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7.若长方体从一个顶点发出的三条棱长分别为2，3，4，则该长方体的表面积为
52
，体积为24
。答案
7.52 24
解析
【分析】
首先明确长方体从一个顶点发出的三条棱分别对应长方体的长、宽、高。要求长方体的表面积和体积，只需回忆对应的计算公式，将长、宽、高的数值代入公式逐步计算即可。
【解析】
由题意得，长方体的长、宽、高分别为2、3、4。
1. 计算表面积：
长方体表面积公式为$S=2(ab+ac+bc)$（$a、b、c$分别为长、宽、高），代入数值：
$S=2×(2×3 + 2×4 + 3×4)$
$=2×(6+8+12)$
$=2×26$
$=52$
2. 计算体积：
长方体体积公式为$V=abc$，代入数值：
$V=2×3×4=24$
【答案】
52；24
【知识点】
长方体棱的特征，长方体表面积计算，长方体体积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是熟练掌握长方体表面积和体积的计算公式，代入数值计算时注意运算顺序，计算表面积不要遗漏公式中的系数2即可。
【难度系数】
0.9
首先明确长方体从一个顶点发出的三条棱分别对应长方体的长、宽、高。要求长方体的表面积和体积，只需回忆对应的计算公式，将长、宽、高的数值代入公式逐步计算即可。
【解析】
由题意得，长方体的长、宽、高分别为2、3、4。
1. 计算表面积：
长方体表面积公式为$S=2(ab+ac+bc)$（$a、b、c$分别为长、宽、高），代入数值：
$S=2×(2×3 + 2×4 + 3×4)$
$=2×(6+8+12)$
$=2×26$
$=52$
2. 计算体积：
长方体体积公式为$V=abc$，代入数值：
$V=2×3×4=24$
【答案】
52；24
【知识点】
长方体棱的特征，长方体表面积计算，长方体体积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是熟练掌握长方体表面积和体积的计算公式，代入数值计算时注意运算顺序，计算表面积不要遗漏公式中的系数2即可。
【难度系数】
0.9
8.【数学应用】某班数学活动小组的同学们用纸板制作长方体包装盒，其表面展开图和相关尺寸(单位:mm)如下，其中阴影部分为内部粘贴角料，求此长方体包装盒的体积。
答案
8.解:由题意,知此长方体的长为70 mm,宽为65 mm,高为40 mm,
则此长方体包装盒的体积为70×65×40=182 000(mm³)。
则此长方体包装盒的体积为70×65×40=182 000(mm³)。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确阴影部分是内部粘贴角料，不属于长方体的棱边，我们需要从展开图中提取出长方体的长、宽、高。观察展开图的有效尺寸，可得到三个不同的棱长数值，分别对应长方体的长、宽、高，再代入长方体体积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由长方体表面展开图的特征可知，该长方体包装盒的长为70 mm，宽为65 mm，高为40 mm。
根据长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数值计算：
$70×65×40=182000(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$182000\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
长方体表面展开图；长方体体积计算
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，解题关键是排除粘贴角料的干扰，准确识别出长方体的长宽高，属于基础题型，掌握长方体展开图的特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确阴影部分是内部粘贴角料，不属于长方体的棱边，我们需要从展开图中提取出长方体的长、宽、高。观察展开图的有效尺寸，可得到三个不同的棱长数值，分别对应长方体的长、宽、高，再代入长方体体积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由长方体表面展开图的特征可知，该长方体包装盒的长为70 mm，宽为65 mm，高为40 mm。
根据长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数值计算：
$70×65×40=182000(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$182000\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
长方体表面展开图；长方体体积计算
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，解题关键是排除粘贴角料的干扰，准确识别出长方体的长宽高，属于基础题型，掌握长方体展开图的特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
9.如图所示的长方形是圆柱的侧面展开图,已知这个长方形相邻的两边长分别为6,4π,求圆柱的体积。
答案
9.解:①以4π为底面周长,6为高,
此时圆柱的底面半径为$\frac{4π}{2π}=2$,
所以圆柱的体积为$π×2^2×6=24π$。
②以6为圆柱的底面周长,4π为高,
此时圆柱的底面半径为$\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$,
所以圆柱的体积为$π×(\frac{3}{π})^2×4π=36$。
所以圆柱的体积为24π或36。
此时圆柱的底面半径为$\frac{4π}{2π}=2$,
所以圆柱的体积为$π×2^2×6=24π$。
②以6为圆柱的底面周长,4π为高,
此时圆柱的底面半径为$\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$,
所以圆柱的体积为$π×(\frac{3}{π})^2×4π=36$。
所以圆柱的体积为24π或36。
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆柱侧面展开为长方形时，长方形的相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，本题未指定哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论：第一种将长4π作为底面周长、宽6作为高；第二种将宽6作为底面周长、长4π作为高。先根据圆的周长公式求出底面半径，再结合圆柱体积=底面积×高，分别计算两种情况下的体积即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 以长度为4π的边为圆柱的底面周长，长度为6的边为圆柱的高：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{4π}{2π}=2$，
圆柱体积$V=π r^2h=π×2^2×6=24π$。
② 以长度为6的边为圆柱的底面周长，长度为4π的边为圆柱的高：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
圆柱体积$V=π r^2h=π×(\frac{3}{π})^2×4π=36$。
【答案】
24π或36
【知识点】
圆柱展开图特征、圆柱体积计算、圆周长公式
【点评】
本题易忽略分类讨论导致漏解，解题关键是明确长方形的任意一条边都可以作为圆柱的底面周长，剩余边对应圆柱的高，需熟练掌握圆柱相关计算公式和分类讨论的思想方法。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确圆柱侧面展开为长方形时，长方形的相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，本题未指定哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论：第一种将长4π作为底面周长、宽6作为高；第二种将宽6作为底面周长、长4π作为高。先根据圆的周长公式求出底面半径，再结合圆柱体积=底面积×高，分别计算两种情况下的体积即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 以长度为4π的边为圆柱的底面周长，长度为6的边为圆柱的高：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{4π}{2π}=2$，
圆柱体积$V=π r^2h=π×2^2×6=24π$。
② 以长度为6的边为圆柱的底面周长，长度为4π的边为圆柱的高：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
圆柱体积$V=π r^2h=π×(\frac{3}{π})^2×4π=36$。
【答案】
24π或36
【知识点】
圆柱展开图特征、圆柱体积计算、圆周长公式
【点评】
本题易忽略分类讨论导致漏解，解题关键是明确长方形的任意一条边都可以作为圆柱的底面周长，剩余边对应圆柱的高，需熟练掌握圆柱相关计算公式和分类讨论的思想方法。
【难度系数】
0.6
10.【综合与实践】如图所示的是长方体的表面展开图，将其折叠成一个长方体。
(1)和数字1所在的面相对的面是哪个数字所在的面？
(2)若$FG=3\ \mathrm{cm}$，$LK=8\ \mathrm{cm}$，$EI=18\ \mathrm{cm}$，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
(1)和数字1所在的面相对的面是哪个数字所在的面？
(2)若$FG=3\ \mathrm{cm}$，$LK=8\ \mathrm{cm}$，$EI=18\ \mathrm{cm}$，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
答案
10.解:(1)和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面。
(2)$DI=EI-ED=EI-FG=18-3=15(\mathrm{cm})$。
表面积:$(3×8+3×15+8×15)×2=378(\mathrm{cm}^2)$,
体积:$3×8×15=360(\mathrm{cm}^3)$。
(2)$DI=EI-ED=EI-FG=18-3=15(\mathrm{cm})$。
表面积:$(3×8+3×15+8×15)×2=378(\mathrm{cm}^2)$,
体积:$3×8×15=360(\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
(1) 长方体表面展开图中，相对的面不相邻，同一行/列中间隔一个面的两个面是相对面。观察展开图中数字面的排列：数字1、2、3、4的面在同一行，1和3中间隔了数字2的面，据此可直接判断1的相对面。
(2) 先根据展开图对应边相等的性质推导长方体的三条棱长：EI由ED和DI组成，ED和FG长度相等，因此可算出DI的长度，得到长方体的三条棱长分别为3cm、8cm、15cm，再代入长方体表面积、体积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据长方体展开图相对面的规律：同一行中间间隔1个面的两个面为相对面，数字1所在面和数字3所在面中间隔了数字2所在的面，因此和1相对的面是数字3所在的面。
(2) 由展开图边的对应关系得$ED=FG=3\ \mathrm{cm}$，
则长方体的长$DI=EI-ED=18-3=15(\mathrm{cm})$，
即长方体的三条棱长分别为$3\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$、$15\ \mathrm{cm}$。
表面积：$\begin{split}&(3×8+3×15+8×15)×2\\=&(24+45+120)×2\\=&189×2\\=&378(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
体积：$\begin{split}&3×8×15\\=&360(\mathrm{cm}^3)\end{split}$
【答案】
(1) 和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面。
(2) 表面积为$\boxed{378\ \mathrm{cm}^2}$，体积为$\boxed{360\ \mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
长方体展开图；长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题是立体图形认识的基础题型，核心考查长方体展开图的特征识别以及表面积、体积的公式应用，解题关键是准确对应展开图中相等的棱，掌握相对面的判断规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 长方体表面展开图中，相对的面不相邻，同一行/列中间隔一个面的两个面是相对面。观察展开图中数字面的排列：数字1、2、3、4的面在同一行，1和3中间隔了数字2的面，据此可直接判断1的相对面。
(2) 先根据展开图对应边相等的性质推导长方体的三条棱长：EI由ED和DI组成，ED和FG长度相等，因此可算出DI的长度，得到长方体的三条棱长分别为3cm、8cm、15cm，再代入长方体表面积、体积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据长方体展开图相对面的规律：同一行中间间隔1个面的两个面为相对面，数字1所在面和数字3所在面中间隔了数字2所在的面，因此和1相对的面是数字3所在的面。
(2) 由展开图边的对应关系得$ED=FG=3\ \mathrm{cm}$，
则长方体的长$DI=EI-ED=18-3=15(\mathrm{cm})$，
即长方体的三条棱长分别为$3\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$、$15\ \mathrm{cm}$。
表面积：$\begin{split}&(3×8+3×15+8×15)×2\\=&(24+45+120)×2\\=&189×2\\=&378(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
体积：$\begin{split}&3×8×15\\=&360(\mathrm{cm}^3)\end{split}$
【答案】
(1) 和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面。
(2) 表面积为$\boxed{378\ \mathrm{cm}^2}$，体积为$\boxed{360\ \mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
长方体展开图；长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题是立体图形认识的基础题型，核心考查长方体展开图的特征识别以及表面积、体积的公式应用，解题关键是准确对应展开图中相等的棱，掌握相对面的判断规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
