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4 从立体图形到平面图形(第2课时)
课堂精要·梳理内容
常见几何体的表面展开图
名称
立体图形
表面展开图
底面形状
侧面形状
侧面展开图的形状
正方体
①
正方形
长方形
长方体
长方形
②
长方形
五棱柱
五边形
长方形
③
圆柱
④
曲面
长方形
圆锥
圆
曲面
⑤
课堂精要·梳理内容
常见几何体的表面展开图
名称
立体图形
表面展开图
底面形状
侧面形状
侧面展开图的形状
正方体
①
正方形
正方形
长方形
长方体
长方形
②
长方形
长方形
五棱柱
五边形
长方形
③
长方形
圆柱
④
圆
曲面
长方形
圆锥
圆
曲面
⑤
扇形
答案
①正方形 ②长方形 ③长方形 ④圆 ⑤扇形
解析
【分析】
解题时我们需要结合常见几何体的基本特征，逐一对应每个几何体的底面、侧面及侧面展开图的属性：首先回忆正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥的面的特点，再对应空缺位置逐一填写即可。
【解析】
①正方体的6个面均为正方形，因此它的底面形状是正方形；
②长方体的侧面都属于长方形（特殊长方体存在正方形侧面，正方形是特殊的长方形），因此侧面形状为长方形；
③五棱柱的侧面由5个大小相等的长方形组成，将侧面沿棱剪开后展开，得到的整体图形是长方形；
④圆柱的上下两个底面是完全相同的圆形，因此底面形状为圆；
⑤圆锥的侧面是曲面，将其侧面展开后得到的图形是扇形，因此侧面展开图的形状为扇形。
【答案】
①正方形 ②长方形 ③长方形 ④圆 ⑤扇形
【知识点】
常见几何体特征；几何体的展开图；立体图形与平面图形的转化
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要要求学生熟练掌握常见几何体的面的特点以及对应的展开图形状，是学习几何体相关知识的基础内容。
【难度系数】
0.9
解题时我们需要结合常见几何体的基本特征，逐一对应每个几何体的底面、侧面及侧面展开图的属性：首先回忆正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥的面的特点，再对应空缺位置逐一填写即可。
【解析】
①正方体的6个面均为正方形，因此它的底面形状是正方形；
②长方体的侧面都属于长方形（特殊长方体存在正方形侧面，正方形是特殊的长方形），因此侧面形状为长方形；
③五棱柱的侧面由5个大小相等的长方形组成，将侧面沿棱剪开后展开，得到的整体图形是长方形；
④圆柱的上下两个底面是完全相同的圆形，因此底面形状为圆；
⑤圆锥的侧面是曲面，将其侧面展开后得到的图形是扇形，因此侧面展开图的形状为扇形。
【答案】
①正方形 ②长方形 ③长方形 ④圆 ⑤扇形
【知识点】
常见几何体特征；几何体的展开图；立体图形与平面图形的转化
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要要求学生熟练掌握常见几何体的面的特点以及对应的展开图形状，是学习几何体相关知识的基础内容。
【难度系数】
0.9
1.将圆柱的表面展开后得到的平面图形是（
B
）。答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆圆柱的结构及展开后对应平面图形的特征：圆柱由2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面组成，侧面沿高展开后为长方形，因此圆柱的表面展开图应由1个长方形+2个大小相等的圆构成。再逐一排查选项，排除不符合该特征的选项即可得到答案。
【解析】
我们结合圆柱展开图的特征逐一分析选项：
1. 选项A：仅含有1个圆形，缺少1个圆柱底面，不符合圆柱展开图的构成，排除；
2. 选项B：由1个长方形和2个大小相等的圆形组成，符合圆柱侧面展开为长方形、上下底面为等大圆形的特征，符合要求；
3. 选项C：上下两个面为小长方形，是长方体展开图的相关特征，不符合圆柱的展开图，排除；
4. 选项D：含有扇形，是圆锥展开图的相关特征，不符合圆柱的展开图，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱的展开图；立体图形展开图识别
【点评】
本题属于基础题，主要考查常见立体图形表面展开图的识别，熟记圆柱、圆锥、长方体等常见立体图形的展开图特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆柱的结构及展开后对应平面图形的特征：圆柱由2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面组成，侧面沿高展开后为长方形，因此圆柱的表面展开图应由1个长方形+2个大小相等的圆构成。再逐一排查选项，排除不符合该特征的选项即可得到答案。
【解析】
我们结合圆柱展开图的特征逐一分析选项：
1. 选项A：仅含有1个圆形，缺少1个圆柱底面，不符合圆柱展开图的构成，排除；
2. 选项B：由1个长方形和2个大小相等的圆形组成，符合圆柱侧面展开为长方形、上下底面为等大圆形的特征，符合要求；
3. 选项C：上下两个面为小长方形，是长方体展开图的相关特征，不符合圆柱的展开图，排除；
4. 选项D：含有扇形，是圆锥展开图的相关特征，不符合圆柱的展开图，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱的展开图；立体图形展开图识别
【点评】
本题属于基础题，主要考查常见立体图形表面展开图的识别，熟记圆柱、圆锥、长方体等常见立体图形的展开图特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图所示的平面图形,不可能围成圆锥的是(
D
)。答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆圆锥的展开图特征：圆锥由侧面和底面两部分组成，侧面展开后是扇形，底面是圆形；围成圆锥时，底面圆的周长需要等于扇形的弧长，且圆要和扇形的弧形边相接才能拼接成型。接下来先判断各选项中的图形是否包含扇形，再判断圆的连接是否符合要求即可。
【解析】
要判断平面图形能否围成圆锥，需结合圆锥展开图的特点分析：
1. 圆锥的侧面展开图是扇形（有一条弧形边、两条直边），底面是圆形，且底面圆需要与扇形的弧形边拼接，二者周长相等时即可围成圆锥。
2. 选项A、B、C中都有扇形，只要扇形弧长和小圆周长匹配，就可以围成圆锥；
3. 选项D的上方图形是三角形，所有边都是直线段，没有弧形边，不是扇形，无法作为圆锥的侧面，也不能和下方的小圆拼接围成圆锥。
因此不可能围成圆锥的是D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的展开图，立体图形的平面展开图
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记圆锥侧面展开图是扇形，注意区分扇形和三角形的形态差异，避免将三角形错当成可围成圆锥侧面的图形。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆锥的展开图特征：圆锥由侧面和底面两部分组成，侧面展开后是扇形，底面是圆形；围成圆锥时，底面圆的周长需要等于扇形的弧长，且圆要和扇形的弧形边相接才能拼接成型。接下来先判断各选项中的图形是否包含扇形，再判断圆的连接是否符合要求即可。
【解析】
要判断平面图形能否围成圆锥，需结合圆锥展开图的特点分析：
1. 圆锥的侧面展开图是扇形（有一条弧形边、两条直边），底面是圆形，且底面圆需要与扇形的弧形边拼接，二者周长相等时即可围成圆锥。
2. 选项A、B、C中都有扇形，只要扇形弧长和小圆周长匹配，就可以围成圆锥；
3. 选项D的上方图形是三角形，所有边都是直线段，没有弧形边，不是扇形，无法作为圆锥的侧面，也不能和下方的小圆拼接围成圆锥。
因此不可能围成圆锥的是D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的展开图，立体图形的平面展开图
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记圆锥侧面展开图是扇形，注意区分扇形和三角形的形态差异，避免将三角形错当成可围成圆锥侧面的图形。
【难度系数】
0.8
3.下列图形能通过折叠围成一个三棱柱的是(
C
)。答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个图形能围成三棱柱，首先要明确三棱柱展开图的核心特征：三棱柱有2个全等的三角形底面，3个长方形侧面，展开后两个三角形底面要分别在3个侧面组成的长方形的两侧，且折叠后不存在面重叠的情况。我们可以根据这个特征逐个排除错误选项：首先看底面位置是否正确，再看折叠后有没有重叠的面，就能选出正确答案。
【解析】
我们结合三棱柱展开图的特征逐一分析选项：
A. 两个三角形底面在侧面的同一侧，折叠后两个三角形会重合，缺少一个底面，无法围成三棱柱，故A错误；
B. 两个三角形底面都在侧面展开图的同一端，折叠后两个底面集中在同一侧，另一端没有底面，无法围成三棱柱，故B错误；
C. 包含2个全等的三角形，且分别位于3个长方形侧面的两侧，折叠后各面没有重叠，恰好可以围成三棱柱，故C正确；
D. 侧面的长方形折叠后会出现重叠，无法围成三棱柱，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三棱柱展开图；展开图折叠；平面图形与立体图形转换
【点评】
本题考查三棱柱展开图的识别，解题关键是掌握三棱柱展开图的结构特点，通过判断底面位置、是否存在重叠面即可快速排除错误选项，是对空间想象能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形能围成三棱柱，首先要明确三棱柱展开图的核心特征：三棱柱有2个全等的三角形底面，3个长方形侧面，展开后两个三角形底面要分别在3个侧面组成的长方形的两侧，且折叠后不存在面重叠的情况。我们可以根据这个特征逐个排除错误选项：首先看底面位置是否正确，再看折叠后有没有重叠的面，就能选出正确答案。
【解析】
我们结合三棱柱展开图的特征逐一分析选项：
A. 两个三角形底面在侧面的同一侧，折叠后两个三角形会重合，缺少一个底面，无法围成三棱柱，故A错误；
B. 两个三角形底面都在侧面展开图的同一端，折叠后两个底面集中在同一侧，另一端没有底面，无法围成三棱柱，故B错误；
C. 包含2个全等的三角形，且分别位于3个长方形侧面的两侧，折叠后各面没有重叠，恰好可以围成三棱柱，故C正确；
D. 侧面的长方形折叠后会出现重叠，无法围成三棱柱，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三棱柱展开图；展开图折叠；平面图形与立体图形转换
【点评】
本题考查三棱柱展开图的识别，解题关键是掌握三棱柱展开图的结构特点，通过判断底面位置、是否存在重叠面即可快速排除错误选项，是对空间想象能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
4.一个六棱柱的底面边长都是5 cm，侧棱长是4 cm，则它的侧面积是
120 cm²
。答案
4.$120\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆棱柱的结构特征：六棱柱有6个完全相同的长方形侧面，侧面积就是6个侧面的面积之和。我们可以先计算1个长方形侧面的面积，再乘以侧面总个数6，就能得到六棱柱的总侧面积。
【解析】
第一步：确定六棱柱的侧面数量与形状：六棱柱共有6个侧面，每个侧面都是长方形，长方形的长为底面边长5cm，宽为侧棱长4cm。
第二步：计算单个侧面的面积：根据长方形面积公式$S=长×宽$，得单个侧面面积为$5×4=20\ \mathrm{cm}^2$。
第三步：计算总侧面积：总侧面积为6个侧面面积之和，即$6×20=120\ \mathrm{cm}^2$。
也可通过底面周长乘侧棱长直接计算：底面周长为$6×5=30\ \mathrm{cm}$，侧面积$=30×4=120\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$120\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
棱柱的特征；长方形面积计算；棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是明确棱柱侧面的构成特点，解题时注意不要记错六棱柱的侧面数量，掌握棱柱的基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆棱柱的结构特征：六棱柱有6个完全相同的长方形侧面，侧面积就是6个侧面的面积之和。我们可以先计算1个长方形侧面的面积，再乘以侧面总个数6，就能得到六棱柱的总侧面积。
【解析】
第一步：确定六棱柱的侧面数量与形状：六棱柱共有6个侧面，每个侧面都是长方形，长方形的长为底面边长5cm，宽为侧棱长4cm。
第二步：计算单个侧面的面积：根据长方形面积公式$S=长×宽$，得单个侧面面积为$5×4=20\ \mathrm{cm}^2$。
第三步：计算总侧面积：总侧面积为6个侧面面积之和，即$6×20=120\ \mathrm{cm}^2$。
也可通过底面周长乘侧棱长直接计算：底面周长为$6×5=30\ \mathrm{cm}$，侧面积$=30×4=120\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$120\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
棱柱的特征；长方形面积计算；棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是明确棱柱侧面的构成特点，解题时注意不要记错六棱柱的侧面数量，掌握棱柱的基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
5.如图,长方形纸片上的阴影部分恰好能围成一个圆柱(阴影部分的四边形是正方形),设圆的半径为R。(1)用含R的代数式表示圆柱的体积;(2)当R=8 cm,π≈3.14时,求圆柱的体积(结果精确到0.1 cm³)。
(第5题)
(第5题)答案
5.(1)$2π^2R^3$
(2)$10 096.2\ \mathrm{cm}^3$
(2)$10 096.2\ \mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆柱体积计算公式为$V=底面积×高$。已知阴影正方形是圆柱的侧面展开图，因此正方形的边长同时等于圆柱底面圆的周长和圆柱的高。我们先根据圆的半径$R$求出底面周长得到圆柱的高，再结合圆的面积公式求出底面积，代入体积公式即可得到含$R$的代数式；第二问直接将数值代入第一问得到的代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为阴影正方形是圆柱的侧面展开图，所以圆柱的高等于底面圆的周长。
底面圆的周长$C=2π R$，即圆柱的高$h=2π R$。
圆柱的底面积$S=π R^2$。
根据圆柱体积公式$V=S· h$，代入得：
$V=π R^2 × 2π R=2π^2 R^3$。
(2) 当$R=8\ \mathrm{cm}$，$π\approx3.14$时，代入$V=2π^2 R^3$得：
$V=2×(3.14)^2×8^3$
$=2×9.8596×512$
$=10096.2304\approx10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1)$2π^2R^3$；(2)$10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱展开图特征，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是建立圆柱各部分和展开图的对应关系，明确侧面展开正方形的边长同时对应圆柱的高和底面周长，计算时注意运算顺序和数值的准确性即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确圆柱体积计算公式为$V=底面积×高$。已知阴影正方形是圆柱的侧面展开图，因此正方形的边长同时等于圆柱底面圆的周长和圆柱的高。我们先根据圆的半径$R$求出底面周长得到圆柱的高，再结合圆的面积公式求出底面积，代入体积公式即可得到含$R$的代数式；第二问直接将数值代入第一问得到的代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为阴影正方形是圆柱的侧面展开图，所以圆柱的高等于底面圆的周长。
底面圆的周长$C=2π R$，即圆柱的高$h=2π R$。
圆柱的底面积$S=π R^2$。
根据圆柱体积公式$V=S· h$，代入得：
$V=π R^2 × 2π R=2π^2 R^3$。
(2) 当$R=8\ \mathrm{cm}$，$π\approx3.14$时，代入$V=2π^2 R^3$得：
$V=2×(3.14)^2×8^3$
$=2×9.8596×512$
$=10096.2304\approx10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1)$2π^2R^3$；(2)$10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱展开图特征，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是建立圆柱各部分和展开图的对应关系，明确侧面展开正方形的边长同时对应圆柱的高和底面周长，计算时注意运算顺序和数值的准确性即可。
【难度系数】
0.7
6.在图中添加一个小正方形,使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱,不同的添法共有(
A.7种
B.4种
C.3种
D.2种
B
)。A.7种
B.4种
C.3种
D.2种
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先明确四棱柱展开图的结构特征：四棱柱的展开图由4个侧面长方形和2个底面正方形组成，2个底面需要分别位于4个侧面组成的长条的不同侧，每个底面和其中一个侧面的边相连，才能保证折叠后两个底面刚好封住四棱柱的两端，不会出现重叠的问题。
观察现有图形：已经有4个上下排列的侧面和1个位于最下方侧面右侧的底面，因此只需找全剩余1个底面的合法添加位置即可，添加时要保证新的底面和已有的底面在侧面长条的不同侧，避免折叠冲突。
【解析】
四棱柱展开图中，4个纵向排列的侧面组成长条，两个底面需分布在长条的左右两侧。现有图形已有1个底面在长条的右侧，因此另1个底面只能添加在长条的左侧：
1. 可添加在最上方侧面的左侧
2. 可添加在上数第二个侧面的左侧
3. 可添加在上数第三个侧面的左侧
4. 可添加在最下方侧面的左侧
综上共有4种不同的添法。
【答案】
B
【知识点】
四棱柱展开图、展开图折叠成几何体
【点评】
本题考查四棱柱展开图的结构特点，需要具备基础的空间想象能力，解题的核心是牢记两个底面必须位于侧面长条的不同侧，避免出现同侧添加导致折叠重叠的错误，是空间几何部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确四棱柱展开图的结构特征：四棱柱的展开图由4个侧面长方形和2个底面正方形组成，2个底面需要分别位于4个侧面组成的长条的不同侧，每个底面和其中一个侧面的边相连，才能保证折叠后两个底面刚好封住四棱柱的两端，不会出现重叠的问题。
观察现有图形：已经有4个上下排列的侧面和1个位于最下方侧面右侧的底面，因此只需找全剩余1个底面的合法添加位置即可，添加时要保证新的底面和已有的底面在侧面长条的不同侧，避免折叠冲突。
【解析】
四棱柱展开图中，4个纵向排列的侧面组成长条，两个底面需分布在长条的左右两侧。现有图形已有1个底面在长条的右侧，因此另1个底面只能添加在长条的左侧：
1. 可添加在最上方侧面的左侧
2. 可添加在上数第二个侧面的左侧
3. 可添加在上数第三个侧面的左侧
4. 可添加在最下方侧面的左侧
综上共有4种不同的添法。
【答案】
B
【知识点】
四棱柱展开图、展开图折叠成几何体
【点评】
本题考查四棱柱展开图的结构特点，需要具备基础的空间想象能力，解题的核心是牢记两个底面必须位于侧面长条的不同侧，避免出现同侧添加导致折叠重叠的错误，是空间几何部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
