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例4 如图，已知$△ ABC$.
（1）尺规作图：用尺规作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F.（要求保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）的条件下，连接AF，若$AE＝3$，$△ ABC$的周长为18，求$△ ACF$的周长.
解（1）如图所示，EF即为所求.
（2）连接AF，
由题意得$AE＝BE＝3$，$AF＝BF$.
由条件可知$AB＋AC＋BC＝18$.
所以$6＋AC＋BF＋CF＝18$.
所以$AC＋AF＋CF＝12$.
即$△ ACF$的周长为12.
（1）尺规作图：用尺规作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F.（要求保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）的条件下，连接AF，若$AE＝3$，$△ ABC$的周长为18，求$△ ACF$的周长.
解（1）如图所示，EF即为所求.
（2）连接AF，
由题意得$AE＝BE＝3$，$AF＝BF$.
由条件可知$AB＋AC＋BC＝18$.
所以$6＋AC＋BF＋CF＝18$.
所以$AC＋AF＋CF＝12$.
即$△ ACF$的周长为12.
答案
解：
（1）尺规作图保留对应圆弧痕迹，直线EF即为所求的AB的垂直平分线。
（2）
∵ EF是AB的垂直平分线，AE=3，
∴ AE=BE=3，AF=BF（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ AB = AE + BE = 6。
∵ △ABC的周长为18，
∴ AB + AC + BC = 18，
代入得 6 + AC + BC = 12不，不对，6 + AC + BC = 18，
∴ AC + BC = 12。
又∵ BC = BF + CF，AF=BF，
∴ AC + AF + CF = AC + BF + CF = AC + BC = 12。
即△ACF的周长为12。
（1）尺规作图保留对应圆弧痕迹，直线EF即为所求的AB的垂直平分线。
（2）
∵ EF是AB的垂直平分线，AE=3，
∴ AE=BE=3，AF=BF（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ AB = AE + BE = 6。
∵ △ABC的周长为18，
∴ AB + AC + BC = 18，
代入得 6 + AC + BC = 12不，不对，6 + AC + BC = 18，
∴ AC + BC = 12。
又∵ BC = BF + CF，AF=BF，
∴ AC + AF + CF = AC + BF + CF = AC + BC = 12。
即△ACF的周长为12。
解析
【分析】
（1）作AB的垂直平分线的思路：分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在AB的上下方各交于一个交点，过两个交点作直线EF，即为所求的AB垂直平分线，作图时需保留圆弧痕迹。
（2）求△ACF周长的思路：首先根据线段垂直平分线的性质，可得AF=BF，且AB=2AE=6；再结合△ABC的周长为18，将△ACF的周长$AC+CF+AF$通过等量代换转化为$AC+BC$，用△ABC的周长减去AB的长度即可求出结果。
【解析】
（1）按尺规作图要求操作：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，连接两弧的两个交点得到直线EF，保留作图痕迹，EF即为所求。
（2）
∵ EF是AB的垂直平分线，$AE=3$，
∴ $AE=BE=3$，$AF=BF$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ $AB=AE+BE=3+3=6$。
∵ △ABC的周长为18，
∴ $AB+AC+BC=18$，
将AB=6代入得：$6 + AC + BC = 18$，
∴ $AC + BC = 12$。
又
∵ $BC = BF + CF$，且$AF=BF$，
∴ △ACF的周长$= AC + CF + AF = AC + CF + BF = AC + BC = 12$。
【答案】
（1）保留对应圆弧痕迹，直线EF即为所求；
（2）$\boxed{12}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为和已知周长相关的线段和，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
（1）作AB的垂直平分线的思路：分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在AB的上下方各交于一个交点，过两个交点作直线EF，即为所求的AB垂直平分线，作图时需保留圆弧痕迹。
（2）求△ACF周长的思路：首先根据线段垂直平分线的性质，可得AF=BF，且AB=2AE=6；再结合△ABC的周长为18，将△ACF的周长$AC+CF+AF$通过等量代换转化为$AC+BC$，用△ABC的周长减去AB的长度即可求出结果。
【解析】
（1）按尺规作图要求操作：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，连接两弧的两个交点得到直线EF，保留作图痕迹，EF即为所求。
（2）
∵ EF是AB的垂直平分线，$AE=3$，
∴ $AE=BE=3$，$AF=BF$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ $AB=AE+BE=3+3=6$。
∵ △ABC的周长为18，
∴ $AB+AC+BC=18$，
将AB=6代入得：$6 + AC + BC = 18$，
∴ $AC + BC = 12$。
又
∵ $BC = BF + CF$，且$AF=BF$，
∴ △ACF的周长$= AC + CF + AF = AC + CF + BF = AC + BC = 12$。
【答案】
（1）保留对应圆弧痕迹，直线EF即为所求；
（2）$\boxed{12}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为和已知周长相关的线段和，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
1. 如图，AB，CD表示两条公路，E，F表示两个仓库，试找出一点P，使点P到两条公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等，则点P为（
A.EF 的垂直平分线与CD 的交点
B.EF 的垂直平分线与AB 的交点
C.EF 的垂直平分线与AB，CD 夹角的平分线所在直线的交点
D.以上都不对
C
）A.EF 的垂直平分线与CD 的交点
B.EF 的垂直平分线与AB 的交点
C.EF 的垂直平分线与AB，CD 夹角的平分线所在直线的交点
D.以上都不对
答案
1. C
解析
【分析】
解题时我们可以把题目要求拆分为两个条件分别分析：①到两条公路AB、CD的距离相等：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此满足该条件的点都在AB、CD所成夹角的平分线所在直线上；②到两个仓库E、F的距离相等：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此满足该条件的点都在线段EF的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是上述两条直线的交点，据此即可选出正确选项。
【解析】
第一步：分析“到两条公路距离相等”的条件：
因为AB、CD是两条相交的公路，根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点P在AB与CD夹角的平分线所在的直线上。
第二步：分析“到两个仓库距离相等”的条件：
E、F是两个定点，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P在线段EF的垂直平分线上。
第三步：确定点P的位置：
要同时满足两个条件，点P就是EF的垂直平分线与AB、CD夹角的平分线所在直线的交点，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题核心是将文字描述的距离条件转化为对应的点的轨迹，再通过找轨迹的交点确定目标点的位置，只要熟练掌握两个基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以把题目要求拆分为两个条件分别分析：①到两条公路AB、CD的距离相等：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此满足该条件的点都在AB、CD所成夹角的平分线所在直线上；②到两个仓库E、F的距离相等：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此满足该条件的点都在线段EF的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是上述两条直线的交点，据此即可选出正确选项。
【解析】
第一步：分析“到两条公路距离相等”的条件：
因为AB、CD是两条相交的公路，根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点P在AB与CD夹角的平分线所在的直线上。
第二步：分析“到两个仓库距离相等”的条件：
E、F是两个定点，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P在线段EF的垂直平分线上。
第三步：确定点P的位置：
要同时满足两个条件，点P就是EF的垂直平分线与AB、CD夹角的平分线所在直线的交点，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题核心是将文字描述的距离条件转化为对应的点的轨迹，再通过找轨迹的交点确定目标点的位置，只要熟练掌握两个基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE。若$△ ABC$的周长为17 cm，BD=3 cm，则$△ ACE$的周长为（
A.11 cm
B.10 cm
C.9 cm
D.8 cm
A
）A.11 cm
B.10 cm
C.9 cm
D.8 cm
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先结合线段垂直平分线的性质，得到两组相等的线段：AE=BE，AB=2BD，据此先算出AB的长度；再观察所求△ACE的周长组成，利用AE=BE进行等量代换，将△ACE的周长转化为AC+BC的和，最后结合△ABC的总周长减去AB的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AB=2BD，
∵BD=3 cm，
∴AB=2×3=6 cm，
∵△ABC的周长为17 cm，即AB + BC + AC = 17 cm，
∴BC + AC = 17 - AB = 17 - 6 = 11 cm，
∵△ACE的周长 = AC + CE + AE，
又
∵AE=BE，
∴△ACE的周长 = AC + CE + BE = AC + BC = 11 cm，
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的实际应用，核心是通过等量替换把未知周长转化为和已知条件相关的式子，是对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先结合线段垂直平分线的性质，得到两组相等的线段：AE=BE，AB=2BD，据此先算出AB的长度；再观察所求△ACE的周长组成，利用AE=BE进行等量代换，将△ACE的周长转化为AC+BC的和，最后结合△ABC的总周长减去AB的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AB=2BD，
∵BD=3 cm，
∴AB=2×3=6 cm，
∵△ABC的周长为17 cm，即AB + BC + AC = 17 cm，
∴BC + AC = 17 - AB = 17 - 6 = 11 cm，
∵△ACE的周长 = AC + CE + AE，
又
∵AE=BE，
∴△ACE的周长 = AC + CE + BE = AC + BC = 11 cm，
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的实际应用，核心是通过等量替换把未知周长转化为和已知条件相关的式子，是对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3. 如图，DE垂直平分BC，交BC于点D，交AB于点E。若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 （
A.4
B.6
C.8
D.12
B
）A.4
B.6
C.8
D.12
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到BE=CE、BD=CD，将△EDC的周长转化为DE+BE+BD的和。再分别写出△ABC和四边形AEDC的周长表达式，化简两者的差得到BE+BD-DE的值，最后将两个得到的等式作差，消去公共部分BE+BD，即可求出DE的长度。
【解析】
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，BD=CD。
①△EDC的周长为$DE+EC+CD=24$，将EC替换为BE、CD替换为BD，可得：
$DE+BE+BD=24$ （式子1）
②△ABC的周长为$AB+BC+AC=(AE+BE)+2CD+AC$，
四边形AEDC的周长为$AE+DE+CD+AC$，
由题意得两个周长的差为12：
$(AE+BE+2CD+AC)-(AE+DE+CD+AC)=12$，
化简得：$BE+CD-DE=12$，
又
∵$CD=BD$，进一步得：$BE+BD-DE=12$ （式子2）
③用式子1减去式子2：
$(DE+BE+BD)-(BE+BD-DE)=24-12$，
即$2DE=12$，解得$DE=6$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，周长计算，等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的核心是将周长条件转化为含有公共边关系的等式，通过消元法求出目标线段的长度，需要学生具备一定的整式化简和等量代换能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到BE=CE、BD=CD，将△EDC的周长转化为DE+BE+BD的和。再分别写出△ABC和四边形AEDC的周长表达式，化简两者的差得到BE+BD-DE的值，最后将两个得到的等式作差，消去公共部分BE+BD，即可求出DE的长度。
【解析】
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，BD=CD。
①△EDC的周长为$DE+EC+CD=24$，将EC替换为BE、CD替换为BD，可得：
$DE+BE+BD=24$ （式子1）
②△ABC的周长为$AB+BC+AC=(AE+BE)+2CD+AC$，
四边形AEDC的周长为$AE+DE+CD+AC$，
由题意得两个周长的差为12：
$(AE+BE+2CD+AC)-(AE+DE+CD+AC)=12$，
化简得：$BE+CD-DE=12$，
又
∵$CD=BD$，进一步得：$BE+BD-DE=12$ （式子2）
③用式子1减去式子2：
$(DE+BE+BD)-(BE+BD-DE)=24-12$，
即$2DE=12$，解得$DE=6$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，周长计算，等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的核心是将周长条件转化为含有公共边关系的等式，通过消元法求出目标线段的长度，需要学生具备一定的整式化简和等量代换能力。
【难度系数】
0.7
