1. 问题提出
已知实数$x,y$满足$\begin{cases}3x - y = 5, \\2x + 3y = 7, \end{cases}$ ① ② 求$7x+5y$的值.
本题常规思路是先解方程组,求得$x,y$的值,再代入代数式求值.此常规思路运算量比较大,其实仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形求得该代数式的值,如由①+②×2可得$7x+5y=19$.这种解题思想就是通常所说的“整体思想”.
利用上面的知识解答下面的问题:
(1)已知方程组$\begin{cases}3x + 2y = 5, \\x + y = 3,\end{cases}$则$2x+y$的值为 ______ .
问题探究
(2)请说明在关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - 2y = 4a - 1, \\x + 2y = 2 - a \end{cases}$中,无论$a$取何值,$x+y$的值始终不变.
问题解决
(3)甲、乙、丙三种商品,如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元,购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元,那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元?

解:(1)2
(2)$\begin{cases}2x-2y=4a-1, &① \\x+2y=2-a, &②\end{cases}$
由①+②×4,得6x+6y=7.
∴ $x+y=\frac{7}{6}$.
∴ 无论a取何值,x+y的值始终不变.
(3)设购买1件甲商品需x元,1件乙商品需y元,1件丙商品需z元,则
$\begin{cases}x+2y+2z=135, &① \\3x+y+z=105. &②\end{cases}$
①×8+②×4,得20x+20y+20z=1 500.
∴ 2x+2y+2z=150.
答:购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元.