项。
【难度系数】
0.8
判断函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的核心判定条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先将各选项表达式化简，再对照三个条件逐一排查即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$y=x^2+\frac{1}{x}$中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数要求，排除；
B选项：将$y=\frac{1}{2}x(x-1)$展开得$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$，满足整式、最高次数为2、二次项系数$\frac{1}{2}≠0$的条件，属于二次函数；
C选项：$y=-2x-1$自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求，排除；
D选项：将$y=x(x^2+1)$展开得$y=x^3+x$，自变量最高次数为3，是三次函数，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念；多项式的次数
【点评】
本题属于二次函数识别的基础题型，解题关键是牢记二次函数的判定规则，注意要先化简表达式再判断最高次数，同时避免误选含分式的选项。
【难度系数】
0.8
2. 写出下表中二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
函数表达式 二次项系数 一次项系数 常数项
$y=x^2 -2x -1$
$y=3x^2 +5$
$y=3x - \frac{1}{2}x^2$
$y=2(x-1)(x+2)$
$y=(x-\sqrt{2})^2 -1$
函数表达式 二次项系数 一次项系数 常数项
$y=x^2 -2x -1$
$y=3x^2 +5$
$y=3x - \frac{1}{2}x^2$
$y=2(x-1)(x+2)$
$y=(x-\sqrt{2})^2 -1$
答案
$1,-2,-1;3,0,5;-\frac{1}{2},3,0;2,2,-4;1,-2\sqrt{2},1$
解析
【分析】
要确定二次函数的各项系数，首先需要将二次函数整理为一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题注意：①系数要包含前面的正负号；②如果函数缺少某一项，对应项的系数为0；③不是一般形式的函数，要先通过整式乘法、去括号、合并同类项化为一般式，再找对应系数。
【解析】
1. 对于$y=x^2-2x-1$，已经是一般形式，因此二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$；
2. 对于$y=3x^2+5$，没有一次项，因此二次项系数为$3$，一次项系数为$0$，常数项为$5$；
3. 对于$y=3x-\frac{1}{2}x^2$，整理为一般式得$y=-\frac{1}{2}x^2+3x+0$，因此二次项系数为$-\frac{1}{2}$，一次项系数为$3$，常数项为$0$；
4. 对于$y=2(x-1)(x+2)$，先展开化简：
$y=2(x^2+2x-x-2)=2(x^2+x-2)=2x^2+2x-4$，因此二次项系数为$2$，一次项系数为$2$，常数项为$-4$；
5. 对于$y=(x-\sqrt{2})^2-1$，用完全平方公式展开化简：
$y=x^2-2\sqrt{2}x+2-1=x^2-2\sqrt{2}x+1$，因此二次项系数为$1$，一次项系数为$-2\sqrt{2}$，常数项为$1$。
【答案】
$1,-2,-1;3,0,5;-\frac{1}{2},3,0;2,2,-4;1,-2\sqrt{2},1$
【知识点】
二次函数的项与系数，整式化简，完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数各项系数的识别，解题时需先将函数化为一般形式，特别注意系数要保留自带的符号，缺项的对应系数为0，避免因漏看符号或未化简函数直接找系数出错。
【难度系数】
0.85
要确定二次函数的各项系数，首先需要将二次函数整理为一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题注意：①系数要包含前面的正负号；②如果函数缺少某一项，对应项的系数为0；③不是一般形式的函数，要先通过整式乘法、去括号、合并同类项化为一般式，再找对应系数。
【解析】
1. 对于$y=x^2-2x-1$，已经是一般形式，因此二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$；
2. 对于$y=3x^2+5$，没有一次项，因此二次项系数为$3$，一次项系数为$0$，常数项为$5$；
3. 对于$y=3x-\frac{1}{2}x^2$，整理为一般式得$y=-\frac{1}{2}x^2+3x+0$，因此二次项系数为$-\frac{1}{2}$，一次项系数为$3$，常数项为$0$；
4. 对于$y=2(x-1)(x+2)$，先展开化简：
$y=2(x^2+2x-x-2)=2(x^2+x-2)=2x^2+2x-4$，因此二次项系数为$2$，一次项系数为$2$，常数项为$-4$；
5. 对于$y=(x-\sqrt{2})^2-1$，用完全平方公式展开化简：
$y=x^2-2\sqrt{2}x+2-1=x^2-2\sqrt{2}x+1$，因此二次项系数为$1$，一次项系数为$-2\sqrt{2}$，常数项为$1$。
【答案】
$1,-2,-1;3,0,5;-\frac{1}{2},3,0;2,2,-4;1,-2\sqrt{2},1$
【知识点】
二次函数的项与系数，整式化简，完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数各项系数的识别，解题时需先将函数化为一般形式，特别注意系数要保留自带的符号，缺项的对应系数为0，避免因漏看符号或未化简函数直接找系数出错。
【难度系数】
0.85
3. 已知二次函数$y=ax^2+bx+2(a≠0)$，当$x=-1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=12$。求这个二次函数的表达式。
答案
$y=x^2+3x+2$
解析
【分析】
本题要求二次函数的表达式，已知函数的一般形式，且给出两组x与y的对应值，可采用待定系数法求解：先将两组x、y的值分别代入一般式，得到关于未知系数a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代回原式即可得到函数表达式。
【解析】
解：将$x=-1,y=0$和$x=2,y=12$分别代入二次函数$y=ax^2+bx+2$中，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) + 2 = 0 \\a×2^2 + b×2 + 2 = 12\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}a - b = -2&① \\2a + b = 5&②\end{cases}$
将①+②，得$3a=3$，解得$a=1$。
把$a=1$代入①，得$1 - b = -2$，解得$b=3$。
将$a=1,b=3$代入$y=ax^2+bx+2$，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y=x^2+3x+2$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式；2.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是准确代入已知条件建立方程组并正确求解，掌握该方法是学习二次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题要求二次函数的表达式，已知函数的一般形式，且给出两组x与y的对应值，可采用待定系数法求解：先将两组x、y的值分别代入一般式，得到关于未知系数a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代回原式即可得到函数表达式。
【解析】
解：将$x=-1,y=0$和$x=2,y=12$分别代入二次函数$y=ax^2+bx+2$中，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) + 2 = 0 \\a×2^2 + b×2 + 2 = 12\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}a - b = -2&① \\2a + b = 5&②\end{cases}$
将①+②，得$3a=3$，解得$a=1$。
把$a=1$代入①，得$1 - b = -2$，解得$b=3$。
将$a=1,b=3$代入$y=ax^2+bx+2$，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y=x^2+3x+2$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式；2.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是准确代入已知条件建立方程组并正确求解，掌握该方法是学习二次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
