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4.【教材P105习题T10变式】阅读材料:对于中心对称图形,过对称中心的任意一条直线都能把这个图形分成全等的两部分.如图28-2-18:
图28-2-18
尝试应用:将图28-2-19中的图形分成面积相等的两部分(不写作法,保留作图痕迹).
图28-2-19
图28-2-18
尝试应用:将图28-2-19中的图形分成面积相等的两部分(不写作法,保留作图痕迹).
图28-2-19
答案
4.如答图28-2-5(第2个图形画法不唯一)
解析
【分析】
解决这类组合图形面积平分问题，我们可以利用中心对称图形的性质推导方法：首先回忆核心结论：过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将该图形分为面积相等的两部分。题中三个图形均是由两个中心对称图形组合而成，因此我们只需要先分别找到每个组合图形内两个独立中心对称图形的对称中心，再过这两个对称中心作直线，这条直线就能同时平分两个图形的面积，最终实现整个组合图形的面积平分。
【解析】
1. 第一个图形：组合部分为圆和矩形，圆的对称中心是圆心，矩形的对称中心是两条对角线的交点，过这两个点作直线即可平分整体面积。
2. 第二个图形：组合部分为大矩形和小矩形，分别作两个矩形的对角线，得到各自对角线的交点（即两个矩形的对称中心），过这两个交点作直线即可平分整体面积，该图形画法不唯一，只要所作直线同时经过两个对称中心即可。
3. 第三个图形：组合部分为平行四边形和圆，平行四边形的对称中心是其对角线交点，圆的对称中心是圆心，过这两个点作直线即可平分整体面积。
【答案】
如答图28-2-5(第2个图形画法不唯一)
【知识点】
中心对称图形性质，对称中心确定，组合图形面积等分
【点评】
本题是中心对称图形性质的拓展应用题，解题核心是灵活运用中心对称图形的面积平分规律，遇到组合图形时先拆分出基础的中心对称图形，再分别确定对称中心连线即可，能有效锻炼学生的图形观察能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解决这类组合图形面积平分问题，我们可以利用中心对称图形的性质推导方法：首先回忆核心结论：过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将该图形分为面积相等的两部分。题中三个图形均是由两个中心对称图形组合而成，因此我们只需要先分别找到每个组合图形内两个独立中心对称图形的对称中心，再过这两个对称中心作直线，这条直线就能同时平分两个图形的面积，最终实现整个组合图形的面积平分。
【解析】
1. 第一个图形：组合部分为圆和矩形，圆的对称中心是圆心，矩形的对称中心是两条对角线的交点，过这两个点作直线即可平分整体面积。
2. 第二个图形：组合部分为大矩形和小矩形，分别作两个矩形的对角线，得到各自对角线的交点（即两个矩形的对称中心），过这两个交点作直线即可平分整体面积，该图形画法不唯一，只要所作直线同时经过两个对称中心即可。
3. 第三个图形：组合部分为平行四边形和圆，平行四边形的对称中心是其对角线交点，圆的对称中心是圆心，过这两个点作直线即可平分整体面积。
【答案】
如答图28-2-5(第2个图形画法不唯一)
【知识点】
中心对称图形性质，对称中心确定，组合图形面积等分
【点评】
本题是中心对称图形性质的拓展应用题，解题核心是灵活运用中心对称图形的面积平分规律，遇到组合图形时先拆分出基础的中心对称图形，再分别确定对称中心连线即可，能有效锻炼学生的图形观察能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图28－2－20，菱形ABCD的对角线相交于点O，E，F在线段BD上，且BE＝DF，根据已知条件回答下列问题.
(1)四边形AECF是不是中心对称图形？说明理由.
(2)四边形AECF的对称中心是什么？
(1)四边形AECF是不是中心对称图形？说明理由.
(2)四边形AECF的对称中心是什么？
答案
1.解:(1)四边形AECF是中心对称图形.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC和BD互相平分，
即OA=OC,OB=OD.
又
∵BE=DF,
∴OE=OF,
即AC和EF互相平分，
∴四边形AECF是中心对称图形.
(2)四边形AECF的对称中心是点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC和BD互相平分，
即OA=OC,OB=OD.
又
∵BE=DF,
∴OE=OF,
即AC和EF互相平分，
∴四边形AECF是中心对称图形.
(2)四边形AECF的对称中心是点O.
解析
【分析】
要判断四边形AECF是否为中心对称图形，可先判定其形状：首先利用菱形对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OB=OD；再结合已知BE=DF，可推导出OE=OF，由此可得四边形AECF的对角线互相平分，即该四边形是平行四边形，而平行四边形是中心对称图形，即可完成第一问的证明；第二问根据平行四边形的对称中心是对角线交点，直接得出结果即可。
【解析】
(1) 四边形AECF是中心对称图形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC和BD互相平分，即$OA=OC$，$OB=OD$。
又
∵ $BE=DF$，
∴ $OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$，
∴ AC和EF互相平分，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∵ 平行四边形是中心对称图形，
∴ 四边形AECF是中心对称图形。
(2) 平行四边形的对称中心为对角线的交点，因此四边形AECF的对称中心是点O。
【答案】
(1) 四边形AECF是中心对称图形，理由见上述解析；
(2) 四边形AECF的对称中心是点O。
【知识点】
菱形的性质；中心对称图形；平行四边形的判定
【点评】
本题为基础类题目，解题关键是结合菱形性质推导得出四边形AECF的对角线互相平分，进而判定其为平行四边形，再结合中心对称图形的相关性质求解。
【难度系数】
0.8
要判断四边形AECF是否为中心对称图形，可先判定其形状：首先利用菱形对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OB=OD；再结合已知BE=DF，可推导出OE=OF，由此可得四边形AECF的对角线互相平分，即该四边形是平行四边形，而平行四边形是中心对称图形，即可完成第一问的证明；第二问根据平行四边形的对称中心是对角线交点，直接得出结果即可。
【解析】
(1) 四边形AECF是中心对称图形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC和BD互相平分，即$OA=OC$，$OB=OD$。
又
∵ $BE=DF$，
∴ $OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$，
∴ AC和EF互相平分，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∵ 平行四边形是中心对称图形，
∴ 四边形AECF是中心对称图形。
(2) 平行四边形的对称中心为对角线的交点，因此四边形AECF的对称中心是点O。
【答案】
(1) 四边形AECF是中心对称图形，理由见上述解析；
(2) 四边形AECF的对称中心是点O。
【知识点】
菱形的性质；中心对称图形；平行四边形的判定
【点评】
本题为基础类题目，解题关键是结合菱形性质推导得出四边形AECF的对角线互相平分，进而判定其为平行四边形，再结合中心对称图形的相关性质求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图28－2－21，已知矩形ABCD各顶点的坐标分别为$A(0,4),B(2,0),C(8,3),D(6,7)$，直线$y=kx+1$平分矩形ABCD的面积，求k的值.
答案
2.解:设P为矩形ABCD的对称中心，
则P点坐标为$(4,\frac{7}{2})$.
∵直线$y=kx+1$平分矩形面积，
故此直线要经过点P.
$\therefore \frac{7}{2}=4k+1,\therefore k=\frac{5}{8}.$
点拨:矩形是中心对称图形，经过对称中心的直线必平分这个图形的面积.
则P点坐标为$(4,\frac{7}{2})$.
∵直线$y=kx+1$平分矩形面积，
故此直线要经过点P.
$\therefore \frac{7}{2}=4k+1,\therefore k=\frac{5}{8}.$
点拨:矩形是中心对称图形，经过对称中心的直线必平分这个图形的面积.
解析
【分析】
要解决直线平分矩形面积的问题，首先回忆矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质：过对称中心的直线一定平分该图形的面积，因此解题步骤可分为两步：第一步先求矩形的对称中心，即矩形对角线的中点，用中点坐标公式计算即可；第二步由于平分面积的直线必过对称中心，将中点坐标代入直线解析式，就能求出k的值。
【解析】
解：矩形为中心对称图形，对称中心是其对角线的交点，即对角线的中点。
取对角线端点$A(0,4)$、$C(8,3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得对称中心P的坐标为：
横坐标：$\frac{0+8}{2}=4$，纵坐标：$\frac{4+3}{2}=\frac{7}{2}$，即$P(4,\frac{7}{2})$。
$\because$直线$y=kx+1$平分矩形ABCD的面积，$\therefore$该直线经过对称中心P。
将$P(4,\frac{7}{2})$代入$y=kx+1$，得：
$\frac{7}{2}=4k+1$
移项计算得$4k=\frac{5}{2}$，解得$k=\frac{5}{8}$。
【答案】
$k=\frac{5}{8}$
【知识点】
中心对称图形性质；中点坐标计算；一次函数求值
【点评】
本题利用中心对称图形的性质简化了求解过程，无需复杂的面积计算，只要掌握“过中心对称图形对称中心的直线平分其面积”这一核心性质，结合一次函数的代入求值即可解题。
【难度系数】
0.7
要解决直线平分矩形面积的问题，首先回忆矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质：过对称中心的直线一定平分该图形的面积，因此解题步骤可分为两步：第一步先求矩形的对称中心，即矩形对角线的中点，用中点坐标公式计算即可；第二步由于平分面积的直线必过对称中心，将中点坐标代入直线解析式，就能求出k的值。
【解析】
解：矩形为中心对称图形，对称中心是其对角线的交点，即对角线的中点。
取对角线端点$A(0,4)$、$C(8,3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得对称中心P的坐标为：
横坐标：$\frac{0+8}{2}=4$，纵坐标：$\frac{4+3}{2}=\frac{7}{2}$，即$P(4,\frac{7}{2})$。
$\because$直线$y=kx+1$平分矩形ABCD的面积，$\therefore$该直线经过对称中心P。
将$P(4,\frac{7}{2})$代入$y=kx+1$，得：
$\frac{7}{2}=4k+1$
移项计算得$4k=\frac{5}{2}$，解得$k=\frac{5}{8}$。
【答案】
$k=\frac{5}{8}$
【知识点】
中心对称图形性质；中点坐标计算；一次函数求值
【点评】
本题利用中心对称图形的性质简化了求解过程，无需复杂的面积计算，只要掌握“过中心对称图形对称中心的直线平分其面积”这一核心性质，结合一次函数的代入求值即可解题。
【难度系数】
0.7
