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8. 如图，用长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的长度为10 m且BC不超过墙长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x(m)，面积为S(m²)。
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围。
（2）如果要围成面积为36 m²的花圃，AB的长为多少米？
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围。
（2）如果要围成面积为36 m²的花圃，AB的长为多少米？
答案
（1）由题意，得$BC=24-3x$，所以$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$。
因为$\begin{cases}x＞0,\\24-3x＞0,\\24-3x≤10,\end{cases}$所以$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
（2）由$-3x^2+24x=36$，解得$x_1=6,x_2=2$。因为$4\frac{2}{3}≤ x＜8$，所以$x=6$，即AB的长为6米。
因为$\begin{cases}x＞0,\\24-3x＞0,\\24-3x≤10,\end{cases}$所以$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
（2）由$-3x^2+24x=36$，解得$x_1=6,x_2=2$。因为$4\frac{2}{3}≤ x＜8$，所以$x=6$，即AB的长为6米。
解析
【分析】
（1）要求面积S的函数表达式，首先明确长方形面积=长×宽，已知宽AB为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段，长度都为x m，因此平行于墙的边长BC=总篱笆长度-3段垂直篱笆的长度=24-3x，代入面积公式即可得到S与x的函数关系。求自变量x的取值范围时，要结合实际意义：①宽度x必须大于0；②平行于墙的边长BC必须大于0；③BC不能超过墙的最大长度10m，据此列不等式组求解即可。
（2）求面积为36m²时AB的长，只需将S=36代入第一问得到的函数表达式，解一元二次方程，再结合第一问求出的x的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到AB的长度。
【解析】
（1）由题意可知，垂直于墙的篱笆共3段，每段长度为x m，因此平行于墙的边长$BC=24-3x$。
长方形面积$S=AB×BC$，代入得：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
结合实际限制条件列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 24-3x＞0 \\ 24-3x≤10 \end{cases}$
解不等式$24-3x＞0$得$x＜8$；
解不等式$24-3x≤10$得$x≥\frac{14}{3}$；
因此自变量x的取值范围为$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
（2）当花圃面积$S=36\ \mathrm{m}^2$时，代入函数表达式得：
$-3x^2+24x=36$
整理方程得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$
结合x的取值范围$\frac{14}{3}≤ x＜8$，可知$x=2$不符合要求，舍去，因此$x=6$。
【答案】
（1）$S=-3x^2+24x$，自变量x的取值范围是$\frac{14}{3}≤ x＜8$；
（2）AB的长为6米。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，不等式组求解
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的实际应用题，解题时需注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，解方程后要检验根是否符合实际要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）要求面积S的函数表达式，首先明确长方形面积=长×宽，已知宽AB为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段，长度都为x m，因此平行于墙的边长BC=总篱笆长度-3段垂直篱笆的长度=24-3x，代入面积公式即可得到S与x的函数关系。求自变量x的取值范围时，要结合实际意义：①宽度x必须大于0；②平行于墙的边长BC必须大于0；③BC不能超过墙的最大长度10m，据此列不等式组求解即可。
（2）求面积为36m²时AB的长，只需将S=36代入第一问得到的函数表达式，解一元二次方程，再结合第一问求出的x的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到AB的长度。
【解析】
（1）由题意可知，垂直于墙的篱笆共3段，每段长度为x m，因此平行于墙的边长$BC=24-3x$。
长方形面积$S=AB×BC$，代入得：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
结合实际限制条件列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 24-3x＞0 \\ 24-3x≤10 \end{cases}$
解不等式$24-3x＞0$得$x＜8$；
解不等式$24-3x≤10$得$x≥\frac{14}{3}$；
因此自变量x的取值范围为$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
（2）当花圃面积$S=36\ \mathrm{m}^2$时，代入函数表达式得：
$-3x^2+24x=36$
整理方程得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$
结合x的取值范围$\frac{14}{3}≤ x＜8$，可知$x=2$不符合要求，舍去，因此$x=6$。
【答案】
（1）$S=-3x^2+24x$，自变量x的取值范围是$\frac{14}{3}≤ x＜8$；
（2）AB的长为6米。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，不等式组求解
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的实际应用题，解题时需注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，解方程后要检验根是否符合实际要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
9. (多选题)如图，圆O的半径为$x(\mathrm{cm})$，正方形ABCD的边长为$y(\mathrm{cm})$，圆内空白部分的面积为$S(\mathrm{cm}^2)$。下列说法正确的是（
A.若圆O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数
B.若圆O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数
C.若圆O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为正比例函数
D.若圆O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为二次函数
AB
）。A.若圆O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数
B.若圆O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数
C.若圆O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为正比例函数
D.若圆O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为二次函数
答案
AB。提示:因为圆O的半径为$x(\mathrm{cm})$,正方形ABCD的边长为$y(\mathrm{cm})$,所以圆O与正方形ABCD的周长之和为$L_1=2π x+4y$,圆O与正方形ABCD的面积之积为$L_2=π x^2 y^2$,圆内空白部分的面积为$S=π x^2-y^2$。
若圆O与正方形ABCD的周长之和$L_1$为定值,则y关于x的函数关系式为$y=-\frac{1}{2}π x+\frac{1}{4}L_1$,为一次函数,选项A正确。
S关于x的函数关系为$S=(π-\frac{1}{4}π^2)x^2+\frac{1}{4}π L_1 x-\frac{1}{16}L_1^2$,为二次函数,选项B正确。
若圆O与正方形ABCD的面积之积$L_2$为定值,则y关于x的函数关系为$y=\frac{\sqrt{π L_2}}{π x}=\frac{\sqrt{π L_2}/π}{x}$,不是正比例函数,选项C不正确。
S关于x的函数关系为$S=π x^2-\frac{L_2}{π x^2}$,不是二次函数,选项D不正确。
若圆O与正方形ABCD的周长之和$L_1$为定值,则y关于x的函数关系式为$y=-\frac{1}{2}π x+\frac{1}{4}L_1$,为一次函数,选项A正确。
S关于x的函数关系为$S=(π-\frac{1}{4}π^2)x^2+\frac{1}{4}π L_1 x-\frac{1}{16}L_1^2$,为二次函数,选项B正确。
若圆O与正方形ABCD的面积之积$L_2$为定值,则y关于x的函数关系为$y=\frac{\sqrt{π L_2}}{π x}=\frac{\sqrt{π L_2}/π}{x}$,不是正比例函数,选项C不正确。
S关于x的函数关系为$S=π x^2-\frac{L_2}{π x^2}$,不是二次函数,选项D不正确。
解析
【分析】
解题时首先根据圆和正方形的周长、面积公式，先写出二者周长之和、面积之积以及空白部分面积S的表达式，再结合每个选项给出的“定值”条件，将表达式变形整理，最后根据一次函数、正比例函数、二次函数的定义逐一判断选项的正确性即可。
【解析】
首先推导基础表达式：
圆O的周长为$2π x$，正方形ABCD的周长为$4y$，二者周长之和$L_1=2π x+4y$；
圆O的面积为$π x^2$，正方形ABCD的面积为$y^2$，二者面积之积$L_2=π x^2 y^2$；
圆内空白面积为圆面积减正方形面积，即$S=π x^2 - y^2$。
接下来逐个分析选项：
1. 分析A、B选项（周长之和为定值）：
若$L_1$为定值，对$L_1=2π x+4y$变形可得：$4y=-2π x + L_1$，即$y=-\frac{π}{2}x + \frac{L_1}{4}$，符合一次函数$y=kx+b\ (k≠0)$的形式，故A正确。
将$y=-\frac{π}{2}x + \frac{L_1}{4}$代入S的表达式：
$\begin{aligned}S&=π x^2 - (-\frac{π}{2}x + \frac{L_1}{4})^2\\&=π x^2 - (\frac{π^2}{4}x^2 - \frac{π L_1}{4}x + \frac{L_1^2}{16})\\&=(π - \frac{π^2}{4})x^2 + \frac{π L_1}{4}x - \frac{L_1^2}{16}\end{aligned}$
符合二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$的形式，故B正确。
2. 分析C、D选项（面积之积为定值）：
若$L_2$为定值，对$L_2=π x^2 y^2$变形得$y^2=\frac{L_2}{π x^2}$，因$x＞0,y＞0$，故$y=\frac{\sqrt{π L_2}}{π x}$，是反比例函数，不符合正比例函数的定义，故C错误。
将$y^2=\frac{L_2}{π x^2}$代入S的表达式得$S=π x^2 - \frac{L_2}{π x^2}$，式子中含$x$的负二次项，不符合二次函数的定义，故D错误。
【答案】
AB
【知识点】
一次函数的定义，二次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题是函数定义的综合应用题，解题关键是先准确写出各相关量的表达式，再结合给定条件变形得到待判断的函数关系式，最后对照各类函数的定义判断即可，解题时需注意代数式变形的准确性，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据圆和正方形的周长、面积公式，先写出二者周长之和、面积之积以及空白部分面积S的表达式，再结合每个选项给出的“定值”条件，将表达式变形整理，最后根据一次函数、正比例函数、二次函数的定义逐一判断选项的正确性即可。
【解析】
首先推导基础表达式：
圆O的周长为$2π x$，正方形ABCD的周长为$4y$，二者周长之和$L_1=2π x+4y$；
圆O的面积为$π x^2$，正方形ABCD的面积为$y^2$，二者面积之积$L_2=π x^2 y^2$；
圆内空白面积为圆面积减正方形面积，即$S=π x^2 - y^2$。
接下来逐个分析选项：
1. 分析A、B选项（周长之和为定值）：
若$L_1$为定值，对$L_1=2π x+4y$变形可得：$4y=-2π x + L_1$，即$y=-\frac{π}{2}x + \frac{L_1}{4}$，符合一次函数$y=kx+b\ (k≠0)$的形式，故A正确。
将$y=-\frac{π}{2}x + \frac{L_1}{4}$代入S的表达式：
$\begin{aligned}S&=π x^2 - (-\frac{π}{2}x + \frac{L_1}{4})^2\\&=π x^2 - (\frac{π^2}{4}x^2 - \frac{π L_1}{4}x + \frac{L_1^2}{16})\\&=(π - \frac{π^2}{4})x^2 + \frac{π L_1}{4}x - \frac{L_1^2}{16}\end{aligned}$
符合二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$的形式，故B正确。
2. 分析C、D选项（面积之积为定值）：
若$L_2$为定值，对$L_2=π x^2 y^2$变形得$y^2=\frac{L_2}{π x^2}$，因$x＞0,y＞0$，故$y=\frac{\sqrt{π L_2}}{π x}$，是反比例函数，不符合正比例函数的定义，故C错误。
将$y^2=\frac{L_2}{π x^2}$代入S的表达式得$S=π x^2 - \frac{L_2}{π x^2}$，式子中含$x$的负二次项，不符合二次函数的定义，故D错误。
【答案】
AB
【知识点】
一次函数的定义，二次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题是函数定义的综合应用题，解题关键是先准确写出各相关量的表达式，再结合给定条件变形得到待判断的函数关系式，最后对照各类函数的定义判断即可，解题时需注意代数式变形的准确性，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
