8.(2025·南通三模)把直线$y=-x+2$向上平移$a$个单位长度后,与直线$y=2x+3$的交点在第二象限,则$a$的取值范围是
()

A.$a＞1$
B.$-\dfrac{7}{2}＜a＜0$
C.$-\dfrac{7}{2}＜a＜1$
D.$a＜1$

8.C

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据一次函数平移“上加下减”的规律，写出直线$y=-x+2$向上平移$a$个单位后的解析式；第二步，联立两条直线的解析式，求解得到交点的横、纵坐标（均为含$a$的代数式）；第三步，结合第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0），列出关于$a$的不等式组，解不等式组即可得到$a$的取值范围。
【解析】
1. 写出平移后的直线解析式：
直线$y=-x+2$向上平移$a$个单位后，解析式为$y=-x+2+a$。
2. 联立两直线解析式求交点坐标：
联立$\begin{cases}y=-x+2+a \\ y=2x+3\end{cases}$，令两式相等得：
$-x+2+a=2x+3$
移项合并同类项得：$-3x=1-a$，解得$x=\frac{a-1}{3}$。
将$x=\frac{a-1}{3}$代入$y=2x+3$，得：
$y=2×\frac{a-1}{3}+3=\frac{2a-2+9}{3}=\frac{2a+7}{3}$。
即两直线交点坐标为$(\frac{a-1}{3},\frac{2a+7}{3})$。
3. 根据第二象限点的特征列不等式组：
因为交点在第二象限，所以$\begin{cases}\frac{a-1}{3}＜0 \\ \frac{2a+7}{3}＞0\end{cases}$
解第一个不等式：$a-1＜0$，得$a＜1$；
解第二个不等式：$2a+7＞0$，得$a＞-\frac{7}{2}$。
综上，$a$的取值范围是$-\frac{7}{2}＜a＜1$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的平移、一次函数交点求解、象限内点的特征
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心是掌握一次函数平移规则，能正确求解两个一次函数的交点坐标，再结合象限内点的坐标特征建立不等式组求解，解题时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7

9.已知直线$y=2x-3$，$y=kx-2$和$y=-2x+1$相交于一点，则$k$的值为________.

9.1

【分析】
三条直线相交于同一点，说明这个交点同时满足三条直线的函数表达式。解题时可先联立不含参数k的两条直线方程，求解得到交点坐标，再将交点坐标代入含k的直线表达式，即可求出k的值。
【解析】
首先联立直线$y=2x-3$与$y=-2x+1$的方程，得到方程组：
$\begin{cases}y=2x-3\\y=-2x+1\end{cases}$
将两个方程等号右侧相等，得$2x-3=-2x+1$，
移项合并同类项：$4x=4$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$y=2x-3$，得$y=2×1-3=-1$，
因此两条直线的交点坐标为$(1,-1)$。
因为三条直线交于一点，所以点$(1,-1)$也在直线$y=kx-2$上，
将$x=1$，$y=-1$代入得：$-1=k×1 - 2$，
解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
一次函数交点的意义；二元一次方程组的解法；待定系数法求参数
【点评】
本题是一次函数相关的基础题型，核心是理解多个一次函数交于同一点时，该点坐标满足所有函数的表达式，解题思路清晰，掌握交点与方程的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8

10. 如图，直线$y=kx(k≠0)$与$y=\frac{2}{3}x+4$在第二象限交于点$A$，直线$y=\frac{2}{3}x+4$分别交$x$轴，$y$轴于$B$，$C$两点，若$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$，则方程组$\begin{cases}kx - y = 0, \\2x - 3y + 12 = 0\end{cases}$的解为________。

10.$\begin{cases} x=-4, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$

【分析】
要求方程组的解，根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点A的坐标，因此只需先求出点A的坐标即可。首先先求出直线$y=\frac{2}{3}x+4$与坐标轴的交点B、C的坐标，再根据$△ ABO$和$△ ACO$的面积比，建立点A横、纵坐标的数量关系，最后将该关系代入直线$y=\frac{2}{3}x+4$的解析式，即可求出点A的坐标，也就是方程组的解。
【解析】
1. 求B、C两点坐标：
对于直线$y=\frac{2}{3}x+4$，
令$y=0$，则$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，故点B坐标为$(-6,0)$，$OB=6$；
令$x=0$，则$y=4$，故点C坐标为$(0,4)$，$OC=4$。
2. 建立点A横、纵坐标的关系：
设交点A的坐标为$(x,y)$，因A在第二象限，故$x＜0$，$y＞0$。
$△ ABO$的面积：$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OB× y=\frac{1}{2}×6× y=3y$；
$△ ACO$的面积：$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}× OC× |x|=\frac{1}{2}×4× (-x)=-2x$；
已知$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$，即$\frac{3y}{-2x}=\frac{1}{2}$，交叉化简得$x=-3y$。
3. 求点A坐标：
因为点A在直线$y=\frac{2}{3}x+4$上，将$x=-3y$代入解析式得：
$y=\frac{2}{3}×(-3y)+4$，
整理得$y=-2y+4$，解得$y=\frac{4}{3}$，
则$x=-3×\frac{4}{3}=-4$，即点A坐标为$(-4,\frac{4}{3})$。
4. 得方程组的解：
二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，因此方程组的解为$\begin{cases} x=-4 \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=-4, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组、三角形面积计算、一次函数图象性质
【点评】
本题综合考查了一次函数、三角形面积与二元一次方程组的相关知识，解题核心是理解二元一次方程组的解与两个一次函数交点坐标的对应关系，通过面积比转化为交点横纵坐标的数量关系，再代入解析式求解，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6

11.已知点$A(a,b),B(c,d)$在第一象限，$a,b,c,d$均为整数，且$\begin{cases} x=a, \\ y=b, \end{cases}\begin{cases} x=c, \\ y=d \end{cases}$均满足方程$3x+2y=13$.
(1)求$A,B$两点的坐标；
(2)若直线$AB$上的点的横、纵坐标均为上面方程的解，则直线$AB$叫作方程$3x+2y=13$的图象，已知$P(m,n)$是线段$AB$上一点，写出$m$关于$n$的表达式，并写出$m$的取值范围.

11.解:(1)由方程$3x+2y=13$,得$x=\frac{13-2y}{3}$,
∴方程的所有正整数解为$\begin{cases} x=3, \\ y=2, \end{cases}\begin{cases} x=1, \\ y=5. \end{cases}$
∵点$A(a,b),B(c,d)$在第一象限,$a,b,c,d$均为整数,且$\begin{cases} x=a, \\ y=b, \end{cases}\begin{cases} x=c, \\ y=d \end{cases}$均满足方程$3x+2y=13$,
∴$A(1,5),B(3,2)$或$A(3,2),B(1,5)$.
(2)
∵$P(m,n)$是线段$AB$上一点，
∴$m=\frac{13-2n}{3}(1≤m≤3)$.

【分析】
(1) 求A、B两点坐标实质是求二元一次方程$3x+2y=13$的正整数解，因为点在第一象限，横、纵坐标均为正整数，先将方程变形为用含y的代数式表示x，再根据x、y均为正整数筛选符合条件的解，即可得到两点坐标。
(2) 线段AB上的点的坐标都满足方程$3x+2y=13$，将$P(m,n)$代入方程变形就能得到m关于n的表达式，再结合A、B两点的横坐标即可确定m的取值范围。
【解析】
(1) 对$3x+2y=13$变形得：
$x=\frac{13-2y}{3}$
∵A、B在第一象限，
∴x、y均为正整数，即$13-2y$是3的正整数倍，且$13-2y＞0$，可得$y＜6.5$。
对正整数y逐一验证：
当$y=2$时，$x=\frac{13-4}{3}=3$，符合条件；
当$y=5$时，$x=\frac{13-10}{3}=1$，符合条件；
其余正整数y均无法使x为正整数。
∴方程的正整数解为$\begin{cases} x=3, \\ y=2, \end{cases}\begin{cases} x=1, \\ y=5. \end{cases}$
因此A、B两点坐标为$A(1,5),B(3,2)$或$A(3,2),B(1,5)$。
(2)
∵$P(m,n)$是线段AB上一点，
∴坐标满足方程$3x+2y=13$，代入得：
$3m+2n=13$
变形得$m=\frac{13-2n}{3}$
∵线段AB两端点的横坐标为1和3，
∴m的取值范围为$1≤m≤3$。
【答案】
(1)$A(1,5),B(3,2)$或$A(3,2),B(1,5)$；
(2)$m=\frac{13-2n}{3}(1≤m≤3)$
【知识点】
二元一次方程的整数解；一次函数与二元一次方程的关系；线段上点的坐标特征
【点评】
本题结合坐标特征考查二元一次方程整数解的求解，以及方程与函数图象的对应关系，解题关键是先根据第一象限坐标的正整数特征求出方程的整数解确定点坐标，再结合线段范围确定自变量取值，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7

12.如图,直线 $ l_1 $ 的函数表达式为 $ y=-x+4 $,直线 $ l_2 $ 的函数表达式为 $ y=x-2 $,$ l_1 $ 和 $ l_2 $ 的交点为 $ B $.
(1)直接写出点 $ B $ 的坐标.
(2)平行于 $ y $ 轴的直线交 $ x $ 轴于点 $ M(x,0) $,交直线 $ l_1 $ 于点 $ E $,交直线 $ l_2 $ 于点 $ F $.
①分别求出当 $ x=2 $ 和 $ x=4 $ 时,线段 $ EF $ 的长;
②求线段 $ EF $ 的长 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式,并画出函数图象 $ L $;
③在②的条件下,如果直线 $ y=kx+2 $ 与 $ L $ 只有一个公共点,直接写出 $ k $ 的取值范围.

12.解:(1)点$B$的坐标为$(3,1)$.
(2)①当$x=2$时,$y=-x+4=2$,
∴$E(2,2)$;
当$x=2$时,$y=x-2=0$,
∴$F(2,0)$,
∴$EF=2$.
当$x=4$时,$y=-x+4=0$,
∴$E(4,0)$;
当$x=4$时,$y=x-2=2$,
∴$F(4,2)$,
∴$EF=2$.
②当$x≤3$时,$y=-x+4-x+2=-2x+6$;
当$x＞3$时,$y=x-2-(-x+4)=2x-6$.
∴线段$EF$的长$y$与$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases} -2x+6(x≤3), \\ 2x-6(x＞3). \end{cases}$
函数图象$L$如所示.
③$k$的取值范围为$k≥2$或$k＜-2$或$k=-\frac{2}{3}$.

【分析】
(1) 求两条直线的交点，只需联立两条直线的函数解析式，解所得的二元一次方程组，方程组的解就是交点的横、纵坐标。
(2) ①平行于y轴的直线上所有点横坐标相同，将给定的x值分别代入两条直线的解析式，即可得到E、F两点的纵坐标，线段EF的长度为两点纵坐标差的绝对值。
②需分情况讨论：x≤3时，l₁上点的纵坐标大于l₂上点的纵坐标，EF的长为l₁对应纵坐标减l₂对应纵坐标；x＞3时，l₂上点的纵坐标更大，EF的长为l₂对应纵坐标减l₁对应纵坐标，分别化简即可得到分段函数，再根据解析式画出V形图象。
③直线y=kx+2恒过定点(0,2)，结合分段函数的图象，分别分析直线与图象的左段、右段、顶点相交的情况，即可得到只有一个公共点时k的取值范围，注意不要遗漏特殊值。
【解析】
(1) 联立直线$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-x+4 \\ y=x-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3 \\ y=1\end{cases}$，即点B的坐标为$(3,1)$。
(2) ①当$x=2$时：
代入$l_1$得$y_E=-2+4=2$，故$E(2,2)$；代入$l_2$得$y_F=2-2=0$，故$F(2,0)$，因此$EF=|2-0|=2$。
当$x=4$时：
代入$l_1$得$y_E=-4+4=0$，故$E(4,0)$；代入$l_2$得$y_F=4-2=2$，故$F(4,2)$，因此$EF=|0-2|=2$。
②当$x≤3$时，$y=(-x+4)-(x-2)=-2x+6$；
当$x＞3$时，$y=(x-2)-(-x+4)=2x-6$。
因此线段EF的长y与x的函数表达式为$y=\begin{cases} -2x+6(x≤3) \\ 2x-6(x＞3) \end{cases}$，函数图象L如所示。
③直线$y=kx+2$过定点$(0,2)$，结合图象分析得：当$k≥2$时直线仅与右段有一个交点，当$k＜-2$时直线仅与左段有一个交点，当直线过顶点$(3,0)$时，代入得$0=3k+2$，解得$k=-\frac{2}{3}$，此时仅交于顶点一个公共点。
【答案】
(1) $(3,1)$
(2) ①当$x=2$时，$EF=2$；当$x=4$时，$EF=2$。
②$y=\begin{cases} -2x+6(x≤3) \\ 2x-6(x＞3) \end{cases}$，函数图象$L$如所示。
③$k≥2$或$k＜-2$或$k=-\frac{2}{3}$
【知识点】
一次函数交点问题，分段函数，一次函数图象性质
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，解题时需要用到分类讨论和数形结合的思想，第三问要注意分析直线过定点的特征，避免遗漏特殊解，对逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.5