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1. 若一个长方体的长、宽分别为$ x $，$ 3x - 4 $，则长方形的面积为（
A.$ 3x - 4x^2 $
B.$ 3x^2 - 4x $
C.$ 3x^2 - x $
D.$ 3 - 4x^2 $
B
）A.$ 3x - 4x^2 $
B.$ 3x^2 - 4x $
C.$ 3x^2 - x $
D.$ 3 - 4x^2 $
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽。题目已经给出长和宽的代数式，我们只需要将两个代数式相乘，再按照单项式乘多项式的运算法则计算出结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积} &= \mathrm{长} × \mathrm{宽} \\&= x · (3x - 4) \\&= x · 3x + x · (-4) \\&= 3x^2 - 4x\end{aligned}$
对比选项，计算结果与B选项一致。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积公式，单项式乘多项式运算
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，解题关键是牢记面积公式和单项式乘多项式的运算规则，计算时注意不要漏乘项、不要弄错符号即可。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽。题目已经给出长和宽的代数式，我们只需要将两个代数式相乘，再按照单项式乘多项式的运算法则计算出结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积} &= \mathrm{长} × \mathrm{宽} \\&= x · (3x - 4) \\&= x · 3x + x · (-4) \\&= 3x^2 - 4x\end{aligned}$
对比选项，计算结果与B选项一致。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积公式，单项式乘多项式运算
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，解题关键是牢记面积公式和单项式乘多项式的运算规则，计算时注意不要漏乘项、不要弄错符号即可。
【难度系数】
0.9
2. 以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是(
A.$x(x+5)+15$
B.$x^2+5(x+3)$
C.$(x+3)(x+5)-3x$
D.$x^2+8x$
D
)A.$x(x+5)+15$
B.$x^2+5(x+3)$
C.$(x+3)(x+5)-3x$
D.$x^2+8x$
答案
2. D
解析
【分析】
解决这类阴影面积表达式正误判断的问题，通常有两种核心思路：一是直接法，将阴影部分拆分为几个规则图形，分别计算面积后求和；二是间接法，先计算包含阴影的大规则图形面积，再减去空白部分的面积。我们可以用两种思路推导阴影面积的正确表达式，再逐一对比选项，也可以将各选项展开化简，和正确结果比对即可找到错误选项。
【解析】
观察图形可知：大长方形的长为$(x+5)$，宽为$(x+3)$，空白部分是长为$x$、宽为$3$的长方形。
推导正确阴影面积：
1. 直接法1：阴影拆分为左上角边长为$x$的正方形，和右侧长为5、宽为$(x+3)$的长方形，面积和为：
$S_{\mathrm{阴}}=x^2 + 5(x+3)$，对应选项B，表达式正确，展开得$x^2+5x+15$。
2. 直接法2：阴影拆分为上部长$(x+5)$、宽$x$的长方形，和下部长5、宽3的长方形，面积和为：
$S_{\mathrm{阴}}=x(x+5)+5×3=x(x+5)+15$，对应选项A，表达式正确，展开得$x^2+5x+15$。
3. 间接法：阴影面积=大长方形面积-空白面积，即：
$S_{\mathrm{阴}}=(x+3)(x+5)-3x$，对应选项C，表达式正确，展开得$x^2+8x+15-3x=x^2+5x+15$。
验证选项D：
$x^2+8x$与正确结果$x^2+5x+15$不相等，因此D的表达式错误。
【答案】
D
【知识点】
整式的运算、组合图形面积计算、列代数式
【点评】
本题结合组合图形面积的表示考查整式乘法的应用，掌握直接求和、间接求差两种求阴影面积的思路是解题关键，可通过展开化简表达式交叉验证结果，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
解决这类阴影面积表达式正误判断的问题，通常有两种核心思路：一是直接法，将阴影部分拆分为几个规则图形，分别计算面积后求和；二是间接法，先计算包含阴影的大规则图形面积，再减去空白部分的面积。我们可以用两种思路推导阴影面积的正确表达式，再逐一对比选项，也可以将各选项展开化简，和正确结果比对即可找到错误选项。
【解析】
观察图形可知：大长方形的长为$(x+5)$，宽为$(x+3)$，空白部分是长为$x$、宽为$3$的长方形。
推导正确阴影面积：
1. 直接法1：阴影拆分为左上角边长为$x$的正方形，和右侧长为5、宽为$(x+3)$的长方形，面积和为：
$S_{\mathrm{阴}}=x^2 + 5(x+3)$，对应选项B，表达式正确，展开得$x^2+5x+15$。
2. 直接法2：阴影拆分为上部长$(x+5)$、宽$x$的长方形，和下部长5、宽3的长方形，面积和为：
$S_{\mathrm{阴}}=x(x+5)+5×3=x(x+5)+15$，对应选项A，表达式正确，展开得$x^2+5x+15$。
3. 间接法：阴影面积=大长方形面积-空白面积，即：
$S_{\mathrm{阴}}=(x+3)(x+5)-3x$，对应选项C，表达式正确，展开得$x^2+8x+15-3x=x^2+5x+15$。
验证选项D：
$x^2+8x$与正确结果$x^2+5x+15$不相等，因此D的表达式错误。
【答案】
D
【知识点】
整式的运算、组合图形面积计算、列代数式
【点评】
本题结合组合图形面积的表示考查整式乘法的应用，掌握直接求和、间接求差两种求阴影面积的思路是解题关键，可通过展开化简表达式交叉验证结果，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
3. 若$(x+m)(x-3)=x^2 -nx -12$，则$m$，$n$的值为(
A.$m=4$，$n=1$
B.$m=4$，$n=-1$
C.$m=-4$，$n=1$
D.$m=-4$，$n=-1$
B
)A.$m=4$，$n=1$
B.$m=4$，$n=-1$
C.$m=-4$，$n=1$
D.$m=-4$，$n=-1$
答案
3. B
解析
【分析】
本题是已知两个多项式相等求参数的问题，解题思路如下：第一步，先利用多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开、合并同类项；第二步，根据“两个多项式相等时，对应同次项的系数相等”这一性质，分别对常数项、一次项系数列等式；第三步，求解关于m、n的方程即可得到答案。
【解析】
首先展开等式左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(x+m)(x-3)&=x· x + x· (-3) + m· x + m· (-3)\\&=x^2 -3x + mx -3m\\&=x^2 + (m-3)x -3m\end{aligned}$
已知$(x+m)(x-3)=x^2 -nx -12$，因此等式左右两边的同次项系数对应相等：
1. 常数项相等：$-3m = -12$，解得$m=4$；
2. 一次项系数相等：$m-3 = -n$，将$m=4$代入得$4-3=-n$，即$1=-n$，解得$n=-1$。
因此$m=4$，$n=-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查多项式乘法的运算能力，以及对多项式相等性质的理解应用，解题时要注意展开运算时的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是已知两个多项式相等求参数的问题，解题思路如下：第一步，先利用多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开、合并同类项；第二步，根据“两个多项式相等时，对应同次项的系数相等”这一性质，分别对常数项、一次项系数列等式；第三步，求解关于m、n的方程即可得到答案。
【解析】
首先展开等式左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(x+m)(x-3)&=x· x + x· (-3) + m· x + m· (-3)\\&=x^2 -3x + mx -3m\\&=x^2 + (m-3)x -3m\end{aligned}$
已知$(x+m)(x-3)=x^2 -nx -12$，因此等式左右两边的同次项系数对应相等：
1. 常数项相等：$-3m = -12$，解得$m=4$；
2. 一次项系数相等：$m-3 = -n$，将$m=4$代入得$4-3=-n$，即$1=-n$，解得$n=-1$。
因此$m=4$，$n=-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查多项式乘法的运算能力，以及对多项式相等性质的理解应用，解题时要注意展开运算时的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 计算$(\frac{2}{3}x^2y - 6xy) × (-\frac{1}{2}xy^2) =$
$-\frac{1}{3} x^3 y^3+3x^2 y^3$
.答案
4. $-\frac{1}{3} x^3 y^3+3x^2 y^3$
解析
【分析】
本题属于单项式乘多项式的运算题，解题思路如下：首先根据单项式乘多项式的运算法则，用后面的单项式$-\frac{1}{2}xy^2$分别乘多项式$\frac{2}{3}x^2y - 6xy$的每一项，再把两次相乘得到的积相加；运算过程中要注意符号的判断，同时结合同底数幂的乘法规则（底数不变，指数相加）计算字母部分的结果，最后合并得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}x^2y × (-\frac{1}{2}xy^2) + (-6xy) × (-\frac{1}{2}xy^2) \\&= [\frac{2}{3} × (-\frac{1}{2})] · (x^2 · x) · (y · y^2) + [(-6) × (-\frac{1}{2})] · (x · x) · (y · y^2) \\&= -\frac{1}{3}x^{2+1}y^{1+2} + 3x^{1+1}y^{1+2} \\&= -\frac{1}{3}x^3y^3 + 3x^2y^3\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{1}{3} x^3 y^3+3x^2 y^3$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的易错点是符号判断错误、同底数幂的指数计算错误或者漏乘多项式的项，熟练掌握运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
本题属于单项式乘多项式的运算题，解题思路如下：首先根据单项式乘多项式的运算法则，用后面的单项式$-\frac{1}{2}xy^2$分别乘多项式$\frac{2}{3}x^2y - 6xy$的每一项，再把两次相乘得到的积相加；运算过程中要注意符号的判断，同时结合同底数幂的乘法规则（底数不变，指数相加）计算字母部分的结果，最后合并得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{3}x^2y × (-\frac{1}{2}xy^2) + (-6xy) × (-\frac{1}{2}xy^2) \\&= [\frac{2}{3} × (-\frac{1}{2})] · (x^2 · x) · (y · y^2) + [(-6) × (-\frac{1}{2})] · (x · x) · (y · y^2) \\&= -\frac{1}{3}x^{2+1}y^{1+2} + 3x^{1+1}y^{1+2} \\&= -\frac{1}{3}x^3y^3 + 3x^2y^3\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{1}{3} x^3 y^3+3x^2 y^3$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的易错点是符号判断错误、同底数幂的指数计算错误或者漏乘多项式的项，熟练掌握运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
5. 观察：$3^2 - 1^2 = 8$；$5^2 - 3^2 = 16$；$7^2 - 5^2 = 24$；$9^2 - 7^2 = 32$；… 根据上述规律，用含$n$（$n ≥ 1$）的等式表示这一规律：
.
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
。.
答案
5. $(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的结构特征：等式左侧是两个连续奇数的平方差，右侧是8的整数倍。首先用含n的代数式表示两个连续奇数：n为正整数时，较小的相邻奇数可表示为2n-1，较大的相邻奇数可表示为2n+1；再观察右侧结果，第n个式子的结果恰好是8的n倍，最后通过整式运算验证等式成立即可。
【解析】
1. 观察等式左侧底数的规律：
第1个式子：较大奇数3=2×1+1，较小奇数1=2×1-1；
第2个式子：较大奇数5=2×2+1，较小奇数3=2×2-1；
第3个式子：较大奇数7=2×3+1，较小奇数5=2×3-1；
……
第n个式子左侧为：$(2n+1)^2-(2n-1)^2$。
2. 观察等式右侧结果的规律：
第1个式子结果8=8×1，第2个式子结果16=8×2，第3个式子结果24=8×3，……，第n个式子右侧为8n。
3. 验证等式成立：
展开左侧计算：
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)=8n$，与右侧相等，规律成立。
【答案】
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 完全平方公式
3. 整式运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，重点考查观察归纳能力，需要先提炼等式两侧的数字特征，再用代数式表示规律，最后通过整式运算验证结论，是整式乘法与规律探究结合的典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式的结构特征：等式左侧是两个连续奇数的平方差，右侧是8的整数倍。首先用含n的代数式表示两个连续奇数：n为正整数时，较小的相邻奇数可表示为2n-1，较大的相邻奇数可表示为2n+1；再观察右侧结果，第n个式子的结果恰好是8的n倍，最后通过整式运算验证等式成立即可。
【解析】
1. 观察等式左侧底数的规律：
第1个式子：较大奇数3=2×1+1，较小奇数1=2×1-1；
第2个式子：较大奇数5=2×2+1，较小奇数3=2×2-1；
第3个式子：较大奇数7=2×3+1，较小奇数5=2×3-1；
……
第n个式子左侧为：$(2n+1)^2-(2n-1)^2$。
2. 观察等式右侧结果的规律：
第1个式子结果8=8×1，第2个式子结果16=8×2，第3个式子结果24=8×3，……，第n个式子右侧为8n。
3. 验证等式成立：
展开左侧计算：
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)=8n$，与右侧相等，规律成立。
【答案】
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 完全平方公式
3. 整式运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，重点考查观察归纳能力，需要先提炼等式两侧的数字特征，再用代数式表示规律，最后通过整式运算验证结论，是整式乘法与规律探究结合的典型题。
【难度系数】
0.7
