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1.(2025·无锡滨湖区期末)某青蛙养殖基地为了估计所养青蛙的数量,从中捕捉了100只青蛙,分别做好记号,再放回蛙池,等蛙群混合均匀后,又捕捉了200只,其中有5只青蛙有记号,则估计该养殖基地共有青蛙（
A.3000只
B.4000只
C.5000只
D.6000只
B
）A.3000只
B.4000只
C.5000只
D.6000只
答案
1.B
解析
【分析】这是利用标记重捕法估计总体数量的典型问题，解题核心逻辑是：当蛙群混合均匀后，有记号的青蛙在整个蛙群中的占比，与第二次捕捉的样本里有记号的青蛙的占比近似相等。我们可以根据这个比例关系设未知数列方程求解，先设总青蛙数为未知数，再分别写出两个占比，令其相等即可求解。
【解析】解：设该养殖基地共有青蛙$ x $只。
根据标记个体占比相等可得：
$\frac{100}{x}=\frac{5}{200}$
交叉相乘得：$5x = 100×200$
计算得：$5x=20000$
解得：$x=4000$
因此估计该养殖基地共有青蛙4000只。
【答案】B
【知识点】用样本估计总体；比例的应用
【点评】本题是统计中估计总体数量的基础题型，解题关键是抓住标记个体在总体和抽取样本中的占比近似相等的关系建立等式，计算量小，掌握对应原理即可快速作答。
【难度系数】0.8
【解析】解：设该养殖基地共有青蛙$ x $只。
根据标记个体占比相等可得：
$\frac{100}{x}=\frac{5}{200}$
交叉相乘得：$5x = 100×200$
计算得：$5x=20000$
解得：$x=4000$
因此估计该养殖基地共有青蛙4000只。
【答案】B
【知识点】用样本估计总体；比例的应用
【点评】本题是统计中估计总体数量的基础题型，解题关键是抓住标记个体在总体和抽取样本中的占比近似相等的关系建立等式，计算量小，掌握对应原理即可快速作答。
【难度系数】0.8
2.从长度为1 cm，1 cm，2 cm，2 cm的4条线段中任意选3条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，需结合概率公式求解，核心思路分三步：第一步先列举从4条线段中任选3条的所有等可能结果；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）和等腰三角形的定义（至少有两边长度相等），筛选出能组成等腰三角形的结果；第三步用符合条件的结果数除以总等可能结果数，即可得到所求概率。
【解析】
我们先将4条线段标记为：A(1cm)、B(1cm)、C(2cm)、D(2cm)。
1. 列举所有选3条线段的等可能结果，共4种：
① 选A、B、C，三边长为1cm、1cm、2cm；
② 选A、B、D，三边长为1cm、1cm、2cm；
③ 选A、C、D，三边长为1cm、2cm、2cm；
④ 选B、C、D，三边长为1cm、2cm、2cm。
2. 逐一判断能否组成等腰三角形：
① 1+1=2，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形；
② 同理1+1=2，不能构成三角形；
③ 1+2＞2，2+2＞1，满足三边关系，且有两条边长为2cm，能构成等腰三角形；
④ 同理满足三边关系，能构成等腰三角形。
3. 计算概率：符合条件的结果有2种，总等可能结果有4种，故概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形判定；概率计算
【点评】
本题解题的关键是准确列举所有等可能的选取结果，同时要注意先验证三边是否满足构成三角形的条件，再判断是否为等腰三角形，避免漏判错判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合概率公式求解，核心思路分三步：第一步先列举从4条线段中任选3条的所有等可能结果；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）和等腰三角形的定义（至少有两边长度相等），筛选出能组成等腰三角形的结果；第三步用符合条件的结果数除以总等可能结果数，即可得到所求概率。
【解析】
我们先将4条线段标记为：A(1cm)、B(1cm)、C(2cm)、D(2cm)。
1. 列举所有选3条线段的等可能结果，共4种：
① 选A、B、C，三边长为1cm、1cm、2cm；
② 选A、B、D，三边长为1cm、1cm、2cm；
③ 选A、C、D，三边长为1cm、2cm、2cm；
④ 选B、C、D，三边长为1cm、2cm、2cm。
2. 逐一判断能否组成等腰三角形：
① 1+1=2，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形；
② 同理1+1=2，不能构成三角形；
③ 1+2＞2，2+2＞1，满足三边关系，且有两条边长为2cm，能构成等腰三角形；
④ 同理满足三边关系，能构成等腰三角形。
3. 计算概率：符合条件的结果有2种，总等可能结果有4种，故概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形判定；概率计算
【点评】
本题解题的关键是准确列举所有等可能的选取结果，同时要注意先验证三边是否满足构成三角形的条件，再判断是否为等腰三角形，避免漏判错判。
【难度系数】
0.7
3.如图,一张圆桌共有3个座位,甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上,则甲和乙相邻的概率为(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
D
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
答案
3.D
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路如下：首先明确座位是环形排列的圆桌座位，3个座位围成一圈时，任意两个座位均为相邻关系；我们可以通过固定甲的位置简化计算，也可以通过列举所有坐法统计符合条件的情况数，再结合概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】
解法1：利用环形排列特点简化计算
由于是圆桌座位，我们可以先固定甲的座位（固定单人位置不影响概率结果，可消除环形排列的重复计数问题），此时剩余2个座位均与甲的座位相邻，乙无论坐到这2个座位中的哪一个，都与甲相邻，因此甲和乙相邻的概率为1。
解法2：列举法验证
3人随机坐3个座位，总共有$3!=6$种等可能的坐法。由于3个座位围成一圈，任意两个座位都属于相邻位置，因此所有6种坐法都满足甲和乙相邻的条件。根据概率公式：
$P(甲和乙相邻)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{6}{6}=1$
【答案】
D
【知识点】
古典概型、概率计算、环形位置判断
【点评】
本题的易错点是误将环形座位当成直线排列，错误认为存在甲、乙不相邻的情况，只要理清3个环形座位的位置关系，就能快速判断所有坐法均满足甲乙相邻的条件，得出正确结果。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路如下：首先明确座位是环形排列的圆桌座位，3个座位围成一圈时，任意两个座位均为相邻关系；我们可以通过固定甲的位置简化计算，也可以通过列举所有坐法统计符合条件的情况数，再结合概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】
解法1：利用环形排列特点简化计算
由于是圆桌座位，我们可以先固定甲的座位（固定单人位置不影响概率结果，可消除环形排列的重复计数问题），此时剩余2个座位均与甲的座位相邻，乙无论坐到这2个座位中的哪一个，都与甲相邻，因此甲和乙相邻的概率为1。
解法2：列举法验证
3人随机坐3个座位，总共有$3!=6$种等可能的坐法。由于3个座位围成一圈，任意两个座位都属于相邻位置，因此所有6种坐法都满足甲和乙相邻的条件。根据概率公式：
$P(甲和乙相邻)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{6}{6}=1$
【答案】
D
【知识点】
古典概型、概率计算、环形位置判断
【点评】
本题的易错点是误将环形座位当成直线排列，错误认为存在甲、乙不相邻的情况，只要理清3个环形座位的位置关系，就能快速判断所有坐法均满足甲乙相邻的条件，得出正确结果。
【难度系数】
0.7
4.(2025·山东)某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查两步试验的概率计算，可从两种思路入手解题：一是用列表法或画树状图法枚举出所有等可能的结果，再找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，利用概率公式（概率=所求情况数÷总情况数）计算；二是先分别求出甲、乙各自抽到“亚醜钺”的概率，由于两人抽取结果互不影响，直接将两个概率相乘即可得到同时发生的概率，两种方法均符合九年级概率知识要求。
【解析】
记“亚醜钺”为A，“蛋壳黑陶杯”为B，“颂簋”为C。
方法一：列表法枚举所有结果如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，总共有9种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到A的结果仅有1种，因此所求概率为$\frac{1}{9}$。
方法二：每位同学抽到“亚醜钺”的概率均为$\frac{1}{3}$，且甲、乙抽取事件相互独立，因此两人同时抽到“亚醜钺”的概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算；列表法求概率
【点评】
本题结合生活研学情境考查概率基础计算，难度较低，核心考查对两步试验概率计算方法的掌握，只要能准确梳理所有等可能结果，即可快速得出答案，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查两步试验的概率计算，可从两种思路入手解题：一是用列表法或画树状图法枚举出所有等可能的结果，再找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，利用概率公式（概率=所求情况数÷总情况数）计算；二是先分别求出甲、乙各自抽到“亚醜钺”的概率，由于两人抽取结果互不影响，直接将两个概率相乘即可得到同时发生的概率，两种方法均符合九年级概率知识要求。
【解析】
记“亚醜钺”为A，“蛋壳黑陶杯”为B，“颂簋”为C。
方法一：列表法枚举所有结果如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，总共有9种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到A的结果仅有1种，因此所求概率为$\frac{1}{9}$。
方法二：每位同学抽到“亚醜钺”的概率均为$\frac{1}{3}$，且甲、乙抽取事件相互独立，因此两人同时抽到“亚醜钺”的概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算；列表法求概率
【点评】
本题结合生活研学情境考查概率基础计算，难度较低，核心考查对两步试验概率计算方法的掌握，只要能准确梳理所有等可能结果，即可快速得出答案，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，用中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，则可配成紫色，那么可配成紫色的概率是 （
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道配紫色概率题，首先明确配成紫色的条件是“一个转盘转出红色，另一个转出蓝色”，包含两种互不重叠的情况：①左侧转盘转红、右侧转盘转蓝；②左侧转盘转蓝、右侧转盘转红。解题时先分别计算两个转盘转出红、蓝颜色的概率，再分别计算两种符合条件的情况的概率，最后将两个概率相加即可得到配成紫色的总概率。
【解析】
首先计算两个转盘转出不同颜色的概率：
1. 左侧转盘红、蓝区域各占一半，因此$P(\mathrm{左红})=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{1}{2}$；
2. 右侧转盘红色区域圆心角为$120°$，圆周总圆心角为$360°$，因此$P(\mathrm{右红})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{右蓝})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
配成紫色的两种情况的概率分别为：
左红右蓝的概率：$\frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
左蓝右红的概率：$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
总概率为两种情况概率之和：$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，扇形圆心角应用，配紫色问题
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题的关键是不遗漏任意一种符合条件的情况，准确计算各独立事件的概率即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道配紫色概率题，首先明确配成紫色的条件是“一个转盘转出红色，另一个转出蓝色”，包含两种互不重叠的情况：①左侧转盘转红、右侧转盘转蓝；②左侧转盘转蓝、右侧转盘转红。解题时先分别计算两个转盘转出红、蓝颜色的概率，再分别计算两种符合条件的情况的概率，最后将两个概率相加即可得到配成紫色的总概率。
【解析】
首先计算两个转盘转出不同颜色的概率：
1. 左侧转盘红、蓝区域各占一半，因此$P(\mathrm{左红})=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{1}{2}$；
2. 右侧转盘红色区域圆心角为$120°$，圆周总圆心角为$360°$，因此$P(\mathrm{右红})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{右蓝})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
配成紫色的两种情况的概率分别为：
左红右蓝的概率：$\frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
左蓝右红的概率：$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
总概率为两种情况概率之和：$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，扇形圆心角应用，配紫色问题
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题的关键是不遗漏任意一种符合条件的情况，准确计算各独立事件的概率即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6.一个不透明的布袋中有10个球，其中白球$x$个，绿球$2x$个，其余为黑球，这些球除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，若为黑球则乙获胜.要使游戏对甲、乙双方公平，则$x$的值应该是
2
.答案
6.2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确游戏对甲乙双方公平的核心条件是两人获胜的概率相等。解题步骤可分为三步：第一步，根据总球数和已知的白球、绿球数量，用含x的代数式表示出黑球的数量；第二步，结合概率公式，分别写出甲获胜（摸出绿球）、乙获胜（摸出黑球）的概率，因为总球数相同，概率相等等价于对应颜色的球数相等；第三步，根据等量关系列一元一次方程，求解后验证解是否符合球的数量为正整数的实际要求即可。
【解析】
首先计算黑球的数量：
袋中总共有10个球，白球x个，绿球2x个，因此黑球数量为：$10 - x - 2x = 10 - 3x$（个）。
游戏对甲乙公平，即甲获胜的概率等于乙获胜的概率。
根据概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，由于摸球的总情况数（总球数）相同，因此等价于绿球的数量等于黑球的数量，可列方程：
$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
验证：当$x=2$时，白球2个，绿球4个，黑球4个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
游戏公平性判断，概率公式，一元一次方程应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题的关键是理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，进而转化为数量关系列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确游戏对甲乙双方公平的核心条件是两人获胜的概率相等。解题步骤可分为三步：第一步，根据总球数和已知的白球、绿球数量，用含x的代数式表示出黑球的数量；第二步，结合概率公式，分别写出甲获胜（摸出绿球）、乙获胜（摸出黑球）的概率，因为总球数相同，概率相等等价于对应颜色的球数相等；第三步，根据等量关系列一元一次方程，求解后验证解是否符合球的数量为正整数的实际要求即可。
【解析】
首先计算黑球的数量：
袋中总共有10个球，白球x个，绿球2x个，因此黑球数量为：$10 - x - 2x = 10 - 3x$（个）。
游戏对甲乙公平，即甲获胜的概率等于乙获胜的概率。
根据概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，由于摸球的总情况数（总球数）相同，因此等价于绿球的数量等于黑球的数量，可列方程：
$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
验证：当$x=2$时，白球2个，绿球4个，黑球4个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
游戏公平性判断，概率公式，一元一次方程应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题的关键是理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，进而转化为数量关系列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
7.将分别标有“我”“爱”“宿”“迁”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字组成“宿迁”的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
7.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题属于不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率的计算公式为“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”；其次我们可以通过树状图或列表法列举出两次摸球的所有等可能结果，再从中筛选出能组成“宿迁”的结果，最后代入公式计算即可。注意本题中只要摸出的两个球汉字为“宿”和“迁”即可组成目标词语，无需考虑摸出的先后顺序。
【解析】
我们用树状图法列举所有等可能的结果：
第一次摸球有4种等可能的结果：“我”“爱”“宿”“迁”；
因为是不放回摸球，第二次摸球时剩余3个球，对应每一种第一次的结果，第二次都有3种等可能的结果。
因此两次摸球的总等可能结果数为：$4×3=12$种。
其中能组成“宿迁”的结果有2种：第一次摸“宿”第二次摸“迁”、第一次摸“迁”第二次摸“宿”。
根据概率公式可得：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
不放回概率计算，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题的核心是区分放回和不放回抽样的差异，准确统计总结果数和符合条件的结果数，避免因漏算或多算结果导致出错。
【难度系数】
0.7
本题属于不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率的计算公式为“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”；其次我们可以通过树状图或列表法列举出两次摸球的所有等可能结果，再从中筛选出能组成“宿迁”的结果，最后代入公式计算即可。注意本题中只要摸出的两个球汉字为“宿”和“迁”即可组成目标词语，无需考虑摸出的先后顺序。
【解析】
我们用树状图法列举所有等可能的结果：
第一次摸球有4种等可能的结果：“我”“爱”“宿”“迁”；
因为是不放回摸球，第二次摸球时剩余3个球，对应每一种第一次的结果，第二次都有3种等可能的结果。
因此两次摸球的总等可能结果数为：$4×3=12$种。
其中能组成“宿迁”的结果有2种：第一次摸“宿”第二次摸“迁”、第一次摸“迁”第二次摸“宿”。
根据概率公式可得：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
不放回概率计算，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题的核心是区分放回和不放回抽样的差异，准确统计总结果数和符合条件的结果数，避免因漏算或多算结果导致出错。
【难度系数】
0.7
