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三、解答题
12. 如图，已知$△ ABC$.
求证：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$.
证明：如图，作$BC$的延长线$CD$，过点$C$作$CE// AB$，
$\because CE// AB($
$\therefore ∠ 1=∠ B($
$∠ 2=∠ A($
$\because ∠ 1+∠ 2+∠ ACB=180°($
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ ACB=180°($
12. 如图，已知$△ ABC$.
求证：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$.
证明：如图，作$BC$的延长线$CD$，过点$C$作$CE// AB$，
$\because CE// AB($
已知
$)$,$\therefore ∠ 1=∠ B($
两直线平行，同位角相等
$)$,$∠ 2=∠ A($
两直线平行，内错角相等
$)$,$\because ∠ 1+∠ 2+∠ ACB=180°($
平角的定义
$)$,$\therefore ∠ A+∠ B+∠ ACB=180°($
等量代换
$)$.答案
12. 已知 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 平角的定义 等量代换
解析
【分析】
这是一道三角形内角和定理证明的依据填空题，解题时需结合辅助线的作法、平行线的性质、平角的定义以及等量代换的逻辑，依次判断每一步推导对应的理论依据：首先CE//AB是主动作出的辅助线，属于已知作图条件；再观察角的位置，∠1与∠B是平行线AB、CE被BD所截得到的同位角，∠2与∠A是平行线AB、CE被AC所截得到的内错角，可对应平行线的性质填写依据；接下来三个角相加为180°是因为它们在同一直线BD上，构成平角；最后将∠1、∠2替换成相等的∠B、∠A，属于等量代换。
【解析】
依次分析每个空的依据：
1. 第一空：CE//AB是作图得到的已知条件，故填已知；
2. 第二空：CE//AB，∠1和∠B是同位角，依据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，故填两直线平行，同位角相等；
3. 第三空：CE//AB，∠2和∠A是内错角，依据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，故填两直线平行，内错角相等；
4. 第四空：∠1、∠2、∠ACB在直线BD上，共同组成平角，平角为180°，依据是平角的定义；
5. 第五空：将∠1替换为∠B，∠2替换为∠A，得到∠A+∠B+∠ACB=180°，依据是等量代换。
【答案】
已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题属于几何证明基础题，考查三角形内角和定理的推导过程，要求学生能清晰梳理几何证明的逻辑链条，准确匹配每一步推导对应的理论依据，是后续几何证明的重要基础。
【难度系数】
0.8
这是一道三角形内角和定理证明的依据填空题，解题时需结合辅助线的作法、平行线的性质、平角的定义以及等量代换的逻辑，依次判断每一步推导对应的理论依据：首先CE//AB是主动作出的辅助线，属于已知作图条件；再观察角的位置，∠1与∠B是平行线AB、CE被BD所截得到的同位角，∠2与∠A是平行线AB、CE被AC所截得到的内错角，可对应平行线的性质填写依据；接下来三个角相加为180°是因为它们在同一直线BD上，构成平角；最后将∠1、∠2替换成相等的∠B、∠A，属于等量代换。
【解析】
依次分析每个空的依据：
1. 第一空：CE//AB是作图得到的已知条件，故填已知；
2. 第二空：CE//AB，∠1和∠B是同位角，依据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，故填两直线平行，同位角相等；
3. 第三空：CE//AB，∠2和∠A是内错角，依据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，故填两直线平行，内错角相等；
4. 第四空：∠1、∠2、∠ACB在直线BD上，共同组成平角，平角为180°，依据是平角的定义；
5. 第五空：将∠1替换为∠B，∠2替换为∠A，得到∠A+∠B+∠ACB=180°，依据是等量代换。
【答案】
已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题属于几何证明基础题，考查三角形内角和定理的推导过程，要求学生能清晰梳理几何证明的逻辑链条，准确匹配每一步推导对应的理论依据，是后续几何证明的重要基础。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，利用尺规作图，在边$BC$上求作一点$Q$，使得点$Q$到边$AB$的距离等于$CQ$.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
13. 解：点Q即为所求作。
解析
【分析】
要找到BC上的点Q，使其到AB的距离等于CQ。已知∠ACB=90°，因此CQ就是点Q到AC边的距离。根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知点Q在∠BAC的角平分线上。因此只需用尺规作出∠BAC的角平分线，它与BC的交点就是所求的点Q。
【解析】
由∠C=90°可得QC⊥AC，即CQ是点Q到AC的距离，题目要求Q到AB的距离等于CQ，说明Q到∠BAC两边AC、AB的距离相等，因此Q在∠BAC的角平分线上。用尺规作∠BAC的角平分线，该线与BC边的交点即为所求的点Q。
【答案】
点Q即为所求作。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础作图题，解题关键是将“点到两边距离相等”的条件转化为点在角平分线上的结论，既考查了角平分线相关性质的应用，也考查了尺规作角平分线的基本操作技能。
【难度系数】
0.7
要找到BC上的点Q，使其到AB的距离等于CQ。已知∠ACB=90°，因此CQ就是点Q到AC边的距离。根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知点Q在∠BAC的角平分线上。因此只需用尺规作出∠BAC的角平分线，它与BC的交点就是所求的点Q。
【解析】
由∠C=90°可得QC⊥AC，即CQ是点Q到AC的距离，题目要求Q到AB的距离等于CQ，说明Q到∠BAC两边AC、AB的距离相等，因此Q在∠BAC的角平分线上。用尺规作∠BAC的角平分线，该线与BC边的交点即为所求的点Q。
【答案】
点Q即为所求作。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础作图题，解题关键是将“点到两边距离相等”的条件转化为点在角平分线上的结论，既考查了角平分线相关性质的应用，也考查了尺规作角平分线的基本操作技能。
【难度系数】
0.7
14. 如图①是$3×3$的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形$ABCD$的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的两幅图就视为同一种图案），请在图③中的四幅图中完成你的设计.
答案
解：
以下为4种互不旋转等价、符合要求的轴对称图案设计：
1. 第1个3×3方格：将左上角方格、右上角方格涂黑，图案关于过第2列的竖直中线对称，是轴对称图形。
2. 第2个3×3方格：将上边中间方格、下边中间方格涂黑，图案关于过第2列的竖直中线对称，是轴对称图形。
3. 第3个3×3方格：将左上角方格、右下角方格涂黑，图案关于左上到右下的对角线对称，是轴对称图形。
4. 第4个3×3方格：将上边中间方格、正中心方格涂黑，图案关于过第2列的竖直中线对称，是轴对称图形。
（注：设计不唯一，满足两个方格涂黑、图案轴对称、4种图案绕正方形中心旋转均不重合即可）
以下为4种互不旋转等价、符合要求的轴对称图案设计：
1. 第1个3×3方格：将左上角方格、右上角方格涂黑，图案关于过第2列的竖直中线对称，是轴对称图形。
2. 第2个3×3方格：将上边中间方格、下边中间方格涂黑，图案关于过第2列的竖直中线对称，是轴对称图形。
3. 第3个3×3方格：将左上角方格、右下角方格涂黑，图案关于左上到右下的对角线对称，是轴对称图形。
4. 第4个3×3方格：将上边中间方格、正中心方格涂黑，图案关于过第2列的竖直中线对称，是轴对称图形。
（注：设计不唯一，满足两个方格涂黑、图案轴对称、4种图案绕正方形中心旋转均不重合即可）
解析
【分析】
解题时首先要明确题目的两个核心要求：①涂黑2个方格后整体是轴对称图形，即存在一条直线，沿直线对折后图案两侧完全重合；②绕正方形中心旋转能重合的图案算同一种，所以4个设计不能通过旋转90°、180°、270°互相转化。思考步骤：首先回忆3×3方格的对称轴，包括竖直中线、水平中线、两条对角线；接着沿着对称轴选取成对的对称方格涂黑，保证轴对称；最后检查4个设计旋转后不重合即可。
【解析】
我们按照要求依次设计：
1. 第一个3×3方格：涂黑左上角（第一行第一列）、右上角（第一行第三列）的方格，该图案沿过第二列的竖直中线对折后左右完全重合，是轴对称图形。
2. 第二个3×3方格：涂黑上边中间（第一行第二列）、下边中间（第三行第二列）的方格，该图案沿过第二列的竖直中线对折后左右完全重合，是轴对称图形。
3. 第三个3×3方格：涂黑左上角（第一行第一列）、右下角（第三行第三列）的方格，该图案沿左上到右下的对角线对折后两边完全重合，是轴对称图形。
4. 第四个3×3方格：涂黑上边中间（第一行第二列）、正中心（第二行第二列）的方格，该图案沿过第二列的竖直中线对折后左右完全重合，是轴对称图形。
经验证，上述4种图案绕正方形中心旋转任意角度都无法重合，属于不同的符合要求的图案，设计不唯一，满足条件即可。
【答案】
设计示例如下（答案不唯一）：
1. 第一个方格涂黑左上角、右上角方格；
2. 第二个方格涂黑上边中间、下边中间方格；
3. 第三个方格涂黑左上角、右下角方格；
4. 第四个方格涂黑上边中间、正中心方格。
（只要满足涂黑2个方格、图案为轴对称图形、4种图案绕中心旋转均不重合即可）
【知识点】
轴对称图形，图形的旋转，图案设计
【点评】
本题综合考察轴对称与旋转的性质，开放性较强，需要同时满足多个约束条件设计图案，能有效锻炼空间想象能力和几何构图能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目的两个核心要求：①涂黑2个方格后整体是轴对称图形，即存在一条直线，沿直线对折后图案两侧完全重合；②绕正方形中心旋转能重合的图案算同一种，所以4个设计不能通过旋转90°、180°、270°互相转化。思考步骤：首先回忆3×3方格的对称轴，包括竖直中线、水平中线、两条对角线；接着沿着对称轴选取成对的对称方格涂黑，保证轴对称；最后检查4个设计旋转后不重合即可。
【解析】
我们按照要求依次设计：
1. 第一个3×3方格：涂黑左上角（第一行第一列）、右上角（第一行第三列）的方格，该图案沿过第二列的竖直中线对折后左右完全重合，是轴对称图形。
2. 第二个3×3方格：涂黑上边中间（第一行第二列）、下边中间（第三行第二列）的方格，该图案沿过第二列的竖直中线对折后左右完全重合，是轴对称图形。
3. 第三个3×3方格：涂黑左上角（第一行第一列）、右下角（第三行第三列）的方格，该图案沿左上到右下的对角线对折后两边完全重合，是轴对称图形。
4. 第四个3×3方格：涂黑上边中间（第一行第二列）、正中心（第二行第二列）的方格，该图案沿过第二列的竖直中线对折后左右完全重合，是轴对称图形。
经验证，上述4种图案绕正方形中心旋转任意角度都无法重合，属于不同的符合要求的图案，设计不唯一，满足条件即可。
【答案】
设计示例如下（答案不唯一）：
1. 第一个方格涂黑左上角、右上角方格；
2. 第二个方格涂黑上边中间、下边中间方格；
3. 第三个方格涂黑左上角、右下角方格；
4. 第四个方格涂黑上边中间、正中心方格。
（只要满足涂黑2个方格、图案为轴对称图形、4种图案绕中心旋转均不重合即可）
【知识点】
轴对称图形，图形的旋转，图案设计
【点评】
本题综合考察轴对称与旋转的性质，开放性较强，需要同时满足多个约束条件设计图案，能有效锻炼空间想象能力和几何构图能力。
【难度系数】
0.7
