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1. 下列是二元一次方程的是 （
A.$x+2y=3$
B.$x^2+y=1$
C.$y+\dfrac{1}{x}=2$
D.$2x-1=5$
A
）A.$x+2y=3$
B.$x^2+y=1$
C.$y+\dfrac{1}{x}=2$
D.$2x-1=5$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要牢记二元一次方程的三个判定条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程（即分母中不含未知数）。解题时依次用这三个条件判断每个选项，排除不符合的就能得到正确答案。
【解析】
解：二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。
对各选项逐一判断：
A选项：$x+2y=3$，含有x、y两个未知数，x和2y的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
B选项：$x^2+y=1$，x的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于二元一次方程；
C选项：$y+\dfrac{1}{x}=2$，分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不属于二元一次方程；
D选项：$2x-1=5$，只含有x一个未知数，是一元一次方程，不属于二元一次方程。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二元一次方程判定标准的掌握，解题时只要紧扣“二元”“一次”“整式”三个核心要点逐一排查，即可快速得出正确结果，需要注意避免把未知数的次数和项的次数混淆，同时要区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要牢记二元一次方程的三个判定条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程（即分母中不含未知数）。解题时依次用这三个条件判断每个选项，排除不符合的就能得到正确答案。
【解析】
解：二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。
对各选项逐一判断：
A选项：$x+2y=3$，含有x、y两个未知数，x和2y的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
B选项：$x^2+y=1$，x的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于二元一次方程；
C选项：$y+\dfrac{1}{x}=2$，分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不属于二元一次方程；
D选项：$2x-1=5$，只含有x一个未知数，是一元一次方程，不属于二元一次方程。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二元一次方程判定标准的掌握，解题时只要紧扣“二元”“一次”“整式”三个核心要点逐一排查，即可快速得出正确结果，需要注意避免把未知数的次数和项的次数混淆，同时要区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.9
2. 已知方程 $3x - 4y = 6$，用含 $y$ 的式子表示 $x$ 为 （
A.$x = \dfrac{6 - 4y}{3}$
B.$x = \dfrac{6 + 4y}{3}$
C.$y = \dfrac{6 - 3x}{4}$
D.$y = \dfrac{6 + 3x}{4}$
B
）A.$x = \dfrac{6 - 4y}{3}$
B.$x = \dfrac{6 + 4y}{3}$
C.$y = \dfrac{6 - 3x}{4}$
D.$y = \dfrac{6 + 3x}{4}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题要求用含y的式子表示x，解题时把y看作已知数，将原方程看作关于x的一元一次方程求解即可。首先可直接排除表示y的C、D选项，再通过移项、系数化为1两步运算得到x的表达式，注意移项时要变号。
【解析】
已知方程$3x - 4y = 6$：
1. 移项，将含y的项移到等号右侧，得到$3x = 6 + 4y$；
2. 系数化为1，等号两边同时除以3，得到$x = \dfrac{6 + 4y}{3}$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程变形、移项、系数化为1
【点评】
本题属于基础题型，解题时要先明确目标是用y表示x，避免误选表示y的选项，掌握移项变号规则和系数化为1的运算就能正确解答。
【难度系数】
0.9
本题要求用含y的式子表示x，解题时把y看作已知数，将原方程看作关于x的一元一次方程求解即可。首先可直接排除表示y的C、D选项，再通过移项、系数化为1两步运算得到x的表达式，注意移项时要变号。
【解析】
已知方程$3x - 4y = 6$：
1. 移项，将含y的项移到等号右侧，得到$3x = 6 + 4y$；
2. 系数化为1，等号两边同时除以3，得到$x = \dfrac{6 + 4y}{3}$。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程变形、移项、系数化为1
【点评】
本题属于基础题型，解题时要先明确目标是用y表示x，避免误选表示y的选项，掌握移项变号规则和系数化为1的运算就能正确解答。
【难度系数】
0.9
3. 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=-2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 3$的解，则$2a + 4b - 2$的值是 （ ）
A.2
B.4
C.6
D.9
A.2
B.4
C.6
D.9
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先回忆二元一次方程解的定义：若一组数是二元一次方程的解，代入方程后等式必然成立。因此第一步先把已知的x、y值代入方程，得到a和b的数量关系。接下来观察待求代数式$2a + 4b - 2$的结构，发现可以变形为含有前面所得a、b关系式的形式，用整体代入法计算即可，无需单独求出a、b的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=1, \\ y=-2\end{cases}$代入二元一次方程$ax - by = 3$，可得：
$a×1 - b×(-2) = 3$
化简后得到：$a + 2b = 3$
2. 对待求式$2a + 4b - 2$变形，提取公因数2：
$2a + 4b - 2 = 2(a + 2b) - 2$
3. 将$a + 2b = 3$整体代入上式计算：
$2×3 - 2 = 6 - 2 = 4$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题核心是对二元一次方程解的概念的应用，解题的关键是找到已知的a、b关系式和待求代数式之间的联系，运用整体代入的思想简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二元一次方程解的定义：若一组数是二元一次方程的解，代入方程后等式必然成立。因此第一步先把已知的x、y值代入方程，得到a和b的数量关系。接下来观察待求代数式$2a + 4b - 2$的结构，发现可以变形为含有前面所得a、b关系式的形式，用整体代入法计算即可，无需单独求出a、b的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=1, \\ y=-2\end{cases}$代入二元一次方程$ax - by = 3$，可得：
$a×1 - b×(-2) = 3$
化简后得到：$a + 2b = 3$
2. 对待求式$2a + 4b - 2$变形，提取公因数2：
$2a + 4b - 2 = 2(a + 2b) - 2$
3. 将$a + 2b = 3$整体代入上式计算：
$2×3 - 2 = 6 - 2 = 4$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题核心是对二元一次方程解的概念的应用，解题的关键是找到已知的a、b关系式和待求代数式之间的联系，运用整体代入的思想简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
4. 对于二元一次方程组$\begin{cases}y=x-1,①\\x-2y=7,②\end{cases}$将①式代入②式，消去$y$可以得到 （ ）
A.$x-2x-1=7$
B.$x-2x-2=7$
C.$x-2x+2=7$
D.$x+2x+2=7$
A.$x-2x-1=7$
B.$x-2x-2=7$
C.$x-2x+2=7$
D.$x+2x+2=7$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基础操作，解题思路如下：首先明确要求是将①式中y的表达式替换②式中的y，注意y的表达式是多项式，替换时需要先加括号再参与运算，再按照去括号法则展开式子即可，要重点注意负号乘多项式时的符号变化。
【解析】
将①式$y=x-1$代入②式$x-2y=7$，替换$y$时先给$x-1$加括号，可得：
$x - 2(x - 1) = 7$
根据去括号法则（括号前是负号，括号内各项要变号）展开计算：
$x - 2x + 2 = 7$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，去括号法则
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，主要易错点为代入多项式时漏加括号、去括号时符号出错，熟练掌握代入消元的操作规范和去括号法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基础操作，解题思路如下：首先明确要求是将①式中y的表达式替换②式中的y，注意y的表达式是多项式，替换时需要先加括号再参与运算，再按照去括号法则展开式子即可，要重点注意负号乘多项式时的符号变化。
【解析】
将①式$y=x-1$代入②式$x-2y=7$，替换$y$时先给$x-1$加括号，可得：
$x - 2(x - 1) = 7$
根据去括号法则（括号前是负号，括号内各项要变号）展开计算：
$x - 2x + 2 = 7$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，去括号法则
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，主要易错点为代入多项式时漏加括号、去括号时符号出错，熟练掌握代入消元的操作规范和去括号法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 以方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ 2x-y=-4\end{cases}$的解为坐标的点$(x,y)$，在平面直角坐标系中的位置是 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要求出给定二元一次方程组的解，得到点的横、纵坐标的具体值，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点，判断该点所在的象限。具体思路为：第一步用消元法解二元一次方程组，得到x、y的值；第二步对照各象限坐标的符号规律（第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)）确定点的位置。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+y=1 \quad ①\\ 2x-y=-4 \quad ②\end{cases}$
将①+②消去y，可得：
$(x+y)+(2x-y)=1+(-4)$
合并同类项得：$3x=-3$
解得：$x=-1$
把$x=-1$代入①式，得：
$-1 + y = 1$
解得：$y=2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$，对应点的坐标为$(-1,2)$。
该点横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础运算与坐标系性质结合的典型题，核心要求是准确求解方程组，再结合象限坐标的符号规律判断位置，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要求出给定二元一次方程组的解，得到点的横、纵坐标的具体值，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点，判断该点所在的象限。具体思路为：第一步用消元法解二元一次方程组，得到x、y的值；第二步对照各象限坐标的符号规律（第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)）确定点的位置。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+y=1 \quad ①\\ 2x-y=-4 \quad ②\end{cases}$
将①+②消去y，可得：
$(x+y)+(2x-y)=1+(-4)$
合并同类项得：$3x=-3$
解得：$x=-1$
把$x=-1$代入①式，得：
$-1 + y = 1$
解得：$y=2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$，对应点的坐标为$(-1,2)$。
该点横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础运算与坐标系性质结合的典型题，核心要求是准确求解方程组，再结合象限坐标的符号规律判断位置，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6.一个长方形的周长为28,若它的长减少2,宽增加2,就变成了一个正方形,则该长方形的面积为
（
A.45
B.48
C.40
D.49
（
A
）A.45
B.48
C.40
D.49
答案
6.A
解析
【分析】
解决这道题可以从已知条件逐步推导：首先根据长方形周长公式可先得到长与宽的和；其次长减少2、宽增加2后变成正方形，说明变形后长和宽相等，即原长方形的长减2等于原宽加2，这是列方程的核心等量关系。我们可以设长为未知数，用长与宽的和表示宽，再根据等量关系列方程求出长、宽，最后计算面积即可。
【解析】
解：设长方形的长为$ x $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知周长为28，可得长+宽$ =28÷2=14 $，因此长方形的宽为$ 14-x $。
因为长减少2、宽增加2后变成正方形，正方形四条边长相等，可列方程：
$ x-2=(14-x)+2 $
解方程：
$ x-2=16-x $
$ 2x=18 $
$ x=9 $
则长方形的宽为$ 14-9=5 $
长方形面积$ =长×宽=9×5=45 $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形周长与面积计算；正方形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，解题核心是抓住“变形为正方形后边长相等”的隐含等量关系，结合周长公式就能快速求出长和宽，进而计算得到面积。
【难度系数】
0.7
解决这道题可以从已知条件逐步推导：首先根据长方形周长公式可先得到长与宽的和；其次长减少2、宽增加2后变成正方形，说明变形后长和宽相等，即原长方形的长减2等于原宽加2，这是列方程的核心等量关系。我们可以设长为未知数，用长与宽的和表示宽，再根据等量关系列方程求出长、宽，最后计算面积即可。
【解析】
解：设长方形的长为$ x $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知周长为28，可得长+宽$ =28÷2=14 $，因此长方形的宽为$ 14-x $。
因为长减少2、宽增加2后变成正方形，正方形四条边长相等，可列方程：
$ x-2=(14-x)+2 $
解方程：
$ x-2=16-x $
$ 2x=18 $
$ x=9 $
则长方形的宽为$ 14-9=5 $
长方形面积$ =长×宽=9×5=45 $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形周长与面积计算；正方形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础应用题，解题核心是抓住“变形为正方形后边长相等”的隐含等量关系，结合周长公式就能快速求出长和宽，进而计算得到面积。
【难度系数】
0.7
7. 若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases}x+2y=4, \\ 2x+y=5\end{cases}$ 的解也是方程 $ x+y=3k $ 的解，则 $ k $ 的值为（ ）
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，核心思路是利用“公共解满足所有对应方程”的性质解题。我们可以有两种思考方向：一是先求解给出的二元一次方程组，得到x、y的具体值，再代入含k的方程x+y=3k，解一元一次方程得到k的值；二是观察方程组两个方程的系数特点，通过整体运算直接求出x+y的整体值，再代入含k的方程，计算更简便。
【解析】
方法一：
先解二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=4&① \\ 2x+y=5&②\end{cases}$
将②×2得：$4x+2y=10$ ③
用③-①消去y：$3x=6$，解得$x=2$
把$x=2$代入①：$2+2y=4$，解得$y=1$
即方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
将解代入$x+y=3k$得：$2+1=3k$，解得$k=1$
方法二：
观察方程组$\begin{cases}x+2y=4&① \\ 2x+y=5&②\end{cases}$
将①+②得：$3x+3y=9$
两边同时除以3得：$x+y=3$
因为方程组的解满足$x+y=3k$，所以$3k=3$，解得$k=1$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，方程的解的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础应用题，既可以用常规的解方程组代入的方法计算，也可以用整体思想简化运算，熟练掌握二元一次方程组的解法是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，核心思路是利用“公共解满足所有对应方程”的性质解题。我们可以有两种思考方向：一是先求解给出的二元一次方程组，得到x、y的具体值，再代入含k的方程x+y=3k，解一元一次方程得到k的值；二是观察方程组两个方程的系数特点，通过整体运算直接求出x+y的整体值，再代入含k的方程，计算更简便。
【解析】
方法一：
先解二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=4&① \\ 2x+y=5&②\end{cases}$
将②×2得：$4x+2y=10$ ③
用③-①消去y：$3x=6$，解得$x=2$
把$x=2$代入①：$2+2y=4$，解得$y=1$
即方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
将解代入$x+y=3k$得：$2+1=3k$，解得$k=1$
方法二：
观察方程组$\begin{cases}x+2y=4&① \\ 2x+y=5&②\end{cases}$
将①+②得：$3x+3y=9$
两边同时除以3得：$x+y=3$
因为方程组的解满足$x+y=3k$，所以$3k=3$，解得$k=1$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，方程的解的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础应用题，既可以用常规的解方程组代入的方法计算，也可以用整体思想简化运算，熟练掌握二元一次方程组的解法是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.9
