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15. 已知平面内有A、B、C三点.
(1)按下列要求画图:
①作射线AC，线段AB；
②延长CB到点D，使DB=AB，点E是BD的中点，点F是CD的中点.
(2)在(1)的条件下，若BC=7，求EF的长.
(1)按下列要求画图:
①作射线AC，线段AB；
②延长CB到点D，使DB=AB，点E是BD的中点，点F是CD的中点.
(2)在(1)的条件下，若BC=7，求EF的长.
答案
15. (1)略 (2)$EF=3.5$
解析
【分析】
(1) 作图部分：首先明确射线AC是以A为端点，向C方向无限延伸的线，线段AB是连接A、B两点的有限长度线段；延长CB到D，即沿C指向B的方向继续延长，使延长出的DB长度等于AB，再根据中点定义分别标出BD的中点E和CD的中点F即可。
(2) 计算EF长度时，已知只有BC的长度，因此要将EF和BC建立联系。观察到E、F都是线段中点，根据中点性质可以得到对应线段的一半关系，再将EF表示为FD与ED的差，代入中点关系式提取公因式后，即可发现EF等于BC的一半，代入已知数值即可求解，无需用到AB的长度，相关未知量会在计算中自动消去。
【解析】
(1) 按要求作图即可，图略。
(2) 解：
∵ 点F是CD的中点，
∴ $FD=\frac{1}{2}CD$，
∵ 点E是BD的中点，
∴ $ED=\frac{1}{2}BD$，
∴ $EF=FD-ED=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(CD-BD)$，
又
∵ $CD-BD=BC=7$，
∴ $EF=\frac{1}{2}×7=3.5$。
【答案】
(1)略；(2)$EF=3.5$
【知识点】
1. 基本几何作图
2. 线段中点的性质
3. 线段的和差计算
【点评】
本题结合基础作图和线段计算，核心是利用线段中点的性质对所求线段做整体转化，不需要计算未知线段AB的长度即可得到结果，是线段计算的典型基础题，需要注意作图时射线、线段的延伸方向不要出错，计算时理清线段的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
(1) 作图部分：首先明确射线AC是以A为端点，向C方向无限延伸的线，线段AB是连接A、B两点的有限长度线段；延长CB到D，即沿C指向B的方向继续延长，使延长出的DB长度等于AB，再根据中点定义分别标出BD的中点E和CD的中点F即可。
(2) 计算EF长度时，已知只有BC的长度，因此要将EF和BC建立联系。观察到E、F都是线段中点，根据中点性质可以得到对应线段的一半关系，再将EF表示为FD与ED的差，代入中点关系式提取公因式后，即可发现EF等于BC的一半，代入已知数值即可求解，无需用到AB的长度，相关未知量会在计算中自动消去。
【解析】
(1) 按要求作图即可，图略。
(2) 解：
∵ 点F是CD的中点，
∴ $FD=\frac{1}{2}CD$，
∵ 点E是BD的中点，
∴ $ED=\frac{1}{2}BD$，
∴ $EF=FD-ED=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(CD-BD)$，
又
∵ $CD-BD=BC=7$，
∴ $EF=\frac{1}{2}×7=3.5$。
【答案】
(1)略；(2)$EF=3.5$
【知识点】
1. 基本几何作图
2. 线段中点的性质
3. 线段的和差计算
【点评】
本题结合基础作图和线段计算，核心是利用线段中点的性质对所求线段做整体转化，不需要计算未知线段AB的长度即可得到结果，是线段计算的典型基础题，需要注意作图时射线、线段的延伸方向不要出错，计算时理清线段的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
16. 如图，点 P 在四边形 ABCD 的内部，且点 P 与点 M 关于 AD 对称，PM 交 AD 于点 G，点 P 与点 N 关于 BC 对称，PN 交 BC 于点 H，MN 分别交 AD，BC 于点 E，F.
(1)连结 PE，PF，若 MN=12 cm，求△PEF 的周长；
(2)若∠C+∠D=134°，求∠HPG 的度数.
(1)连结 PE，PF，若 MN=12 cm，求△PEF 的周长；
(2)若∠C+∠D=134°，求∠HPG 的度数.
答案
16. (1)$C_{△ PEF}=12\ \mathrm{cm}$
(2)$∠ HPG=134°$
(2)$∠ HPG=134°$
解析
【分析】
(1) 求△PEF的周长时，可利用轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，得到PE=ME、PF=FN，将△PEF的周长转化为MN的长度即可快速求解。
(2) 求∠HPG的度数时，先根据轴对称的性质得到PM⊥AD、PN⊥BC，再结合四边形内角和求出∠M+∠N的度数，最后利用三角形内角和计算∠MPN（即∠HPG）的度数即可。
【解析】
(1)
∵点P与点M关于AD对称，AD垂直平分PM，点E在AD上
∴PE=ME
同理，点P与点N关于BC对称，BC垂直平分PN，点F在BC上
∴PF=FN
△PEF的周长为$C_{△PEF}=PE+EF+PF$，将PE=ME、PF=FN代入可得：
$C_{△PEF}=ME+EF+FN$
∵M、E、F、N在同一直线上，$ME+EF+FN=MN=12\ \mathrm{cm}$
∴$C_{△PEF}=12\ \mathrm{cm}$
(2)
∵点P与点M关于AD对称
∴$PM⊥AD$，即$∠PGD=90°$
同理，点P与点N关于BC对称
∴$PN⊥BC$，即$∠PHC=90°$
四边形DEFC的内角和为$360°$，即$∠D+∠C+∠DEF+∠CFE=360°$
∵∠DEF是△MEG的外角，$∠DEF=∠M+∠MGE=∠M+90°$
同理$∠CFE=∠N+∠NHF=∠N+90°$
代入四边形内角和公式得：
$∠D+∠C+∠M+90°+∠N+90°=360°$
化简得$∠D+∠C+∠M+∠N=180°$
已知$∠C+∠D=134°$，代入得$∠M+∠N=180°-134°=46°$
在△MPN中，内角和为$180°$，且$∠HPG=∠MPN$
∴$∠HPG=180°-(∠M+∠N)=180°-46°=134°$
【答案】
(1)$C_{△PEF}=12\ \mathrm{cm}$
(2)$∠HPG=134°$
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和，四边形内角和
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，解题核心是利用轴对称实现线段和角度的等量转化，同时结合多边形内角和公式完成推导，对学生的转化思维有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.65
(1) 求△PEF的周长时，可利用轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，得到PE=ME、PF=FN，将△PEF的周长转化为MN的长度即可快速求解。
(2) 求∠HPG的度数时，先根据轴对称的性质得到PM⊥AD、PN⊥BC，再结合四边形内角和求出∠M+∠N的度数，最后利用三角形内角和计算∠MPN（即∠HPG）的度数即可。
【解析】
(1)
∵点P与点M关于AD对称，AD垂直平分PM，点E在AD上
∴PE=ME
同理，点P与点N关于BC对称，BC垂直平分PN，点F在BC上
∴PF=FN
△PEF的周长为$C_{△PEF}=PE+EF+PF$，将PE=ME、PF=FN代入可得：
$C_{△PEF}=ME+EF+FN$
∵M、E、F、N在同一直线上，$ME+EF+FN=MN=12\ \mathrm{cm}$
∴$C_{△PEF}=12\ \mathrm{cm}$
(2)
∵点P与点M关于AD对称
∴$PM⊥AD$，即$∠PGD=90°$
同理，点P与点N关于BC对称
∴$PN⊥BC$，即$∠PHC=90°$
四边形DEFC的内角和为$360°$，即$∠D+∠C+∠DEF+∠CFE=360°$
∵∠DEF是△MEG的外角，$∠DEF=∠M+∠MGE=∠M+90°$
同理$∠CFE=∠N+∠NHF=∠N+90°$
代入四边形内角和公式得：
$∠D+∠C+∠M+90°+∠N+90°=360°$
化简得$∠D+∠C+∠M+∠N=180°$
已知$∠C+∠D=134°$，代入得$∠M+∠N=180°-134°=46°$
在△MPN中，内角和为$180°$，且$∠HPG=∠MPN$
∴$∠HPG=180°-(∠M+∠N)=180°-46°=134°$
【答案】
(1)$C_{△PEF}=12\ \mathrm{cm}$
(2)$∠HPG=134°$
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和，四边形内角和
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，解题核心是利用轴对称实现线段和角度的等量转化，同时结合多边形内角和公式完成推导，对学生的转化思维有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.65
17. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$，作$∠ BAG=∠ C$，$∠ ABF$是$△ ABC$的外角，$∠ ABF$的平分线交$CA$的延长线于点$E$.
(1)求证：$BD ⊥ BE$；
(2)若$∠ E=20°$，求$∠ AHB$的度数.
(1)求证：$BD ⊥ BE$；
(2)若$∠ E=20°$，求$∠ AHB$的度数.
答案
17. (1)证明略 (2)$∠ AHB=110°$
解析
【分析】
(1) 要证明BD⊥BE，只需证明∠EBD=90°。已知BE平分外角∠ABF，BD平分内角∠ABC，∠ABF与∠ABC是邻补角，和为180°，根据角平分线定义可推出两个半角之和为90°，即可得垂直关系。
(2) 先利用(1)的垂直结论，结合直角三角形两锐角互余求出∠EDB的度数，再根据三角形外角性质得到∠EDB与∠C、∠DBC的关系，结合已知∠BAG=∠C、BD平分∠ABC的条件，将∠BAG与∠ABD的和替换为∠EDB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠AHB的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE平分∠ABF，BD平分∠ABC，
∴ $∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABF$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ $∠ ABF+∠ ABC=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ EBD=∠ ABE+∠ ABD=\frac{1}{2}(∠ ABF+∠ ABC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $BD⊥ BE$。
(2) 解：
由(1)得$∠ EBD=90°$，在$△ EBD$中，$∠ E+∠ EDB=90°$，
∵ $∠ E=20°$，
∴ $∠ EDB=90°-20°=70°$。
∵ $∠ EDB$是$△ BCD$的外角，
∴ $∠ EDB=∠ DBC+∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又
∵ $∠ BAG=∠ C$，$∠ ABD=∠ DBC$，
∴ $∠ BAG+∠ ABD=∠ C+∠ DBC=∠ EDB=70°$。
在$△ ABH$中，$∠ AHB+∠ BAG+∠ ABD=180°$（三角形内角和为$180°$），
∴ $∠ AHB=180°-(∠ BAG+∠ ABD)=180°-70°=110°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ AHB=110°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了角平分线、邻补角、三角形内角和及外角的相关性质，解题的核心是通过角平分线的定义梳理角之间的和差关系，结合三角形相关定理逐步推导所求角度，解题时要注意外角性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BD⊥BE，只需证明∠EBD=90°。已知BE平分外角∠ABF，BD平分内角∠ABC，∠ABF与∠ABC是邻补角，和为180°，根据角平分线定义可推出两个半角之和为90°，即可得垂直关系。
(2) 先利用(1)的垂直结论，结合直角三角形两锐角互余求出∠EDB的度数，再根据三角形外角性质得到∠EDB与∠C、∠DBC的关系，结合已知∠BAG=∠C、BD平分∠ABC的条件，将∠BAG与∠ABD的和替换为∠EDB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠AHB的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE平分∠ABF，BD平分∠ABC，
∴ $∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABF$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ $∠ ABF+∠ ABC=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ EBD=∠ ABE+∠ ABD=\frac{1}{2}(∠ ABF+∠ ABC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ $BD⊥ BE$。
(2) 解：
由(1)得$∠ EBD=90°$，在$△ EBD$中，$∠ E+∠ EDB=90°$，
∵ $∠ E=20°$，
∴ $∠ EDB=90°-20°=70°$。
∵ $∠ EDB$是$△ BCD$的外角，
∴ $∠ EDB=∠ DBC+∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又
∵ $∠ BAG=∠ C$，$∠ ABD=∠ DBC$，
∴ $∠ BAG+∠ ABD=∠ C+∠ DBC=∠ EDB=70°$。
在$△ ABH$中，$∠ AHB+∠ BAG+∠ ABD=180°$（三角形内角和为$180°$），
∴ $∠ AHB=180°-(∠ BAG+∠ ABD)=180°-70°=110°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ AHB=110°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了角平分线、邻补角、三角形内角和及外角的相关性质，解题的核心是通过角平分线的定义梳理角之间的和差关系，结合三角形相关定理逐步推导所求角度，解题时要注意外角性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
