1. 点$P(x,y)$在直线$y=-\dfrac{3}{4}x+4$上，坐标$(x,y)$是二元一次方程$5x-6y=33$的解，则点$P$的位置在 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1.D

【分析】
要确定点P所在的象限，首先明确点P同时满足两个条件：①在直线$y=-\dfrac{3}{4}x+4$上，②坐标是方程$5x-6y=33$的解，因此点P的坐标就是这两个方程组成的二元一次方程组的解。我们可以通过联立两个方程求解x、y的值，再根据各象限内点的坐标正负特征判断所在象限即可。
【解析】
根据题意，联立两个方程得方程组：
$\begin{cases}y=-\dfrac{3}{4}x+4\\5x-6y=33\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得：
$5x -6×(-\dfrac{3}{4}x +4)=33$
化简计算：
$5x + \dfrac{9}{2}x -24=33$
合并同类项：
$\dfrac{19}{2}x=57$
解得：$x=6$
把$x=6$代入$y=-\dfrac{3}{4}x+4$，得：
$y=-\dfrac{3}{4}×6 +4=-\dfrac{1}{2}$
所以点P的坐标为$(6,-\dfrac{1}{2})$，其中$x＞0$，$y＜0$，符合第四象限内点的坐标特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；解二元一次方程组；象限内点的坐标特征
【点评】
本题主要考查一次函数与二元一次方程的对应关系，解题的核心是将“点同时满足两个解析式”转化为联立方程组求解坐标，再结合象限坐标特征判断，是一次函数部分的基础常规题型。
【难度系数】
0.8

2.(2025·宿城区期中)一次函数$y=kx+b(k＜0)$与$y=x+3$交于点$P(m,5)$，则关于$x$的方程$kx+b=x+3$的解为 （）

A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x=4$
D.$x=5$

2.A

【分析】
解题思路分两步：第一步，明确方程$kx+b=x+3$的解本质就是一次函数$y=kx+b$与$y=x+3$图象交点的横坐标，因此只需求出交点$P$的横坐标$m$即可；第二步，点$P(m,5)$在$y=x+3$的图象上，将点坐标代入该解析式就能算出$m$的值，也就是所求方程的解。
【解析】
$\because$点$P(m,5)$在一次函数$y=x+3$的图象上，
$\therefore$把$x=m$，$y=5$代入$y=x+3$，可得：$5=m+3$，
解得$m=2$，即交点$P$的坐标为$(2,5)$。
又$\because$两个一次函数图象交点的横坐标就是方程$kx+b=x+3$的解，
$\therefore$关于$x$的方程$kx+b=x+3$的解为$x=2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题是一次函数与方程结合的基础题型，解题核心是理解两个函数交点坐标与对应联立方程解的对应关系，通过代入已知函数解析式求交点横坐标即可得到答案，侧重考查基础概念的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.8

3.若直线$y=3x+a$与直线$y=-\dfrac{1}{2}x$的交点的横坐标为2,则关于$x,y$的二元一次方程组
$\begin{cases}y-3x=a,\\y+\dfrac{1}{2}x=0\end{cases}$的解是 （ ）

A.$\begin{cases}x=2,\\y=1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-1,\\y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-2,\\y=1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$

3.D

【分析】
解题的核心是掌握一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式整理得到的二元一次方程组的解。本题已知两条直线交点的横坐标为2，我们只需将横坐标代入已知的无参数直线解析式求出纵坐标，得到交点坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
1. 求交点的纵坐标：已知直线$y=-\dfrac{1}{2}x$经过两直线的交点，且交点横坐标为2，将$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{2}x$，可得$y=-\dfrac{1}{2}×2=-1$。
2. 确定交点坐标：两直线的交点坐标为$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$。
3. 对应方程组的解：将两个直线解析式移项变形后，恰好是题目给出的二元一次方程组$\begin{cases}y-3x=a\\y+\dfrac{1}{2}x=0\end{cases}$，因此方程组的解就是两直线的交点坐标。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，函数值计算
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题型，解题关键是理解两直线交点坐标与对应方程组解的一致性，无需解含参数的方程组即可快速得出结果，考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

4.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} y-3x=1, \\ kx-y=0 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=4, \end{cases}$则一次函数$y=3x+1$与$y=kx$($k$是常数,$k≠0$)的图象的交点坐标是________.

4.(1,4)

【分析】
解题的核心是明确一次函数图象的交点与对应二元一次方程组解的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是将这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题中，一次函数$y=3x+1$和$y=kx$联立后的方程组，恰好是题目给出的二元一次方程组，我们既可以直接用已知的方程组的解得到交点坐标，也可以先代入解求出$k$的值，再联立两个函数解析式求解交点。
【解析】
方法1：利用一次函数与二元一次方程组的关系求解
将两个一次函数解析式联立，可得方程组$\begin{cases} y=3x+1 \\ y=kx \end{cases}$，变形后即为题目给出的方程组$\begin{cases} y-3x=1 \\ kx-y=0 \end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$，根据“一次函数图象的交点坐标就是对应联立方程组的解”，可得两个函数图象的交点坐标为$(1,4)$。
方法2：先求参数再联立求解
把方程组的解$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$代入$kx-y=0$，得$k×1 - 4=0$，解得$k=4$，因此第二个一次函数解析式为$y=4x$。
联立两个一次函数得$\begin{cases} y=3x+1 \\ y=4x \end{cases}$，将$y=4x$代入$y=3x+1$，得$4x=3x+1$，解得$x=1$，把$x=1$代入$y=4x$得$y=4$，因此交点坐标为$(1,4)$。
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；二元一次方程组的解；一次函数交点求解
【点评】
本题侧重考查对一次函数和二元一次方程组内在联系的理解，两种解题思路都比较直观，掌握“函数交点就是对应联立方程组的解”这一规律可以快速得到结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9

5.如图,直线 $ l_1 $ , $ l_2 $ 的交点坐标 $ (1,3) $ 可以看作二元一次方程组的解.

5.$\begin{cases} y=-x+4, \\ y=2x+1 \end{cases}$

【分析】
我们首先要明确：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题已经给出直线$l_2$的解析式为$y=-x+4$，所以只需要求出直线$l_1$的解析式即可。求$l_1$解析式可使用待定系数法，从图象中能提取到$l_1$经过$(0,1)$和交点$(1,3)$两个已知点，将两点代入一次函数通式就能求出未知参数，得到$l_1$的解析式，最后联立两个解析式就是所求方程组。
【解析】
1. 根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。
2. 已知直线$l_2$的解析式为$y=-x+4$，接下来求$l_1$的解析式：
设直线$l_1$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），由图象可知$l_1$经过点$(0,1)$和$(1,3)$。
将$(0,1)$代入解析式得：$1=0× k + b$，解得$b=1$；
再将$(1,3)$和$b=1$代入解析式得：$3=1× k +1$，解得$k=2$。
因此直线$l_1$的解析式为$y=2x+1$。
3. 联立两条直线的解析式，得到的二元一次方程组的解就是交点$(1,3)$，即所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y=-x+4 \\ y=2x+1 \end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一次函数交点与对应二元一次方程组解的对应关系，解题关键是从图象中提取有效点的坐标，用待定系数法求出未知直线的解析式，需要熟练掌握待定系数法的应用。
【难度系数】
0.8

6. 如图,直线 $ l_1:y=x+1 $ 与直线 $ l_2:y=mx+n $ 相交于点 $ P(1,b) $.
(1)求 $ b $ 的值;
(2)不解关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n, \end{cases} $ 请直接写出方程组的解;
(3)直线 $ l_3:y=nx+m $ 是否也经过点 $ P $? 请说明理由.

6.解:(1)
∵点$P(1,b)$在直线$y=x+1$上，
∴当$x=1$时,$b=1+1=2$.
(2)方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)直线$y=nx+m$也经过点$P$.理由如下:
∵点$P(1,2)$在直线$y=mx+n$上，
∴$m+n=2$,
又$2=n×1+m$,
∴直线$l_3:y=nx+m$也经过点$P$.

【分析】
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线$l_1$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将x=1代入$l_1$的解析式即可计算出b的值；
(2) 二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，交点同时在两条直线上，坐标同时满足两个函数解析式，因此直接写出交点P的坐标就是方程组的解；
(3) 要判断直线$l_3$是否经过点P，先根据点P在$l_2$上，代入可得m和n的数量关系，再将x=1代入$l_3$的解析式，验证得到的y值是否等于P点的纵坐标即可。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=x+1$上，
∴将$x=1$代入解析式得：$b=1+1=2$；
(2) 二元一次方程组的解即为两条对应直线的交点坐标，已知两条直线交点为$P(1,2)$，
∴方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$；
(3) 直线$l_3:y=nx+m$经过点P，理由如下：
∵点$P(1,2)$在直线$l_2:y=mx+n$上，
∴将$x=1,y=2$代入得：$m + n = 2$，
将$x=1$代入直线$l_3$的解析式得：$y = n×1 + m = m + n = 2$，
即当$x=1$时，$y=2$，与点P的纵坐标一致，因此直线$l_3$也经过点P。
【答案】
(1) $b=2$；
(2) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$；
(3) 直线$y=nx+m$经过点P，理由见解析。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于一次函数基础应用类题目，重点考查一次函数与方程的对应联系，解题的关键是理解函数图象上的点与函数解析式的关系，以及两个一次函数的交点和对应方程组解的对应关系。
【难度系数】
0.8

7.已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}(2-k)x - y + 1 = 0,\\y=(2k+5)x+3\end{cases}$无解，则一次函数$y=kx+2$的图象经过
（）

A.第一、二、四象限
B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、三象限

7.A

【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组无解的几何意义：两个方程对应的一次函数图象（直线）互相平行且不重合，此时两条直线的一次项系数相等，常数项不相等。首先将第一个方程整理为y=ax+b的形式，再根据平行的条件列等式求出k的值，最后根据k的符号和一次函数y=kx+2的截距判断图象经过的象限即可。
【解析】
第一步：整理第一个方程为一次函数形式
由$(2-k)x - y + 1 = 0$移项得：$y=(2-k)x + 1$
第二步：根据方程组无解得两直线平行的条件
方程组无解说明$y=(2-k)x +1$和$y=(2k+5)x +3$平行且不重合，因此一次项系数相等，常数项不等：
1. 列系数相等的等式：$2 - k = 2k + 5$
2. 常数项$1≠3$，已满足不重合的条件，无需额外验证
第三步：解一元一次方程求k
移项得：$2-5=2k+k$
合并同类项得：$-3=3k$
解得：$k=-1$
第四步：判断一次函数$y=kx+2$的图象经过的象限
将$k=-1$代入得函数为$y=-x+2$
其中$k=-1＜0$，直线倾斜方向为左上到右下，经过第二、四象限；截距$b=2＞0$，直线与y轴正半轴相交，经过第一象限。因此函数图象经过第一、二、四象限。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图象性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础综合题，将二元一次方程组的解的情况和一次函数图象性质结合考查，解题关键是掌握方程组无解对应两直线平行的结论，再结合一次函数k、b的符号判断象限即可。
【难度系数】
0.8