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6. 计算：(1) $(x+3)(x-1)-x(x-2)+1.$
(2) $(x^2-1)(x+1)-(x^2-2)(x-4).$
(2) $(x^2-1)(x+1)-(x^2-2)(x-4).$
答案
6. （1）$4x-2$ （2）$5x^2+x-9$
解析
【分析】
这两道题均属于整式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：①第一步先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则，分别计算各个乘法项，注意不要漏乘任何一项；②第二步去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；③第三步合并同类项，仅把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先展开各项乘法：
$(x+3)(x-1)=x^2 -x +3x -3=x^2+2x-3$
$x(x-2)=x^2-2x$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+2x-3)-(x^2-2x)+1\\&=x^2+2x-3 -x^2 +2x +1\\&=4x-2\end{aligned}$
(2) 先展开各项乘法：
$(x^2-1)(x+1)=x^3 +x^2 -x -1$
$(x^2-2)(x-4)=x^3 -4x^2 -2x +8$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x^3 +x^2 -x -1)-(x^3 -4x^2 -2x +8)\\&=x^3 +x^2 -x -1 -x^3 +4x^2 +2x -8\\&=5x^2 +x -9\end{aligned}$
【答案】
（1）$4x-2$ （2）$5x^2+x-9$
【知识点】
多项式乘多项式；整式的加减；去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法运算法则和整式加减的运算能力，解题的易错点在于去括号时的符号处理以及多项式乘法漏乘项，熟练掌握运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于整式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：①第一步先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则，分别计算各个乘法项，注意不要漏乘任何一项；②第二步去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；③第三步合并同类项，仅把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先展开各项乘法：
$(x+3)(x-1)=x^2 -x +3x -3=x^2+2x-3$
$x(x-2)=x^2-2x$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+2x-3)-(x^2-2x)+1\\&=x^2+2x-3 -x^2 +2x +1\\&=4x-2\end{aligned}$
(2) 先展开各项乘法：
$(x^2-1)(x+1)=x^3 +x^2 -x -1$
$(x^2-2)(x-4)=x^3 -4x^2 -2x +8$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x^3 +x^2 -x -1)-(x^3 -4x^2 -2x +8)\\&=x^3 +x^2 -x -1 -x^3 +4x^2 +2x -8\\&=5x^2 +x -9\end{aligned}$
【答案】
（1）$4x-2$ （2）$5x^2+x-9$
【知识点】
多项式乘多项式；整式的加减；去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法运算法则和整式加减的运算能力，解题的易错点在于去括号时的符号处理以及多项式乘法漏乘项，熟练掌握运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. 若$M=(a+3)(a-4)$，$N=(a+2)(2a-5)$，其中$a$为有理数，则$M$与$N$的大小关系为(
A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.无法确定
B
)A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.无法确定
答案
7. B
解析
【分析】
要比较两个代数式M和N的大小，可采用作差法：计算M-N的结果，若结果为正，则M＞N；若结果为0，则M=N；若结果为负，则M＜N。解题时先利用多项式乘多项式的法则分别展开M、N，再代入M-N中化简，最后根据平方的非负性判断差的符号即可得到大小关系。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开两个式子：
$M=(a+3)(a-4)=a^2 -4a +3a -12 = a^2 -a -12$
$N=(a+2)(2a-5)=2a^2 -5a +4a -10 = 2a^2 -a -10$
计算$M-N$：
$M-N=(a^2 -a -12)-(2a^2 -a -10)$
去括号得：
$M-N=a^2 -a -12 -2a^2 +a +10$
合并同类项得：
$M-N=-a^2 -2$
∵a为有理数，
∴$a^2≥0$，则$-a^2≤0$
∴$-a^2 -2 ≤ -2 ＜0$，即$M-N＜0$
∴$M＜N$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；作差法比较大小；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础常考题型，解题核心是熟练掌握多项式乘法运算规则，通过作差法转化为判断化简后代数式的符号，需注意去括号时的符号变化，以及平方非负性的合理运用。
【难度系数】
0.7
要比较两个代数式M和N的大小，可采用作差法：计算M-N的结果，若结果为正，则M＞N；若结果为0，则M=N；若结果为负，则M＜N。解题时先利用多项式乘多项式的法则分别展开M、N，再代入M-N中化简，最后根据平方的非负性判断差的符号即可得到大小关系。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开两个式子：
$M=(a+3)(a-4)=a^2 -4a +3a -12 = a^2 -a -12$
$N=(a+2)(2a-5)=2a^2 -5a +4a -10 = 2a^2 -a -10$
计算$M-N$：
$M-N=(a^2 -a -12)-(2a^2 -a -10)$
去括号得：
$M-N=a^2 -a -12 -2a^2 +a +10$
合并同类项得：
$M-N=-a^2 -2$
∵a为有理数，
∴$a^2≥0$，则$-a^2≤0$
∴$-a^2 -2 ≤ -2 ＜0$，即$M-N＜0$
∴$M＜N$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；作差法比较大小；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础常考题型，解题核心是熟练掌握多项式乘法运算规则，通过作差法转化为判断化简后代数式的符号，需注意去括号时的符号变化，以及平方非负性的合理运用。
【难度系数】
0.7
8. 规定：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，按照这个规定请你计算：当$3x^2 -9x -1=0$时，$\begin{vmatrix} x+1 & 3x \\ x-2 & x-1 \end{vmatrix}$的值为 ______ 。
答案
8. $-\frac{5}{3}$
解析
【分析】
解题时首先要明确题中给出的二阶行列式的运算规则，第一步按照规则将所求行列式展开为整式运算的形式；第二步对展开的式子进行乘法运算、合并同类项化简；第三步结合已知的方程$3x^2 -9x -1=0$，变形得到$x^2-3x$的值，再将化简后的式子凑出含有$x^2-3x$的结构，整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解x的值，能简化计算过程。
【解析】
根据题中定义的运算规则：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x+1 & 3x \\ x-2 & x-1 \end{vmatrix}=(x+1)(x-1)-3x(x-2)$
先分别计算乘法：
$(x+1)(x-1)=x^2-1$，$3x(x-2)=3x^2-6x$
代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-1)-(3x^2-6x)\\&=x^2-1-3x^2+6x\\&=-2x^2+6x-1\end{aligned}$
已知$3x^2 -9x -1=0$，移项得$3x^2-9x=1$，两边同时除以3得：$x^2-3x=\frac{1}{3}$
将化简后的式子变形为含$x^2-3x$的形式：
$-2x^2+6x-1=-2(x^2-3x)-1$
把$x^2-3x=\frac{1}{3}$代入得：
$\begin{aligned}原式&=-2×\frac{1}{3}-1\\&=-\frac{2}{3}-\frac{3}{3}\\&=-\frac{5}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{5}{3}$
【知识点】
新定义运算，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和整式化简求值结合，解题的核心是正确理解新运算规则展开行列式，再通过整体代入的思想简化计算，避免了直接求解x的繁琐步骤，考查了对代数变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题中给出的二阶行列式的运算规则，第一步按照规则将所求行列式展开为整式运算的形式；第二步对展开的式子进行乘法运算、合并同类项化简；第三步结合已知的方程$3x^2 -9x -1=0$，变形得到$x^2-3x$的值，再将化简后的式子凑出含有$x^2-3x$的结构，整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解x的值，能简化计算过程。
【解析】
根据题中定义的运算规则：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x+1 & 3x \\ x-2 & x-1 \end{vmatrix}=(x+1)(x-1)-3x(x-2)$
先分别计算乘法：
$(x+1)(x-1)=x^2-1$，$3x(x-2)=3x^2-6x$
代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-1)-(3x^2-6x)\\&=x^2-1-3x^2+6x\\&=-2x^2+6x-1\end{aligned}$
已知$3x^2 -9x -1=0$，移项得$3x^2-9x=1$，两边同时除以3得：$x^2-3x=\frac{1}{3}$
将化简后的式子变形为含$x^2-3x$的形式：
$-2x^2+6x-1=-2(x^2-3x)-1$
把$x^2-3x=\frac{1}{3}$代入得：
$\begin{aligned}原式&=-2×\frac{1}{3}-1\\&=-\frac{2}{3}-\frac{3}{3}\\&=-\frac{5}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{5}{3}$
【知识点】
新定义运算，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和整式化简求值结合，解题的核心是正确理解新运算规则展开行列式，再通过整体代入的思想简化计算，避免了直接求解x的繁琐步骤，考查了对代数变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知代数式$(ax-3)(2x+4)-x^2 -b$化简后不含$x^2$项和常数项.求：
（1）$a$，$b$的值.
（2）$(2a+b)^2 - (a-2b)(a+2b) -3a(a-b)$的值.
（1）$a$，$b$的值.
（2）$(2a+b)^2 - (a-2b)(a+2b) -3a(a-b)$的值.
答案
9. （1）
$(ax-3)(2x+4) -x^2 -b$
$=2ax^2+4ax-6x-12-x^2-b$
$=(2a-1)x^2+(4a-6)x-12-b.$
∵该代数式不含$x^2$项和常数项，
∴$2a-1=0$，$-12-b=0$，
∴$a=\frac{1}{2}$，$b=-12.$
（2）原式$=4a^2+2ab+2ab+b^2-a^2-2ab+2ab+4b^2-3a^2+3ab$
$=7ab+5b^2.$
当$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$时，原式$=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2=678.$
$(ax-3)(2x+4) -x^2 -b$
$=2ax^2+4ax-6x-12-x^2-b$
$=(2a-1)x^2+(4a-6)x-12-b.$
∵该代数式不含$x^2$项和常数项，
∴$2a-1=0$，$-12-b=0$，
∴$a=\frac{1}{2}$，$b=-12.$
（2）原式$=4a^2+2ab+2ab+b^2-a^2-2ab+2ab+4b^2-3a^2+3ab$
$=7ab+5b^2.$
当$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$时，原式$=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2=678.$
解析
【分析】
解决第（1）问时，首先用多项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项；根据“化简后不含$x^2$项和常数项”的条件，可知$x^2$项的系数、常数项的数值均为0，据此列关于$a$、$b$的方程，解方程即可求出$a$、$b$的值。解决第（2）问时，先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则将待求代数式展开，合并同类项得到最简结果，再代入第（1）问求出的$a$、$b$的值计算即可。
【解析】
（1）先展开并合并代数式：
$\begin{aligned}(ax-3)(2x+4)-x^2 -b&=2ax^2+4ax-6x-12-x^2-b\\&=(2a-1)x^2+(4a-6)x+(-12-b)\end{aligned}$
∵该代数式不含$x^2$项和常数项
∴$x^2$项系数、常数项均为0，即：
$\begin{cases}2a-1=0\\-12-b=0\end{cases}$
解得：$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$。
（2）先化简待求代数式：
$\begin{aligned}&(2a+b)^2 - (a-2b)(a+2b) -3a(a-b)\\=&4a^2+4ab+b^2-(a^2-4b^2)-3a^2+3ab\\=&4a^2+4ab+b^2-a^2+4b^2-3a^2+3ab\\=&7ab+5b^2\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2\\&=-42+720\\&=678\end{aligned}$
【答案】
（1）$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$；（2）$678$
【知识点】
整式乘法运算，多项式系数性质，代数式化简求值
【点评】
本题考查整式混合运算及多项式不含某项的性质，解题核心是明确不含某类项即对应项的系数为0，先化简再代入求值可有效降低计算量，减少出错。
【难度系数】
0.7
解决第（1）问时，首先用多项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项；根据“化简后不含$x^2$项和常数项”的条件，可知$x^2$项的系数、常数项的数值均为0，据此列关于$a$、$b$的方程，解方程即可求出$a$、$b$的值。解决第（2）问时，先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则将待求代数式展开，合并同类项得到最简结果，再代入第（1）问求出的$a$、$b$的值计算即可。
【解析】
（1）先展开并合并代数式：
$\begin{aligned}(ax-3)(2x+4)-x^2 -b&=2ax^2+4ax-6x-12-x^2-b\\&=(2a-1)x^2+(4a-6)x+(-12-b)\end{aligned}$
∵该代数式不含$x^2$项和常数项
∴$x^2$项系数、常数项均为0，即：
$\begin{cases}2a-1=0\\-12-b=0\end{cases}$
解得：$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$。
（2）先化简待求代数式：
$\begin{aligned}&(2a+b)^2 - (a-2b)(a+2b) -3a(a-b)\\=&4a^2+4ab+b^2-(a^2-4b^2)-3a^2+3ab\\=&4a^2+4ab+b^2-a^2+4b^2-3a^2+3ab\\=&7ab+5b^2\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2\\&=-42+720\\&=678\end{aligned}$
【答案】
（1）$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$；（2）$678$
【知识点】
整式乘法运算，多项式系数性质，代数式化简求值
【点评】
本题考查整式混合运算及多项式不含某项的性质，解题核心是明确不含某类项即对应项的系数为0，先化简再代入求值可有效降低计算量，减少出错。
【难度系数】
0.7
10. “数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式.如图1，通过观察大长方形面积，可得：$(2a+b)(a+b)=2a^2+3ab+b^2$.
（1）如图2，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式.
（2）现有若干张如图3的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形.现要无缝无重叠拼出一个长为$(2a+b)$，宽为$(3a+2b)$的长方形，需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张.请直接写出$x+y+z$的值.
（3）图4是由图3中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）.
（4）若图2也是由图3中的三种纸片拼成的，且图2中的阴影部分面积为17，图4中的阴影部分面积为8.求图2整个正方形的面积.
（1）如图2，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式.
（2）现有若干张如图3的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形.现要无缝无重叠拼出一个长为$(2a+b)$，宽为$(3a+2b)$的长方形，需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张.请直接写出$x+y+z$的值.
（3）图4是由图3中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）.
（4）若图2也是由图3中的三种纸片拼成的，且图2中的阴影部分面积为17，图4中的阴影部分面积为8.求图2整个正方形的面积.
答案
10. （1）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ （2）15 （3）$(a-b)^2$ （4）26
解析
【分析】
本题考查数形结合思想在整式乘法中的应用，均通过面积的不同表示方法建立等式求解：
1. 第（1）问：先确定大正方形的边长，再分别用整体法和分割法计算面积，两式相等即可得到乘法公式；
2. 第（2）问：先展开长乘宽的整式乘法，根据展开式中$a^2$、$b^2$、$ab$的系数对应A、B、C型纸片的数量，再求和即可；
3. 第（3）问：先确定阴影部分正方形的边长，再根据正方形面积公式计算；
4. 第（4）问：先根据前两问的结论得到$a^2+b^2$和$(a-b)^2$的值，展开后推导$2ab$的值，再代入完全平方和公式计算大正方形面积即可。
【解析】
（1）图2中大正方形边长为$(a+b)$，整体面积为$(a+b)^2$；分割来看，面积为2个阴影部分面积加2个空白长方形面积，即$a^2 + b^2 + ab + ab = a^2+2ab+b^2$，因此可得对应乘法公式。
（2）先计算目标长方形的面积：
$\begin{aligned}(2a+b)(3a+2b)&=2a·3a + 2a·2b + b·3a + b·2b\\&=6a^2 + 4ab + 3ab + 2b^2\\&=6a^2 + 7ab + 2b^2\end{aligned}$
A型纸片对应$a^2$项，故$x=6$；B型纸片对应$b^2$项，故$y=2$；C型纸片对应$ab$项，故$z=7$。
因此$x+y+z=6+2+7=15$。
（3）观察图4可知，阴影部分为正方形，边长为$a - b$，因此阴影面积为$(a-b)·(a-b)=(a-b)^2$。
（4）由题意得：
图2阴影面积为$a^2 + b^2 =17$，
图4阴影面积为$(a-b)^2=8$，
将$(a-b)^2$展开得：$a^2 - 2ab + b^2=8$，
把$a^2 + b^2=17$代入上式得：$17 - 2ab=8$，解得$2ab=9$。
图2整个正方形面积为$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2=17+9=26$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$；（2）$\boldsymbol{15}$；（3）$\boldsymbol{(a-b)^2}$；（4）$\boldsymbol{26}$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，数形结合思想
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查整式乘法的应用，解题关键是掌握面积的不同表示方法，能熟练进行多项式乘法运算和完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
本题考查数形结合思想在整式乘法中的应用，均通过面积的不同表示方法建立等式求解：
1. 第（1）问：先确定大正方形的边长，再分别用整体法和分割法计算面积，两式相等即可得到乘法公式；
2. 第（2）问：先展开长乘宽的整式乘法，根据展开式中$a^2$、$b^2$、$ab$的系数对应A、B、C型纸片的数量，再求和即可；
3. 第（3）问：先确定阴影部分正方形的边长，再根据正方形面积公式计算；
4. 第（4）问：先根据前两问的结论得到$a^2+b^2$和$(a-b)^2$的值，展开后推导$2ab$的值，再代入完全平方和公式计算大正方形面积即可。
【解析】
（1）图2中大正方形边长为$(a+b)$，整体面积为$(a+b)^2$；分割来看，面积为2个阴影部分面积加2个空白长方形面积，即$a^2 + b^2 + ab + ab = a^2+2ab+b^2$，因此可得对应乘法公式。
（2）先计算目标长方形的面积：
$\begin{aligned}(2a+b)(3a+2b)&=2a·3a + 2a·2b + b·3a + b·2b\\&=6a^2 + 4ab + 3ab + 2b^2\\&=6a^2 + 7ab + 2b^2\end{aligned}$
A型纸片对应$a^2$项，故$x=6$；B型纸片对应$b^2$项，故$y=2$；C型纸片对应$ab$项，故$z=7$。
因此$x+y+z=6+2+7=15$。
（3）观察图4可知，阴影部分为正方形，边长为$a - b$，因此阴影面积为$(a-b)·(a-b)=(a-b)^2$。
（4）由题意得：
图2阴影面积为$a^2 + b^2 =17$，
图4阴影面积为$(a-b)^2=8$，
将$(a-b)^2$展开得：$a^2 - 2ab + b^2=8$，
把$a^2 + b^2=17$代入上式得：$17 - 2ab=8$，解得$2ab=9$。
图2整个正方形面积为$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2=17+9=26$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$；（2）$\boldsymbol{15}$；（3）$\boldsymbol{(a-b)^2}$；（4）$\boldsymbol{26}$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，数形结合思想
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查整式乘法的应用，解题关键是掌握面积的不同表示方法，能熟练进行多项式乘法运算和完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
