疑难点拨
一组数据从小到大排列为:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21.
(1) 中位数= (2) 第一四分位数$m_{25}=$ (3) 第二四分位数$m_{50}=$ (4) 第三四分位距$m_{75}=$
点拨 将一组数据从小到大排列后,平均分成四等份的三个分界点数值,依次叫:第一四分位数$m_{25}$、第二四分位数$m_{50}$、第三四分位数$m_{75}$.

11 5 11 17

【分析】
首先，这组数据已按从小到大顺序排列，共11个数据。解题思路：明确各统计量的定义及位置计算方法，对于n个有序数据，第p百分位数的位置i = p% × n；若i为整数，百分位数是第i项与第i+1项数据的平均值；若i不是整数，向上取整得到的整数即为所求百分位数的位置。再根据各统计量对应的百分位，计算位置后找到对应数据即可。
【解析】
已知数据从小到大排列为：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，共n=11个数据。
（1）中位数对应第50%百分位数，计算位置：i=50%×11=5.5，向上取整为6，对应第6个数据是11，故中位数=11；
（2）第一四分位数$m_{25}$对应第25%百分位数，计算位置：i=25%×11=2.75，向上取整为3，对应第3个数据是5，故$m_{25}=5$；
（3）第二四分位数$m_{50}$对应第50%百分位数，同（1），得$m_{50}=11$；
（4）第三四分位数$m_{75}$对应第75%百分位数，计算位置：i=75%×11=8.25，向上取整为9，对应第9个数据是17，故$m_{75}=17$；
【答案】
11 5 11 17
【知识点】
中位数、四分位数计算
【点评】
本题考查中位数与四分位数的计算，核心是掌握有序数据中百分位数位置的确定规则，属于基础统计应用题目，需准确计算位置对应的数据，难度适中。
【难度系数】
0.3

1. 在某次射击队选拔赛中,A、B 两名运动员的10次射击成绩如下表所示,请分别求出他们成绩的四分位数,并结合四分位数评价两人的射击水平.

A:8.0,8.4,9.2
B:7.9,8.5,9.3
综合评价:A 发挥稳定,低分段成绩优于B,适合追求稳定输出的比赛场景;B整体水平更高,高分段表现更突出,适合冲击高分的比赛场景.

【分析】
要计算四分位数，首先确认A、B的成绩已按从小到大排列。对于n个数据，四分位数的计算规则为：中位数（Q2）是中间位置的数，当n为偶数时，Q2为第n/2和第(n/2+1)个数的平均数；下四分位数（Q1）是前半部分数据的中位数，上四分位数（Q3）是后半部分数据的中位数。再结合四分位数的数值，分析两人低分段、中间段、高分段的成绩差异，评价射击水平。
【解析】
1. 计算A的四分位数：
A的10次成绩（已排序）：7.5,7.8,8.0,8.2,8.3,8.5,9.0,9.2,9.4,9.6
中位数Q2：n=10，取第5、6个数的平均数，即(8.3+8.5)÷2=8.4
前半部分为前5个数：7.5,7.8,8.0,8.2,8.3，其中位数Q1为第3个数，即8.0
后半部分为后5个数：8.5,9.0,9.2,9.4,9.6，其中位数Q3为第3个数，即9.2
2. 计算B的四分位数：
B的10次成绩（已排序）：7.6,7.7,7.9,8.1,8.4,8.6,8.8,9.3,9.5,9.7
中位数Q2：n=10，取第5、6个数的平均数，即(8.4+8.6)÷2=8.5
前半部分为前5个数：7.6,7.7,7.9,8.1,8.4，其中位数Q1为第3个数，即7.9
后半部分为后5个数：8.6,8.8,9.3,9.5,9.7，其中位数Q3为第3个数，即9.3
3. 评价射击水平：
A的下四分位数（低分段）高于B，说明A低分段成绩更优；B的中位数和上四分位数更高，说明B整体水平、高分段表现更突出；A的成绩分布更集中，发挥更稳定。
【答案】
A的四分位数为8.0，8.4，9.2；B的四分位数为7.9，8.5，9.3。综合评价：A发挥稳定，低分段成绩优于B，适合追求稳定输出的比赛场景；B整体水平更高，高分段表现更突出，适合冲击高分的比赛场景。
【知识点】
四分位数计算、数据统计分析
【点评】
本题考查四分位数的计算与应用，需掌握偶数个数据的四分位数计算方法，通过四分位数可清晰分析数据的分段特征，进而评价两组数据的水平差异，是统计中常见的数据分析题型。
【难度系数】
0.5

2. 为分析某种新工艺对零件抗压强度的提升效果,现用原工艺及新工艺(添加强化材料)各生产了大小相同的8个零件,其抗压强度(单位:MPa)如下:
原工艺:62.3,58.7,61.2,59.8,60.5,63.1,59.2,60.8
新工艺:64.2,65.8,63.5,66.1,64.8,65.2,63.9,66.5
(1) 分别求两组数据的四分位数,绘制两组数据的箱线图,对比两种工艺;
(2) 通过对比,你能得出什么结论?

(1)原工艺:59.5,60.65,61.75
新工艺:64.05,65,65.95
(2)新工艺表现比较稳定,且抗压强度明显提高.

【分析】
要解决该问题，需先明确偶数个数据的四分位数计算方法：将数据从小到大排序后，前半部分数据的中位数为第一四分位数Q₁，中间两个数据的平均值为中位数Q₂，后半部分数据的中位数为第三四分位数Q₃；再通过箱线图对比两组数据的集中趋势与离散程度，进而得出工艺效果的结论。
【解析】
(1) 计算两组数据的四分位数
原工艺数据：
原工艺数据排序为：58.7，59.2，59.8，60.5，60.8，61.2，62.3，63.1（共8个数据）
前半部分数据：58.7，59.2，59.8，60.5，中位数Q₁=(59.2+59.8)/2=59.5
中位数Q₂=(60.5+60.8)/2=60.65
后半部分数据：60.8，61.2，62.3，63.1，中位数Q₃=(61.2+62.3)/2=61.75
新工艺数据：
新工艺数据排序为：63.5，63.9，64.2，64.8，65.2，65.8，66.1，66.5（共8个数据）
前半部分数据：63.5，63.9，64.2，64.8，中位数Q₁=(63.9+64.2)/2=64.05
中位数Q₂=(64.8+65.2)/2=65
后半部分数据：65.2，65.8，66.1，66.5，中位数Q₃=(65.8+66.1)/2=65.95
绘制箱线图时，以最小值、Q₁、Q₂、Q₃、最大值为端点，原工艺箱线图整体位置低于新工艺，且新工艺箱长（IQR）更小，数据更集中。
(2) 结论
对比两组四分位数可知，新工艺的各分位数均高于原工艺，且数据离散程度更小，因此新工艺表现更稳定，抗压强度明显提升。
【答案】
(1) 原工艺：59.5，60.65，61.75；新工艺：64.05，65，65.95
(2) 新工艺表现比较稳定，且抗压强度明显提高。
【知识点】
四分位数计算，箱线图，数据统计分析
【点评】
本题考查统计中四分位数的计算及箱线图的应用，核心是掌握偶数个数据的四分位数计算规则，通过对比统计量得出工艺效果，属于基础统计应用题，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.5

3. (2026山东济南)某校选拔14名学生参加济南市第一届运动会,测量心率的统计结果如下表所示:

则这组数据的第一四分位数为.

68

【分析】
要计算第一四分位数，首先需确定数据总个数，再将数据从小到大排列（本题已按心率从小到大排列），根据第一四分位数的位置公式计算对应数值：对于n个数据，第一四分位数的位置为$n×0.25$，若位置为小数，取相邻两个数据的平均值即可。
【解析】
1. 计算数据总个数：$2+3+4+4+1=14$（名）；
2. 确定各心率对应的数据位置：
心率60对应第1、2个数据；
心率68对应第3、4、5个数据；
心率70对应第6~9个数据；
心率73对应第10~13个数据；
心率80对应第14个数据；
3. 计算第一四分位数的位置：$14×0.25=3.5$，即取第3个和第4个数据的平均值；
4. 第3个和第4个数据均为68，因此平均值为$\frac{68+68}{2}=68$。
【答案】
68
【知识点】
四分位数计算、统计数据处理
【点评】
本题考查第一四分位数的计算，核心是掌握四分位数的位置确定方法，结合数据分布找到对应数值，属于基础统计题型，难度适中。
【难度系数】
0.5