知识点 三角形的外角
1. 如图，把$△ ABC$的一边$BC$延长，得到$∠ ACD$. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的.

1. 外角

【分析】
这是一道概念识记类题目，解题时首先回忆三角形外角的相关定义，再将题目中给出的角的特征（由三角形的一边与另一边的延长线组成）和所学概念做匹配，就能直接得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，题目中描述的角完全符合该定义特征，因此此处应填外角。
【答案】
外角
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对基础概念的记忆与理解，只要熟练掌握教材中相关概念的表述即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它的两个内角的和.
几何语言：$∠ ACD=$+.

2. 不相邻；$∠A$；$∠B$

【分析】
解题时首先回忆三角形外角的相关定义与推论推导思路：三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的外角，结合三角形内角和为180°、外角和相邻内角互补的性质，可推导出外角和内角的数量关系，再对应题图找到外角对应的不相邻内角，即可完成填空。
【解析】
我们可以结合已知定理推导该推论：
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$；
2. 观察图形可知$∠ ACD$和$∠ ACB$是邻补角，因此$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$；
3. 对上述两个式子做等量代换，可得到$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
由此可得三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
【答案】
不相邻；$∠ A$；$∠ B$
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对三角形外角性质的识记和简单推导，该性质是后续解决三角形角度计算、几何证明等问题的核心基础之一。
【难度系数】
0.9

例1 如图，下列各角中是$△ ACD$的外角的是().

A.$∠ B$
B.$∠ ACB$
C.$∠ BAC$
D.$∠ DAE$

例1 B

【分析】
要判断哪个角是△ACD的外角，首先需要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，需同时满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。解题时先确定△ACD的顶点和边，再逐一对照四个选项的角，判断是否符合上述条件即可。
【解析】
△ACD的三个顶点为A、C、D，三条边为AC、CD、AD，我们逐一分析选项：
A. ∠B的顶点是B，不是△ACD的顶点，不符合外角定义，错误；
B. ∠ACB的顶点是C（属于△ACD的顶点），一条边是AC（是△ACD的边），另一条边是CB，D、C、B三点共线，CB是△ACD的边CD的延长线，完全符合三角形外角的定义，正确；
C. ∠BAC的顶点为A，但边AB不是△ACD任意边的延长线，不符合外角定义，错误；
D. ∠DAE的顶点为A，但边AE不是△ACD任意边的延长线，不符合外角定义，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对三角形外角定义的掌握，解题时只要紧扣外角的三个特征逐一排查，就能快速得出正确答案，要注意区分不同三角形的边和对应延长线，避免混淆。
【难度系数】
0.8

例2（教材改编）如图①，$∠ 1=$°；如图②，$∠ 2=$°，$∠ 3=$°，$∠ 4=$°。

例2 120 30 100 80

【分析】
解题时可结合三角形内角和定理、邻补角性质、三角形外角性质逐步求解：
1. 求图①的∠1：先根据邻补角和为180°，算出140°外角对应的三角形内角度数，再结合三角形内角和算出与∠1相邻的内角度数，最后利用邻补角性质即可求出∠1，也可直接用三角形外角等于不相邻两内角和求解。
2. 求图②的各角：先由邻补角性质求出∠2，再用三角形内角和求出∠3，最后利用邻补角性质或外角性质求出∠4即可。
【解析】
图①求∠1：
与140°相邻的三角形内角为 $180° - 140° = 40°$，
根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，因此：
$∠1 = 80° + 40° = 120°$。
图②求∠2、∠3、∠4：
1. 求∠2：∠2与150°为邻补角，因此$∠2 = 180° - 150° = 30°$。
2. 求∠3：根据三角形内角和为$180°$，因此$∠3 = 180° - 50° - 30° = 100°$。
3. 求∠4：∠4与∠3为邻补角，因此$∠4 = 180° - 100° = 80°$。
【答案】
120；30；100；80
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，考查对三角形相关角的性质的理解和运用，解题时可灵活选择不同的性质简化计算，注意运算准确即可顺利得分。
【难度系数】
0.85

1. 如图，根据图中的数据，可得∠B的度数为().

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

1. B

【分析】
解题可以从两个思路入手：思路1：先识别出120°是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知外角和其中一个不相邻内角∠A的度数，直接相减即可得到∠B的度数。思路2：先根据平角为180°，求出△ABC中∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°，用内角和减去已知的∠A和∠ACB的度数，即可得到∠B的度数。
【解析】
方法1：利用三角形外角性质求解
∵ 120°是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ $120° = ∠ A + ∠ B$
又
∵ $∠ A=70°$
∴ $∠ B = 120° - 70° = 50°$
方法2：利用内角和定理求解
∵ 平角为$180°$
∴ $∠ ACB = 180° - 120° = 60°$
∵ 三角形内角和为$180°$
∴ $∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 70° - 60° = 50°$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，核心考察三角形内外角的相关性质，两种解题方法都比较直观，熟练掌握外角性质可以更快得出结果，是对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.8

2.（教材改编）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数。

2. 解：$\because ∠B = 35°,\ ∠E = 20°,$
$\therefore ∠ECD = ∠B + ∠E = 55°.$ $\because CE$ 平分 $∠ACD,$
$\therefore ∠ACD=2∠ECD=110°.$ $\therefore ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 75°.$

【分析】
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。首先观察图形，∠ECD是△BCE的外角，可先结合已知的∠B和∠E的度数求出∠ECD的度数；再根据CE是∠ACD的平分线，利用角平分线的定义得到∠ACD的度数；最后∠ACD是△ABC的外角，再次利用三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：$\because ∠B = 35°,\ ∠E = 20°,$
$\therefore ∠ECD = ∠B + ∠E = 55°.$
$\because CE$ 平分 $∠ACD,$
$\therefore ∠ACD=2∠ECD=110°.$
$\therefore ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 110°-35°=75°.$
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是准确识别图形中的三角形外角，结合角平分线的定义，灵活运用三角形外角的性质逐步推导计算。
【难度系数】
0.8

1. 如图，体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图形。若$∠ 2=25°$，则$∠ 1=(\quad)$。

A.$65°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$135°$

1. B

【分析】
解题时先把实际动作抽象为几何图形：首先观察图形可知竖直方向的边与水平地面垂直，存在90°的直角，∠1是图中直角三角形的一个外角。我们可以利用三角形外角的性质求解，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，只需将两个不相邻的内角度数相加即可得到∠1的度数。
【解析】
由图可得，竖直边与水平地面垂直，因此直角为90°，已知∠2=25°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠1是该直角三角形的外角，与它不相邻的两个内角分别为90°的直角和∠2。
因此∠1=90°+∠2=90°+25°=115°。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、垂直的定义
【点评】
本题结合生活中的运动场景考查几何知识的应用，解题关键是准确从实际场景中抽象出几何图形，判断角的位置关系，属于基础题，只要掌握三角形外角的性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8