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2. 如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是(
A.∠1＜∠2＜∠3
B.∠3＜∠2＜∠1
C.∠1＜∠3＜∠2
D.∠2＜∠1＜∠3
A
)。A.∠1＜∠2＜∠3
B.∠3＜∠2＜∠1
C.∠1＜∠3＜∠2
D.∠2＜∠1＜∠3
答案
2. A
解析
【分析】
要比较∠1、∠2、∠3的大小，可借助三角形外角的性质推导：首先回忆结论“三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角”，先判断∠2和∠1的大小，再判断∠3和∠2的大小，最终就能得到三个角的大小关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于与它不相邻的所有内角。
1. ∠2是△ABD的外角，∠1是△ABD中与∠2不相邻的内角，因此$∠ 2 ＞ ∠ 1$；
2. ∠3是△ACD的外角，∠2是△ACD中与∠3不相邻的内角，因此$∠ 3 ＞ ∠ 2$；
结合以上两个结论可得：$∠ 1 ＜ ∠ 2 ＜ ∠ 3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度比较类题目，核心考查对三角形外角性质的应用，解题时只要准确识别每个外角对应的三角形，以及对应的不相邻内角，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
要比较∠1、∠2、∠3的大小，可借助三角形外角的性质推导：首先回忆结论“三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角”，先判断∠2和∠1的大小，再判断∠3和∠2的大小，最终就能得到三个角的大小关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于与它不相邻的所有内角。
1. ∠2是△ABD的外角，∠1是△ABD中与∠2不相邻的内角，因此$∠ 2 ＞ ∠ 1$；
2. ∠3是△ACD的外角，∠2是△ACD中与∠3不相邻的内角，因此$∠ 3 ＞ ∠ 2$；
结合以上两个结论可得：$∠ 1 ＜ ∠ 2 ＜ ∠ 3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度比较类题目，核心考查对三角形外角性质的应用，解题时只要准确识别每个外角对应的三角形，以及对应的不相邻内角，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法正确的是(
A.三角形的一个外角等于两个内角的和
B.三角形的外角大于任何一个内角
C.一个三角形中，至少有一个角大于或等于$60°$
D.三角形的外角是内角的邻补角
C
).A.三角形的一个外角等于两个内角的和
B.三角形的外角大于任何一个内角
C.一个三角形中，至少有一个角大于或等于$60°$
D.三角形的外角是内角的邻补角
答案
3. C
解析
【分析】
这道题考查三角形内角和定理、三角形外角的相关性质，解题时需要逐一验证每个选项的说法是否符合数学定义和定理要求：先回忆三角形外角的定义、外角性质，再结合三角形内角和为180°的规律，逐个排查四个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，选项缺少“不相邻”的限定，说法错误；
选项B：三角形的外角仅大于与它不相邻的内角，比如钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于这个钝角，直角的外角等于直角，因此“外角大于任何一个内角”的说法错误；
选项C：假设三角形三个内角都小于60°，那么三个内角的和就会小于180°，与“三角形内角和为180°”的定理矛盾，因此一个三角形中至少有一个角大于或等于60°，说法正确；
选项D：三角形的外角是和它相邻的内角的邻补角，不是所有内角的邻补角，选项缺少“相邻”的限定，说法错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
这道题属于基础概念辨析题，核心考查对三角形相关性质的准确记忆，易错点是容易忽略概念里“不相邻”“相邻”这类关键限定条件，学习时要注意完整掌握定理、定义的表述。
【难度系数】
0.8
这道题考查三角形内角和定理、三角形外角的相关性质，解题时需要逐一验证每个选项的说法是否符合数学定义和定理要求：先回忆三角形外角的定义、外角性质，再结合三角形内角和为180°的规律，逐个排查四个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，选项缺少“不相邻”的限定，说法错误；
选项B：三角形的外角仅大于与它不相邻的内角，比如钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于这个钝角，直角的外角等于直角，因此“外角大于任何一个内角”的说法错误；
选项C：假设三角形三个内角都小于60°，那么三个内角的和就会小于180°，与“三角形内角和为180°”的定理矛盾，因此一个三角形中至少有一个角大于或等于60°，说法正确；
选项D：三角形的外角是和它相邻的内角的邻补角，不是所有内角的邻补角，选项缺少“相邻”的限定，说法错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
这道题属于基础概念辨析题，核心考查对三角形相关性质的准确记忆，易错点是容易忽略概念里“不相邻”“相邻”这类关键限定条件，学习时要注意完整掌握定理、定义的表述。
【难度系数】
0.8
4.（跨学科）如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点。若∠1=150°，∠2=25°，则∠3的度数为
$55°$
。答案
4. $55°$
解析
【分析】
首先结合凸透镜的光学性质：平行于主光轴的光线经折射后过焦点，过光心的光线传播方向不变；其次利用邻补角的定义求出折射光线与入射光线的锐角夹角，再根据平行线的性质得到折射光线与主光轴的夹角；最后明确∠3是折射光线与主光轴的夹角、过光心光线与主光轴的夹角的和，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 根据邻补角的定义，折射光线与平行于主光轴的入射光线的锐角夹角为：$180° - ∠1 = 180° - 150° = 30°$。
2. 由于入射光线平行于主光轴，根据“两直线平行，内错角相等”，可得折射光线与主光轴的夹角为$30°$。
3. 过光心的光线传播方向不变，因此该光线与主光轴的夹角等于$∠2 = 25°$。
4. 结合图形中角的位置关系，$∠3$为上述两个夹角的和，因此$∠3 = 30° + 25° = 55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合了凸透镜的基础光学规律与数学角度运算知识，侧重考查对基础概念的理解和应用能力，解题的关键是结合光学性质明确各角之间的位置关系。
【难度系数】
0.7
首先结合凸透镜的光学性质：平行于主光轴的光线经折射后过焦点，过光心的光线传播方向不变；其次利用邻补角的定义求出折射光线与入射光线的锐角夹角，再根据平行线的性质得到折射光线与主光轴的夹角；最后明确∠3是折射光线与主光轴的夹角、过光心光线与主光轴的夹角的和，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 根据邻补角的定义，折射光线与平行于主光轴的入射光线的锐角夹角为：$180° - ∠1 = 180° - 150° = 30°$。
2. 由于入射光线平行于主光轴，根据“两直线平行，内错角相等”，可得折射光线与主光轴的夹角为$30°$。
3. 过光心的光线传播方向不变，因此该光线与主光轴的夹角等于$∠2 = 25°$。
4. 结合图形中角的位置关系，$∠3$为上述两个夹角的和，因此$∠3 = 30° + 25° = 55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合了凸透镜的基础光学规律与数学角度运算知识，侧重考查对基础概念的理解和应用能力，解题的关键是结合光学性质明确各角之间的位置关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图，D是$△ ABC$的边BC上一点，且$∠ B=∠ 1$，求证：$∠ 2=∠ BAC$. 
答案
5. 证明：由三角形的外角性质得$∠2 = ∠B + ∠BAD.$
$\because ∠BAC=∠BAD+∠1,\ ∠B=∠1,\ \therefore ∠2=∠BAC.$
$\because ∠BAC=∠BAD+∠1,\ ∠B=∠1,\ \therefore ∠2=∠BAC.$
解析
【分析】
要证明∠2=∠BAC，首先观察∠2的位置，它是△ABD的外角，可根据三角形外角的性质将其拆分为两个不相邻内角的和；再将∠BAC拆分为∠BAD与∠1的和，结合已知∠B=∠1的条件，通过等量代换即可推出两个角相等。
【解析】
证明：由三角形的外角性质得$∠2 = ∠B + ∠BAD$。
$\because ∠BAC=∠BAD+∠1$，$∠B=∠1$，
$\therefore ∠2=∠BAC$。
【答案】
证明：由三角形的外角性质得$∠2 = ∠B + ∠BAD$。
$\because ∠BAC=∠BAD+∠1$，$∠B=∠1$，
$\therefore ∠2=∠BAC$。
【知识点】
三角形外角性质，角的和差关系，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是准确识别三角形的外角，利用外角性质拆分角，再结合角的和差关系和等量代换即可完成证明，有助于巩固三角形外角的相关性质。
【难度系数】
0.8
要证明∠2=∠BAC，首先观察∠2的位置，它是△ABD的外角，可根据三角形外角的性质将其拆分为两个不相邻内角的和；再将∠BAC拆分为∠BAD与∠1的和，结合已知∠B=∠1的条件，通过等量代换即可推出两个角相等。
【解析】
证明：由三角形的外角性质得$∠2 = ∠B + ∠BAD$。
$\because ∠BAC=∠BAD+∠1$，$∠B=∠1$，
$\therefore ∠2=∠BAC$。
【答案】
证明：由三角形的外角性质得$∠2 = ∠B + ∠BAD$。
$\because ∠BAC=∠BAD+∠1$，$∠B=∠1$，
$\therefore ∠2=∠BAC$。
【知识点】
三角形外角性质，角的和差关系，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是准确识别三角形的外角，利用外角性质拆分角，再结合角的和差关系和等量代换即可完成证明，有助于巩固三角形外角的相关性质。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，E和F分别是AC，BC上一点，$EF // AB$，$∠ BCA$的平分线交AB于点D，$∠ MAC$是$△ ABC$的外角。若$∠ ADC=70°$，则$∠ EFC+∠ MAC$的度数是(
A.$100°$
B.$120°$
C.$140°$
D.$150°$
C
)。A.$100°$
B.$120°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
6. C
解析
【分析】解题时我们可以通过设未知角的方式简化计算：首先利用角平分线的性质表示出∠ACB，再结合三角形外角性质得到∠B和所设角的关系，接着根据平行线的性质推出∠EFC与∠B的等量关系，同时用三角形外角性质表示出外角∠MAC，最后将两个目标角相加，消去未知参数即可得到结果。
【解析】设$∠ ACD=∠ BCD=x$，
∵CD平分$∠ BCA$，
∴$∠ ACB=2x$。
∵$∠ ADC$是$△ BCD$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BCD$，
已知$∠ ADC=70°$，代入得$∠ B=70° - x$。
∵$EF// AB$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ EFC=∠ B=70° - x$。
∵$∠ MAC$是$△ ABC$的外角，同理可得$∠ MAC=∠ B+∠ ACB=(70° - x)+2x=70° +x$。
∴$∠ EFC+∠ MAC=(70° -x)+(70° +x)=140°$。
【答案】C
【知识点】三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】本题是三角形基础性质的综合应用题，通过设参数表示未知角的方法可以快速关联各角的关系，计算时参数会自然抵消，无需单独求出参数的具体值即可得到结果，解题时要注意灵活运用设参消参的思路。
【难度系数】0.7
【解析】设$∠ ACD=∠ BCD=x$，
∵CD平分$∠ BCA$，
∴$∠ ACB=2x$。
∵$∠ ADC$是$△ BCD$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BCD$，
已知$∠ ADC=70°$，代入得$∠ B=70° - x$。
∵$EF// AB$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ EFC=∠ B=70° - x$。
∵$∠ MAC$是$△ ABC$的外角，同理可得$∠ MAC=∠ B+∠ ACB=(70° - x)+2x=70° +x$。
∴$∠ EFC+∠ MAC=(70° -x)+(70° +x)=140°$。
【答案】C
【知识点】三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】本题是三角形基础性质的综合应用题，通过设参数表示未知角的方法可以快速关联各角的关系，计算时参数会自然抵消，无需单独求出参数的具体值即可得到结果，解题时要注意灵活运用设参消参的思路。
【难度系数】0.7
7. 如图，α，β，γ是$△ ABC$的三个外角，若$α:β:\gamma=2:3:4$，则$∠ ACB$的度数为
$20°$
。答案
7. $20°$
解析
【分析】
首先回忆三角形外角和定理：任意三角形的三个外角和为360°。题目给出三个外角的比例，我们可以通过设未知数的方式，根据外角和列方程求出每个外角的度数；再观察图形可知∠ACB和外角γ互为邻补角，二者之和为180°，因此用180°减去γ的度数就能得到∠ACB的度数。
【解析】
∵ 三角形的三个外角和为360°，且α:β:γ=2:3:4
∴ 设α=2x，β=3x，γ=4x，可得方程：
$2x + 3x + 4x = 360°$
解得：$x=40°$
∴ $\gamma = 4x = 4×40°=160°$
又
∵ γ是∠ACB的外角，二者互为邻补角
∴ $∠ ACB = 180° - \gamma = 180° - 160° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
1. 三角形外角和性质
2. 邻补角性质
3. 比例计算应用
【点评】
本题是三角形外角相关的基础计算题，核心是利用三角形外角和为360°的性质结合比例关系求出对应外角，再根据外角与相邻内角互补的关系计算内角，解题时注意找准与所求内角对应的外角即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形外角和定理：任意三角形的三个外角和为360°。题目给出三个外角的比例，我们可以通过设未知数的方式，根据外角和列方程求出每个外角的度数；再观察图形可知∠ACB和外角γ互为邻补角，二者之和为180°，因此用180°减去γ的度数就能得到∠ACB的度数。
【解析】
∵ 三角形的三个外角和为360°，且α:β:γ=2:3:4
∴ 设α=2x，β=3x，γ=4x，可得方程：
$2x + 3x + 4x = 360°$
解得：$x=40°$
∴ $\gamma = 4x = 4×40°=160°$
又
∵ γ是∠ACB的外角，二者互为邻补角
∴ $∠ ACB = 180° - \gamma = 180° - 160° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
1. 三角形外角和性质
2. 邻补角性质
3. 比例计算应用
【点评】
本题是三角形外角相关的基础计算题，核心是利用三角形外角和为360°的性质结合比例关系求出对应外角，再根据外角与相邻内角互补的关系计算内角，解题时注意找准与所求内角对应的外角即可。
【难度系数】
0.8
8. 如图，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数. 
答案
8. 解：在$△ ABN$中，$∠A + ∠B = 180° - ∠ANB$，又$∠ANB=∠PNM$，$\therefore ∠A + ∠B = 180° - ∠PNM.$ 同理，$∠C+∠D=180°-∠NPM$，$∠E+∠F=180°-∠PMN.$ 又$∠PNM + ∠NPM + ∠PMN = 180°,$
$\therefore ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 540°-(∠PNM+∠NPM+∠PMN)=540°-180°=360°.$
$\therefore ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 540°-(∠PNM+∠NPM+∠PMN)=540°-180°=360°.$
解析
【分析】
本题要求六个分散角的和，解题思路如下：首先观察图形，可知∠A、∠B在△ABN中，∠C、∠D在△CDP中，∠E、∠F在△EFM中，我们可以先利用三角形内角和定理，分别表示出每组两个角的和；再结合对顶角相等的性质，将每组和式中的第三个角替换为中间△PMN的三个内角；最后将三组和式相加，结合三角形内角和为180°，即可计算出六个角的总度数。
【解析】
在$△ ABN$中，根据三角形内角和定理得：$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ ANB$，
∵$∠ ANB$与$∠ PNM$是对顶角，
∴$∠ ANB=∠ PNM$，
∴$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ PNM$。
同理，在$△ CDP$中可得：$∠ C+∠D=180°-∠NPM$；
在$△ EFM$中可得：$∠ E+∠F=180°-∠PMN$。
将以上三个等式左右分别相加得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 180°×3 - (∠ PNM+∠ NPM+∠ PMN)$
又
∵$∠ PNM、∠ NPM、∠ PMN$是$△ PMN$的三个内角，
∴$∠ PNM + ∠ NPM + ∠ PMN = 180°$，
代入上式得：原式$= 540°-180°=360°$。
【答案】
$360°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 对顶角相等
【点评】
本题是角度求和类的常见题型，解题关键是灵活运用三角形内角和与对顶角的性质，将分散的待求角转化为易计算的组合形式，通过已知的三角形内角和固定值推导结果，对几何转化思想有一定的要求。
【难度系数】
0.7
本题要求六个分散角的和，解题思路如下：首先观察图形，可知∠A、∠B在△ABN中，∠C、∠D在△CDP中，∠E、∠F在△EFM中，我们可以先利用三角形内角和定理，分别表示出每组两个角的和；再结合对顶角相等的性质，将每组和式中的第三个角替换为中间△PMN的三个内角；最后将三组和式相加，结合三角形内角和为180°，即可计算出六个角的总度数。
【解析】
在$△ ABN$中，根据三角形内角和定理得：$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ ANB$，
∵$∠ ANB$与$∠ PNM$是对顶角，
∴$∠ ANB=∠ PNM$，
∴$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ PNM$。
同理，在$△ CDP$中可得：$∠ C+∠D=180°-∠NPM$；
在$△ EFM$中可得：$∠ E+∠F=180°-∠PMN$。
将以上三个等式左右分别相加得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 180°×3 - (∠ PNM+∠ NPM+∠ PMN)$
又
∵$∠ PNM、∠ NPM、∠ PMN$是$△ PMN$的三个内角，
∴$∠ PNM + ∠ NPM + ∠ PMN = 180°$，
代入上式得：原式$= 540°-180°=360°$。
【答案】
$360°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 对顶角相等
【点评】
本题是角度求和类的常见题型，解题关键是灵活运用三角形内角和与对顶角的性质，将分散的待求角转化为易计算的组合形式，通过已知的三角形内角和固定值推导结果，对几何转化思想有一定的要求。
【难度系数】
0.7
