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1. 要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是 （
A.∠ABD=∠CBD
B.∠ABC=90°
C.AC⊥BD
D.AB=BC
B
）A.∠ABD=∠CBD
B.∠ABC=90°
C.AC⊥BD
D.AB=BC
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确题干前提：已知四边形ABCD是平行四边形，要使其成为矩形，需结合平行四边形转矩形的判定定理分析选项。平行四边形转化为矩形的判定有两个：①有一个内角为直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。我们逐一验证每个选项是否符合上述判定，同时注意区分矩形和菱形的判定条件，避免混淆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：
∵平行四边形ABCD中AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，若∠ABD=∠CBD，则∠ABD=∠ADB，可得AB=AD，即平行四边形邻边相等，此时平行四边形ABCD是菱形，不符合矩形要求，排除A；
B选项：根据矩形判定定理，有一个内角是90°的平行四边形是矩形，若∠ABC=90°，则平行四边形ABCD是矩形，符合要求；
C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，不符合矩形要求，排除C；
D选项：邻边相等的平行四边形是菱形，若AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形，不符合矩形要求，排除D。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题主要考查特殊平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形转化为矩形、菱形的不同判定条件，不要将两类判定规则混淆。
【难度系数】
0.9
首先明确题干前提：已知四边形ABCD是平行四边形，要使其成为矩形，需结合平行四边形转矩形的判定定理分析选项。平行四边形转化为矩形的判定有两个：①有一个内角为直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。我们逐一验证每个选项是否符合上述判定，同时注意区分矩形和菱形的判定条件，避免混淆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：
∵平行四边形ABCD中AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，若∠ABD=∠CBD，则∠ABD=∠ADB，可得AB=AD，即平行四边形邻边相等，此时平行四边形ABCD是菱形，不符合矩形要求，排除A；
B选项：根据矩形判定定理，有一个内角是90°的平行四边形是矩形，若∠ABC=90°，则平行四边形ABCD是矩形，符合要求；
C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，不符合矩形要求，排除C；
D选项：邻边相等的平行四边形是菱形，若AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形，不符合矩形要求，排除D。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题主要考查特殊平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形转化为矩形、菱形的不同判定条件，不要将两类判定规则混淆。
【难度系数】
0.9
2. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某个小组拟订的4种方案，其中正确的是 （
A.测量对角线是否相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其内角是否均为直角
D.测量对角线是否垂直
C
）A.测量对角线是否相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其内角是否均为直角
D.测量对角线是否垂直
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查矩形的判定，解题时需先回忆矩形的判定定理，再逐一分析每个选项的条件能推出的四边形类型，判断其是否能唯一确定为矩形即可。
【解析】
我们结合矩形的判定规则逐一分析选项：
A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，无法判定是矩形，故A错误；
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，无法判定是矩形，故B错误；
C. 根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，若四边形四个内角均为直角，必然满足矩形的判定条件，可确定是矩形，故C正确；
D. 对角线垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形的对角线互相垂直，无法判定是矩形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确掌握矩形的判定条件，注意区分不同特殊四边形的边、角、对角线对应的性质和判定规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查矩形的判定，解题时需先回忆矩形的判定定理，再逐一分析每个选项的条件能推出的四边形类型，判断其是否能唯一确定为矩形即可。
【解析】
我们结合矩形的判定规则逐一分析选项：
A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，无法判定是矩形，故A错误；
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，无法判定是矩形，故B错误；
C. 根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，若四边形四个内角均为直角，必然满足矩形的判定条件，可确定是矩形，故C正确；
D. 对角线垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形的对角线互相垂直，无法判定是矩形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确掌握矩形的判定条件，注意区分不同特殊四边形的边、角、对角线对应的性质和判定规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
3. 已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（
A.$AC=CD$
B.$AB// CD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AC=BD$
D
）A.$AC=CD$
B.$AB// CD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AC=BD$
答案
3.D
解析
【分析】
首先，已知四边形的对角线互相平分，我们可以先依据平行四边形的判定定理得出四边形ABCD是平行四边形。接下来要将平行四边形转化为矩形，需要回忆矩形的判定条件：一是有一个内角为直角的平行四边形是矩形，二是对角线相等的平行四边形是矩形。我们逐一分析各个选项，判断哪个选项符合上述矩形判定条件即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
接下来分析各选项：
A. 若$AC=CD$，仅能说明$△ ACD$为等腰三角形，无法推出平行四边形ABCD有直角或对角线相等，不能判定为矩形，故A错误；
B. 平行四边形本身的性质就包含$AB// CD$，添加该条件后仍为平行四边形，不能判定为矩形，故B错误；
C. 若$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，此时四边形ABCD是菱形，不是矩形，故C错误；
D. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形ABCD为矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题的关键是先根据已知条件确定原四边形为平行四边形，再结合矩形的判定条件筛选选项，需要注意区分矩形和菱形的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
首先，已知四边形的对角线互相平分，我们可以先依据平行四边形的判定定理得出四边形ABCD是平行四边形。接下来要将平行四边形转化为矩形，需要回忆矩形的判定条件：一是有一个内角为直角的平行四边形是矩形，二是对角线相等的平行四边形是矩形。我们逐一分析各个选项，判断哪个选项符合上述矩形判定条件即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
接下来分析各选项：
A. 若$AC=CD$，仅能说明$△ ACD$为等腰三角形，无法推出平行四边形ABCD有直角或对角线相等，不能判定为矩形，故A错误；
B. 平行四边形本身的性质就包含$AB// CD$，添加该条件后仍为平行四边形，不能判定为矩形，故B错误；
C. 若$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，此时四边形ABCD是菱形，不是矩形，故C错误；
D. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形ABCD为矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题的关键是先根据已知条件确定原四边形为平行四边形，再结合矩形的判定条件筛选选项，需要注意区分矩形和菱形的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
4. 如图,公路AC,BC互相垂直,M为公路AB的中点.若测得AB的长为5 km,则C,M两点间的距离为
2.5 km
.答案
4.2.5 km
解析
【分析】
解题时首先根据已知AC、BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形，AB为直角三角形的斜边；再结合M是AB中点的条件，想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，代入AB的长度即可求出C、M两点的距离。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形，AB为斜边。
又
∵M为AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得：$CM=\frac{1}{2}AB$。
已知AB=5 km，代入得：
$CM=\frac{1}{2}×5=2.5$（km）。
【答案】
2.5 km
【知识点】
直角三角形判定、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用题，侧重对几何基础性质的考查，只要熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，结合题干给出的垂直和中点条件即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据已知AC、BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形，AB为直角三角形的斜边；再结合M是AB中点的条件，想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，代入AB的长度即可求出C、M两点的距离。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形，AB为斜边。
又
∵M为AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得：$CM=\frac{1}{2}AB$。
已知AB=5 km，代入得：
$CM=\frac{1}{2}×5=2.5$（km）。
【答案】
2.5 km
【知识点】
直角三角形判定、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用题，侧重对几何基础性质的考查，只要熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，结合题干给出的垂直和中点条件即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$. 若 $∠ AOB = 60°, AB = 2$, 则 $AC + BD =$ ______.
答案
5.8
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，由此可得AC=BD，且OA=OB；已知∠AOB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△AOB是等边三角形，从而得到OA的长度，进一步求出AC、BD的长度，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC=½AC，OB=OD=½BD（矩形的对角线相等且互相平分）
∴OA=OB
又
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=2
∴AC=2OA=2×2=4
∴BD=AC=4
∴AC+BD=4+4=8
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用矩形对角线的性质，结合60°角构造等边三角形，进而求出对角线的长度，计算过程较为简单。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，由此可得AC=BD，且OA=OB；已知∠AOB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△AOB是等边三角形，从而得到OA的长度，进一步求出AC、BD的长度，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC=½AC，OB=OD=½BD（矩形的对角线相等且互相平分）
∴OA=OB
又
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=2
∴AC=2OA=2×2=4
∴BD=AC=4
∴AC+BD=4+4=8
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用矩形对角线的性质，结合60°角构造等边三角形，进而求出对角线的长度，计算过程较为简单。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE=15°,则∠BOE的度数为
75°
.答案
6.75°
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用矩形四个角为直角的性质和角平分线的定义，求出∠BAE的度数，结合已知∠CAE=15°计算出∠BAC的度数；第二步，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得OA=OB，由此判断△AOB是等边三角形，推出AB=OB，同时算出∠OBE的度数；第三步，由∠BAE=45°、∠ABC=90°可判断△ABE是等腰直角三角形，得到AB=BE，等量代换得OB=BE，最后在等腰△OBE中计算底角∠BOE的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，且AC=BD，
∴OA=OB。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，即AB=BE。
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴OB=BE，∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°。
在等腰△OBE中，∠BOE=$\frac{180°-∠OBE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°。
【答案】
75°
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形性质和特殊三角形判定的综合题，解题的核心是通过角度推导找到等边三角形、等腰直角三角形，得到OB=BE的等量关系，进而完成角度计算。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为三步：第一步，先利用矩形四个角为直角的性质和角平分线的定义，求出∠BAE的度数，结合已知∠CAE=15°计算出∠BAC的度数；第二步，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得OA=OB，由此判断△AOB是等边三角形，推出AB=OB，同时算出∠OBE的度数；第三步，由∠BAE=45°、∠ABC=90°可判断△ABE是等腰直角三角形，得到AB=BE，等量代换得OB=BE，最后在等腰△OBE中计算底角∠BOE的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，且AC=BD，
∴OA=OB。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，即AB=BE。
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴OB=BE，∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°。
在等腰△OBE中，∠BOE=$\frac{180°-∠OBE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°。
【答案】
75°
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形性质和特殊三角形判定的综合题，解题的核心是通过角度推导找到等边三角形、等腰直角三角形，得到OB=BE的等量关系，进而完成角度计算。
【难度系数】
0.65
7. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$,$OM ⊥ BC$,$BC=2\sqrt{7}$,$OM=3$,求 $BD$ 的长.
答案
7.解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴BO=CO,BD=2BO.
∵OM⊥BC,
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{7}$.在Rt△BOM中,由勾股定理,得$BO=\sqrt{BM^2+OM^2}=4$,
∴BD=2BO=8.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BO=CO,BD=2BO.
∵OM⊥BC,
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{7}$.在Rt△BOM中,由勾股定理,得$BO=\sqrt{BM^2+OM^2}=4$,
∴BD=2BO=8.
解析
【分析】
解题时先从已知的矩形条件切入，回忆矩形对角线的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此可得BO=CO，BD=2BO，要求BD的长只需先求出BO的长度即可。再结合OM⊥BC的条件，△OBC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可知M是BC的中点，即可求出BM的长度。最后在Rt△BOM中，已知OM和BM的长度，利用勾股定理算出BO的长度，就能进一步求出BD的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即BO=CO，BD=2BO。
∵OM⊥BC，△OBC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得：
$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
在Rt△BOM中，OM=3，BM=$\sqrt{7}$，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{BM^2+OM^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+3^2}=\sqrt{7+9}=\sqrt{16}=4$，
∴$BD=2BO=2×4=8$。
【答案】
$BD=8$
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形三线合一、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查特殊几何图形性质的综合运用，解题的关键是通过矩形对角线的性质得到等腰三角形，结合三线合一得到直角三角形的边长，再用勾股定理计算，熟练掌握常见特殊图形的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的矩形条件切入，回忆矩形对角线的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此可得BO=CO，BD=2BO，要求BD的长只需先求出BO的长度即可。再结合OM⊥BC的条件，△OBC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可知M是BC的中点，即可求出BM的长度。最后在Rt△BOM中，已知OM和BM的长度，利用勾股定理算出BO的长度，就能进一步求出BD的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即BO=CO，BD=2BO。
∵OM⊥BC，△OBC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得：
$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
在Rt△BOM中，OM=3，BM=$\sqrt{7}$，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{BM^2+OM^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+3^2}=\sqrt{7+9}=\sqrt{16}=4$，
∴$BD=2BO=2×4=8$。
【答案】
$BD=8$
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形三线合一、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查特殊几何图形性质的综合运用，解题的关键是通过矩形对角线的性质得到等腰三角形，结合三线合一得到直角三角形的边长，再用勾股定理计算，熟练掌握常见特殊图形的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
