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4. 如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是
F
。答案
4. F
解析
【分析】要找到到△ABC三个顶点距离相等的点，首先回忆相关性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三边垂直平分线的公共交点（即三角形的外心）。解题时可先确定其中两边的垂直平分线，再看四个点中哪个点同时在这两条垂直平分线上即可。
【解析】利用线段垂直平分线的性质逐步判断：
1. 先观察边BC：BC为水平线段，它的垂直平分线是过BC中点、与BC垂直的竖直线，观察四个格点，仅F、H在这条竖直线上，首先排除不在这条线上的E、G；
2. 再判断剩余的F、H是否在AB的垂直平分线上：经计算验证，点F到A、B两点的距离相等，点H到A、B两点的距离不相等，因此排除H；
3. 最后验证点F：点F同时也在AC的垂直平分线上，因此F是△ABC三边垂直平分线的交点，到A、B、C三个顶点的距离相等。
【答案】F
【知识点】1.线段垂直平分线的性质 2.三角形外心的特征
【点评】本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，既可以通过找垂直平分线排除不符合的点求解，也可以直接计算各点到三个顶点的距离验证得到结果。
【难度系数】0.7
【解析】利用线段垂直平分线的性质逐步判断：
1. 先观察边BC：BC为水平线段，它的垂直平分线是过BC中点、与BC垂直的竖直线，观察四个格点，仅F、H在这条竖直线上，首先排除不在这条线上的E、G；
2. 再判断剩余的F、H是否在AB的垂直平分线上：经计算验证，点F到A、B两点的距离相等，点H到A、B两点的距离不相等，因此排除H；
3. 最后验证点F：点F同时也在AC的垂直平分线上，因此F是△ABC三边垂直平分线的交点，到A、B、C三个顶点的距离相等。
【答案】F
【知识点】1.线段垂直平分线的性质 2.三角形外心的特征
【点评】本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，既可以通过找垂直平分线排除不符合的点求解，也可以直接计算各点到三个顶点的距离验证得到结果。
【难度系数】0.7
5. 下列说法正确的是 （
A.每个定理都有逆定理
B.每个命题都有逆命题
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
B
）A.每个定理都有逆定理
B.每个命题都有逆命题
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先要回忆命题、逆命题、定理、逆定理的基础概念，明确命题由题设和结论两部分构成，再通过举反例的方法逐个判断4个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确相关概念，再逐一分析选项：
1. 相关概念：
① 命题由题设和结论两部分组成，将一个命题的题设和结论互换，即可得到它的逆命题，因此所有命题都有逆命题；
② 定理是经过证明的真命题，只有当定理的逆命题也为真命题时，这个逆命题才是原定理的逆定理。
2. 选项分析：
A选项：举反例，定理“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，因此该定理没有逆定理，说明不是每个定理都有逆定理，A错误；
B选项：任何命题都可以互换题设和结论得到逆命题，因此每个命题都有逆命题，B正确；
C选项：举反例，真命题“对顶角相等”的逆命题是假命题，说明真命题的逆命题不一定是真命题，C错误；
D选项：举反例，假命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”，是真命题，说明假命题的逆命题不一定是假命题，D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
命题与逆命题；定理与逆定理；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对命题、逆命题、定理、逆定理关系的理解，解题时可通过举熟悉的反例快速判断选项正误，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆命题、逆命题、定理、逆定理的基础概念，明确命题由题设和结论两部分构成，再通过举反例的方法逐个判断4个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确相关概念，再逐一分析选项：
1. 相关概念：
① 命题由题设和结论两部分组成，将一个命题的题设和结论互换，即可得到它的逆命题，因此所有命题都有逆命题；
② 定理是经过证明的真命题，只有当定理的逆命题也为真命题时，这个逆命题才是原定理的逆定理。
2. 选项分析：
A选项：举反例，定理“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，因此该定理没有逆定理，说明不是每个定理都有逆定理，A错误；
B选项：任何命题都可以互换题设和结论得到逆命题，因此每个命题都有逆命题，B正确；
C选项：举反例，真命题“对顶角相等”的逆命题是假命题，说明真命题的逆命题不一定是真命题，C错误；
D选项：举反例，假命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”，是真命题，说明假命题的逆命题不一定是假命题，D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
命题与逆命题；定理与逆定理；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对命题、逆命题、定理、逆定理关系的理解，解题时可通过举熟悉的反例快速判断选项正误，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 下列定理没有逆定理的有 （
①内错角相等，两直线平行；
②对顶角相等；
③直角三角形的两个锐角互余.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
A
）①内错角相等，两直线平行；
②对顶角相等；
③直角三角形的两个锐角互余.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案
6. A
解析
【分析】
要判断定理是否有逆定理，需先明确判定规则：若一个定理的逆命题是真命题，则该定理存在逆定理，反之则没有。解题时先分别写出三个定理的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，最后统计没有逆定理的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析三个定理：
① 原定理：内错角相等，两直线平行。
它的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，这是已学的平行线性质定理，属于真命题，因此①有逆定理。
② 原定理：对顶角相等。
它的逆命题是“相等的角是对顶角”，我们可以举反例验证：两条平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该逆命题是假命题，故②没有逆定理。
③ 原定理：直角三角形的两个锐角互余。
它的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”，根据三角形内角和为180°，两个角互余即两角之和为90°，则第三个角为180°-90°=90°，符合直角三角形的定义，属于真命题，因此③有逆定理。
综上，没有逆定理的只有1个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
逆定理的概念，真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是掌握逆定理的判断逻辑，要注意并不是所有定理都存在逆定理，只有逆命题经证明为真的定理才有逆定理，做题时可通过举反例快速判断假命题。
【难度系数】
0.8
要判断定理是否有逆定理，需先明确判定规则：若一个定理的逆命题是真命题，则该定理存在逆定理，反之则没有。解题时先分别写出三个定理的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，最后统计没有逆定理的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析三个定理：
① 原定理：内错角相等，两直线平行。
它的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，这是已学的平行线性质定理，属于真命题，因此①有逆定理。
② 原定理：对顶角相等。
它的逆命题是“相等的角是对顶角”，我们可以举反例验证：两条平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该逆命题是假命题，故②没有逆定理。
③ 原定理：直角三角形的两个锐角互余。
它的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”，根据三角形内角和为180°，两个角互余即两角之和为90°，则第三个角为180°-90°=90°，符合直角三角形的定义，属于真命题，因此③有逆定理。
综上，没有逆定理的只有1个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
逆定理的概念，真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是掌握逆定理的判断逻辑，要注意并不是所有定理都存在逆定理，只有逆命题经证明为真的定理才有逆定理，做题时可通过举反例快速判断假命题。
【难度系数】
0.8
7. 下列命题的逆命题是真命题的是（
A.全等三角形的面积相等
B.全等三角形的对应边相等
C.直角都相等
D.同位角相等，两直线平行
D
）A.全等三角形的面积相等
B.全等三角形的对应边相等
C.直角都相等
D.同位角相等，两直线平行
答案
7. D
解析
【分析】
本题考查逆命题的改写与真假命题的判断。解题思路如下：首先明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换，得到的命题就是原命题的逆命题；其次逐个分析每个选项，先拆分原命题的条件和结论，改写得到逆命题，再结合所学的几何定理判断逆命题是否成立，最终选出逆命题为真命题的选项。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 原命题“全等三角形的面积相等”，条件为“两个三角形是全等三角形”，结论为“两个三角形面积相等”，逆命题是“面积相等的两个三角形是全等三角形”。例如同底等高的两个三角形面积相等，但形状不一定相同，不一定全等，因此逆命题是假命题，不符合要求。
B. 原命题“全等三角形的对应边相等”，条件为“两个三角形是全等三角形”，结论为“两个三角形的对应边相等”，逆命题是“对应边相等的三角形是全等三角形”，仅提到对应边相等未明确是三角形的三组对应边全部相等，无法判定全等，因此逆命题是假命题，不符合要求。
C. 原命题“直角都相等”，条件为“几个角是直角”，结论为“这几个角相等”，逆命题是“相等的角都是直角”。例如两个30°的角相等但不是直角，因此逆命题是假命题，不符合要求。
D. 原命题“同位角相等，两直线平行”，条件为“同位角相等”，结论为“两直线平行”，逆命题是“两直线平行，同位角相等”，这是平行线的性质定理，属于真命题，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；平行线的判定与性质
【点评】
本题需要准确拆分原命题的条件和结论，熟练掌握常见几何定理的内容，避免混淆定理的条件和结论导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查逆命题的改写与真假命题的判断。解题思路如下：首先明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换，得到的命题就是原命题的逆命题；其次逐个分析每个选项，先拆分原命题的条件和结论，改写得到逆命题，再结合所学的几何定理判断逆命题是否成立，最终选出逆命题为真命题的选项。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 原命题“全等三角形的面积相等”，条件为“两个三角形是全等三角形”，结论为“两个三角形面积相等”，逆命题是“面积相等的两个三角形是全等三角形”。例如同底等高的两个三角形面积相等，但形状不一定相同，不一定全等，因此逆命题是假命题，不符合要求。
B. 原命题“全等三角形的对应边相等”，条件为“两个三角形是全等三角形”，结论为“两个三角形的对应边相等”，逆命题是“对应边相等的三角形是全等三角形”，仅提到对应边相等未明确是三角形的三组对应边全部相等，无法判定全等，因此逆命题是假命题，不符合要求。
C. 原命题“直角都相等”，条件为“几个角是直角”，结论为“这几个角相等”，逆命题是“相等的角都是直角”。例如两个30°的角相等但不是直角，因此逆命题是假命题，不符合要求。
D. 原命题“同位角相等，两直线平行”，条件为“同位角相等”，结论为“两直线平行”，逆命题是“两直线平行，同位角相等”，这是平行线的性质定理，属于真命题，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；平行线的判定与性质
【点评】
本题需要准确拆分原命题的条件和结论，熟练掌握常见几何定理的内容，避免混淆定理的条件和结论导致判断错误。
【难度系数】
0.7
8. 写出下列命题的逆命题，并指出逆命题的真假.
（1）垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）质数都是奇数.
（1）垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）质数都是奇数.
答案
8. 解（1）逆命题为如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线，为假命题.
（2）逆命题为奇数都是质数，为假命题.
（2）逆命题为奇数都是质数，为假命题.
解析
【分析】
要解决这类问题，首先明确逆命题的改写方法：先将原命题拆解为“题设（条件）”和“结论”两部分，再把题设和结论互换位置，整理为通顺规范的表述就得到逆命题；判断命题真假时，若能举出1个符合题设但不符合结论的反例，即可判定该命题为假命题，真命题则需要经过严谨的逻辑推理验证。
对第（1）个几何命题，先把原命题改写为“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，区分出题设和结论后互换，再调整为符合几何表述的规范语句即可；对第（2）个代数类命题，同样先拆分原命题的题设“一个数是质数”和结论“这个数是奇数”，互换后得到逆命题，再举反例判断真假。
【解析】
解：
（1）原命题可改写为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
将题设和结论互换，得到逆命题：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线。
判断真假：若两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角可以是任意相等的角度，不一定为90°，比如两条平行线被第三条直线截得30°的同位角时，两条平行线就不垂直于截线，因此该逆命题是假命题。
（2）原命题可改写为：如果一个数是质数，那么这个数是奇数。
将题设和结论互换，得到逆命题：奇数都是质数。
判断真假：举反例，9是奇数，但9的因数有1、3、9，属于合数，不是质数，因此该逆命题是假命题。
【答案】
（1）逆命题为如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线，为假命题；
（2）逆命题为奇数都是质数，为假命题。
【知识点】
1. 逆命题的改写
2. 真假命题判定
3. 质数与奇数的概念
【点评】
本题是命题相关的基础题型，核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判断逻辑，改写时要注意语句表述的规范性和严谨性，判断假命题时熟练运用举反例的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这类问题，首先明确逆命题的改写方法：先将原命题拆解为“题设（条件）”和“结论”两部分，再把题设和结论互换位置，整理为通顺规范的表述就得到逆命题；判断命题真假时，若能举出1个符合题设但不符合结论的反例，即可判定该命题为假命题，真命题则需要经过严谨的逻辑推理验证。
对第（1）个几何命题，先把原命题改写为“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，区分出题设和结论后互换，再调整为符合几何表述的规范语句即可；对第（2）个代数类命题，同样先拆分原命题的题设“一个数是质数”和结论“这个数是奇数”，互换后得到逆命题，再举反例判断真假。
【解析】
解：
（1）原命题可改写为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
将题设和结论互换，得到逆命题：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线。
判断真假：若两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角可以是任意相等的角度，不一定为90°，比如两条平行线被第三条直线截得30°的同位角时，两条平行线就不垂直于截线，因此该逆命题是假命题。
（2）原命题可改写为：如果一个数是质数，那么这个数是奇数。
将题设和结论互换，得到逆命题：奇数都是质数。
判断真假：举反例，9是奇数，但9的因数有1、3、9，属于合数，不是质数，因此该逆命题是假命题。
【答案】
（1）逆命题为如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线，为假命题；
（2）逆命题为奇数都是质数，为假命题。
【知识点】
1. 逆命题的改写
2. 真假命题判定
3. 质数与奇数的概念
【点评】
本题是命题相关的基础题型，核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判断逻辑，改写时要注意语句表述的规范性和严谨性，判断假命题时熟练运用举反例的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是 （
A.$BE ⊥ AC$
B.$DF=\dfrac{1}{2}BF$
C.$∠ BAF=\dfrac{1}{2}∠ ABC$
D.$EF=AE$
C
）A.$BE ⊥ AC$
B.$DF=\dfrac{1}{2}BF$
C.$∠ BAF=\dfrac{1}{2}∠ ABC$
D.$EF=AE$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先要识别图中的两种尺规作图痕迹：一是BE为∠ABC的角平分线，符合角平分线的尺规作图特征；二是过点D的直线为AB的垂直平分线，符合线段垂直平分线的尺规作图特征。接下来结合角平分线的定义、线段垂直平分线的性质逐一判断各选项即可。
【解析】
第一步：识别作图类型
1. 由作图痕迹可知，BE是∠ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABC$；
2. 另一条直线是线段AB的垂直平分线，点F在该垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AF=BF$。
第二步：由等腰三角形等边对等角的性质得$∠ BAF = ∠ ABF$，结合角平分线的结论，可推出$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ ABC$。
第三步：逐一判断选项
A：BE仅为角平分线，无特殊条件说明它是AC边上的高，因此无法推出$BE⊥ AC$，A错误；
B：没有条件证明$△ BDF$为含30°角的直角三角形，无法得到$DF=\frac{1}{2}BF$，B错误；
C：由上述推导可知$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ ABC$，C正确；
D：无对应全等或特殊边角关系，无法推出$EF=AE$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
角平分线尺规作图，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质
【点评】
本题的核心是先准确识别尺规作图的类型，再结合相关几何性质对选项逐一验证，解题时要注意只有特殊三角形中角平分线才会和高重合，不要默认题目未给出的多余条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要识别图中的两种尺规作图痕迹：一是BE为∠ABC的角平分线，符合角平分线的尺规作图特征；二是过点D的直线为AB的垂直平分线，符合线段垂直平分线的尺规作图特征。接下来结合角平分线的定义、线段垂直平分线的性质逐一判断各选项即可。
【解析】
第一步：识别作图类型
1. 由作图痕迹可知，BE是∠ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABC$；
2. 另一条直线是线段AB的垂直平分线，点F在该垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AF=BF$。
第二步：由等腰三角形等边对等角的性质得$∠ BAF = ∠ ABF$，结合角平分线的结论，可推出$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ ABC$。
第三步：逐一判断选项
A：BE仅为角平分线，无特殊条件说明它是AC边上的高，因此无法推出$BE⊥ AC$，A错误；
B：没有条件证明$△ BDF$为含30°角的直角三角形，无法得到$DF=\frac{1}{2}BF$，B错误；
C：由上述推导可知$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ ABC$，C正确；
D：无对应全等或特殊边角关系，无法推出$EF=AE$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
角平分线尺规作图，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质
【点评】
本题的核心是先准确识别尺规作图的类型，再结合相关几何性质对选项逐一验证，解题时要注意只有特殊三角形中角平分线才会和高重合，不要默认题目未给出的多余条件。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，分别以点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN分别交BC，AB于点D，E，连接AD，若$∠ B=32°$，则$∠ CAD=$
26
°。答案
10. 26
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的结果：本题的作图是作线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再利用等腰三角形等边对等角得到∠DAB=∠B；接下来在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAB的度数，最后用∠CAB减去∠DAB即可求出∠CAD的度数。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠DAB = ∠B = 32°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠B = 90° - 32° = 58°，
∴ ∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 58° - 32° = 26°。
【答案】
26
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，考查了尺规作图的识别、线段垂直平分线性质及三角形角度计算，解题的关键是准确判断MN是线段AB的垂直平分线，再结合三角形的角度关系求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的结果：本题的作图是作线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再利用等腰三角形等边对等角得到∠DAB=∠B；接下来在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAB的度数，最后用∠CAB减去∠DAB即可求出∠CAD的度数。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠DAB = ∠B = 32°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠B = 90° - 32° = 58°，
∴ ∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 58° - 32° = 26°。
【答案】
26
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，考查了尺规作图的识别、线段垂直平分线性质及三角形角度计算，解题的关键是准确判断MN是线段AB的垂直平分线，再结合三角形的角度关系求解即可。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90°$，请用无刻度的直尺和圆规，过点 A 作 $△ ABC$ 的边 BC 上的高 AD（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）。
答案
11. 解 如图，线段AD即为所求.
解析
【分析】
要作△ABC的边BC上的高AD，本质是过直线BC外的点A作直线BC的垂线，垂足为D。我们可以结合本节学习的线段垂直平分线的作图方法完成：先分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在BC下方交于一点，该点与点A都在BC的垂直平分线上，连接两点所得直线就与BC垂直，该直线与BC的交点就是垂足D，即可得到所求的高AD。
【解析】
依据线段垂直平分线的尺规作图方法，以及过直线外一点作已知直线垂线的规则作图：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧在BC的下方交于一点；
2. 连接该交点与点A，交BC于点D。
根据线段垂直平分线的性质，所得直线AD垂直于BC，因此线段AD就是△ABC边BC上的高。
【答案】
如图，线段AD即为所求.
【知识点】
尺规作图，三角形的高，线段垂直平分线
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查对三角形高的定义的理解，以及线段垂直平分线尺规作图方法的应用，作图时要注意保留完整、清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作△ABC的边BC上的高AD，本质是过直线BC外的点A作直线BC的垂线，垂足为D。我们可以结合本节学习的线段垂直平分线的作图方法完成：先分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在BC下方交于一点，该点与点A都在BC的垂直平分线上，连接两点所得直线就与BC垂直，该直线与BC的交点就是垂足D，即可得到所求的高AD。
【解析】
依据线段垂直平分线的尺规作图方法，以及过直线外一点作已知直线垂线的规则作图：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧在BC的下方交于一点；
2. 连接该交点与点A，交BC于点D。
根据线段垂直平分线的性质，所得直线AD垂直于BC，因此线段AD就是△ABC边BC上的高。
【答案】
如图，线段AD即为所求.
【知识点】
尺规作图，三角形的高，线段垂直平分线
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查对三角形高的定义的理解，以及线段垂直平分线尺规作图方法的应用，作图时要注意保留完整、清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
12. 如图，要在街道$l$旁修建自来水站，向居民区A，B提供自来水，自来水站应建在什么地方，才能使A，B两个居民区到它的距离相等？
答案
12. 解 如图，连接AB. 作线段AB的垂直平分线EF，交街道l于点P，则点P就是要建的自来水站的位置.
解析
【分析】
解题时先明确题目的两个要求：①自来水站需建在街道l上；②自来水站到A、B两个居民区的距离相等。结合所学知识可知：到两点距离相等的点都在这两点所连线段的垂直平分线上，因此我们可以先作出线段AB的垂直平分线，该线上所有点都满足到A、B距离相等，再找这条垂直平分线和直线l的交点，该交点同时满足两个条件，就是我们要找的自来水站位置。
【解析】
1. 首先连接A、B两点，得到线段AB；
2. 使用尺规作图的方法，作出线段AB的垂直平分线EF；
3. 找到垂直平分线EF与街道所在直线l的交点P。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知点P满足PA=PB，同时P在直线l上，符合建在街道旁的要求，因此点P即为所求的自来水站修建位置。
【答案】
12. 解 如图，连接AB. 作线段AB的垂直平分线EF，交街道l于点P，则点P就是要建的自来水站的位置.
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.尺规作图（作线段垂直平分线）
【点评】
本题是几何定理在实际生活中的典型应用，需要学生将实际需求转化为几何条件，结合线段垂直平分线的性质即可求解，主要考察学生对基础性质的理解能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目的两个要求：①自来水站需建在街道l上；②自来水站到A、B两个居民区的距离相等。结合所学知识可知：到两点距离相等的点都在这两点所连线段的垂直平分线上，因此我们可以先作出线段AB的垂直平分线，该线上所有点都满足到A、B距离相等，再找这条垂直平分线和直线l的交点，该交点同时满足两个条件，就是我们要找的自来水站位置。
【解析】
1. 首先连接A、B两点，得到线段AB；
2. 使用尺规作图的方法，作出线段AB的垂直平分线EF；
3. 找到垂直平分线EF与街道所在直线l的交点P。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知点P满足PA=PB，同时P在直线l上，符合建在街道旁的要求，因此点P即为所求的自来水站修建位置。
【答案】
12. 解 如图，连接AB. 作线段AB的垂直平分线EF，交街道l于点P，则点P就是要建的自来水站的位置.
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.尺规作图（作线段垂直平分线）
【点评】
本题是几何定理在实际生活中的典型应用，需要学生将实际需求转化为几何条件，结合线段垂直平分线的性质即可求解，主要考察学生对基础性质的理解能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
